实变函数积分理论部分复习题(附答案版)

2011级实变函数积分理论复习题一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例）1、设()nfx是[0,1]上的一列非负可测函数，则1()()nnfxfx是[0,1]上的Lebesgue可积函数。（×）2、设()nfx是[0,1]上的一列非负可测函数，则1()()nnfxfx是[0,1]上的Lebesgue可测函数。（√）3、设()nfx是[0,1]上的一列非负可测函数，则[0,1][0,1]lim()dlim()dnnnnfxxfxx。（×）4、设()nfx是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在()nfx的一个子列()knfx，使得，[0,1][0,1]lim()dlim()dkknnkkfxxfxx。（×，比如()nfx为单调递增时，由Levi定理，这样的子列一定不存在。）5、设()nfx是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在()nfx的一个子列()knfx，使得，[0,1][0,1]lim()dlim()dkknnkkfxxfxx。（×，比如课本上法都引理取严格不等号的例子。）6、设()nfx是[0,1]上的一列非负可测函数，则[0,1][0,1]lim()dlim()dnnnnfxxfxx。（√）7、设()nfx是[0,1]上的一列非负可测函数，则[0,1][0,1]lim()dlim()dnnnnfxxfxx。（×）8、设()fx是[0,1]上的黎曼可积函数，则()fx必为[0,1]上的可测函数。（√，Lebesgue积分与正常黎曼积分的关系）9、设()fx是[0,)的上黎曼反常积分存在，则()fx必为[0,)上的可测函数。（√，注意到黎曼反常积分的定义的前提条件，对任意自然数0n，()fx在[0,]n上黎曼可积，从而()fx是[0,]n上的可测函数，进而()fx是1[0,)[0,]nn上的可测函数）10、设()nfx是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，()[0,1],nGf表示()nfx在[0,1]上的下方图形，()lim()nnfxfx=，则()[0,1],nGf单调递增，且()()()1lim[0,1],[0,1],[0,1],nnnnGfGfGf¥===U，()()[0,1],lim[0,1],nnmGfmGf=。（√，用集合关系的定义，单调递增可测集列的极限性可以证明。）二、叙述题（请完整地叙述以下定理或命题）（自己在书上找答案，务必要跟书上一模一样）1、单调收敛定理（即Levi定理）2、Fatou引理（法都引理）3、非负可测函数的Fubini定理和Lebesgue可积函数的Fubini定理4、Lebesgue控制收敛定理（两个）5、Lebesgue基本定理（即非负可测函数项级数的逐项积分定理）6、积分的绝对连续性三、计算题（请完整写出计算过程和结果）1、设0D为[0,]中的零测集，300sin,(),xxxDfxexD，求[0,]()dfxx。解：由题设()sinfxx，..ae于[0,]，而sinx在[0,]上连续，于是由积分的惟一性和L积分与R积分的关系得0[0,][0,]0()dsind()sin(cos)2fxxxxRxdxx。2、设Q为[0,+)中有理数全体，23sin,[0,)\(),xxxxexQfxexQ，求[0.)()dfxx。解：因为Q为可数集，所以0mQ，从而2()xfxxe，..ae于[0,)，而2xxe在[0,)上非负连续，且2200011()()d()d22xxRfxxRxexe，所以由积分的惟一性和L积分与R积分的关系得2220[0.)[0.)011()dd()d22xxxfxxxexRxexe。3、设P为[0,1]上的Cantor三分集，2,[0,)\()sin(),xxxexPfxexP，求[0.)()dfxx。解：因为0mP，所以2()xfxxe，..ae于[0,)，而2xxe在[0,)上非负连续，且2200011()()d()d22xxRfxxRxexe，所以由积分的惟一性和L积分与R积分的关系得2220[0.)[0.)011()dd()d22xxxfxxxexRxexe。4、计算20lim(1)dnnxnxexn。解：令2[0,]()(1)()nxnnxfxexn，易见()nfx在[0,)非负可测，且()nfx单调上升lim()xnnfxe，故由单调收敛定理200lim(1)dd1nxxnxexexn。5、积分计算（1）设¤为全体有理数所成的集合，在[0,1][0,1]E上函数f定义如下：1,,(,)sin,.xyxyfxyxyexy求()dEfzz。（2）设¤为全体有理数所成的集合，在[0,1][0,1]E上函数f定义如下：sin,(,),(,)ln(1||),(,).xxyxyfxyexyxy求()dEfzz。解：（1）记12{,,}rr=，令{(,):}kkAxyExyr=?=，则()0,kmA=故10,kkmA¥=骣÷ç=÷ç÷ç桫U从而(,)1fxy=几乎处处于E。显然，1是E上的连续函数，从而在E上有界且Riemann可积，故由Riemann积分与Lebesgue积分的关系定理，1在E上Lebesgue可积且1d(R)1dd1.EEzxy==蝌由于(,)1fxy=几乎处处于E，故由积分的基本性质.(d)d11EEfzzz（2）解：因()0,m?い从而(,)sinfxyxy=几乎处处于E。显然，sinxy是E上的连续函数，从而在E上有界且Riemann可积，故由Riemann积分与Lebesgue积分的关系定理，sinxy在E上Lebesgue可积且11001sind(,)(R)sindddsind(1cos1).2EExyxyxyxyxxyy===-蝌蝌由于(,)sinfxyxy=几乎处处于E，故由积分的基本性质1sind(,)(1co()ds1).2EEfxyzyxz三、证明题（请完整地写出以下命题的证明）1、用Fubini定理证明：若(,)fxy为2R=(,+)(,+)上的非负可测函数，则000d(,)dd(,)dxyxfxyyyfxyx。证明：记00{(,)}{(,)}0xyDxyxyyxyx，令(,),(,)(,)0,(,)fxyxyDFxyxyD，由题设易知(,)Fxy也是2R上的非负可测函数，于是，由非负可测函数的Fubini定理200d(,)dd(,)d(,)ddxRxfxyyxFxyyFxyxy0d(,)dd(,)dyyFxyxyfxyx。2、设E是Rn中的可测集，若（1）1kkEE，其中kE为可测集，12EE；（2）()fx，()nfx(12)n都是E上的可测函数，且lim()()nnfxfx..ae于E；（3）存在E上的Lebesgue可积函数()Fx，使得n，()()nfxFx()xE。证明：()fx在E上也Lebesgue可积，且lim()d()dnnnEEfxxfxx。证明：记()()()nnnEfxfxx，由题设知lim()()nnfxfx..ae于E（事实上xE，存在0n，当0nn时，总有nxE，从而()1nEx，于是()()()()nnnEnfxfxxfx。）又()()()()()nnnEnfxfxxfxFx，()Fx在E上Lebesgue可积所以由Lebesgue控制收敛定理，并注意到()()()()nnnnEnEEEfxdxfxxdxfxdx可得lim()lim()()nnnnnEEEfxdxfxdxfxdx。3、设E是Lebesgue可测集，()nfx(12)n，()fx都是E上的Lebesgue可积函数，若lim()()nnfxfx()xE，且lim()d()dnnEEfxxfxx，证明：（1）()()()()()nnnFxfxfxfxfx在E上非负可测；（2）用Fatou引理证明：lim()()d0nnEfxfxx。证明：（1）由可测函数的运算性质得()()()()()nnnFxfxfxfxfx是E上可测函数，又()()()()nnfxfxfxfx，从而()0nFx，所以()()()()()nnnFxfxfxfxfx在E上非负可测。（2）由题设lim()2()nnFxfx，再由Fatou引理得2()lim()lim[()()()()]nnnnnEEEfxdxFxdxfxfxfxfxdx2()lim()()]nnEEfxdxfxfxdx，即lim()()]0nnEfxfxdx，从而0lim()()]lim()()]0nnnnEEfxfxdxfxfxdx故lim()()d0nnEfxfxx。4、设()fx是定义在[0,)上的实值函数，满足0a，()fx在[0,]a上黎曼可积（即0()()daRfxx存在），若()fx在[0,)上的广义黎曼积分绝对收敛（即0()()dRfxx绝对收敛），证明：()fx在[0,)上Lebesgue可积，且[0,)0()()()()dLfxdxRfxx。。证明：由题设知()fx是[0,)上的可测函数，从而()fx是[0,)上的可测函数，于是，由非负可测函数L积分的完全可加性以及L积分与黎曼正常积分的关系，并注意到1[0,)[1,)nnn可得[0,)[1,)[1,)11()()()()lim()()nnnkknnkLfxdxLfxdxLfxdx[0,)00lim()()lim()()()()nnnnLfxdxRfxdxRfxdx（注：以上证明也可利用Levi定理得到）又()fx在[0,)上的广义黎曼积分绝对收敛，即0()()dRfxx从而[0,)()()Lfxdx，即()fx在[0,)上Lebesgue可积。由于1[0,)[0,]nn且[0,]n单调递增，记[0,]()()()nnfxfxx，易知()()nfxfx且()()nfxfx，于是，由L—控制收敛定理得()fx在[0,)上Lebesgue可积，且[0,)[0,][0,]()()lim()()lim()()nnnnnLfxdxLfxdxLfxdx00lim()()()()dnnRfxdxRfxx。5、设(),()nfxfx（1,2,n）都是[0,1]上的Lebesgue可积函数，且[0,1]lim()()d0nnfxfxx，证明：（1）()()nfxfx于[0,1]；（2）221sin()()121cos()()nnfxfxfxfx于[0,1]。证明：（1）记[0,1]E，对任意0，由[()()][0,1][()()]()()d()()d0.nnnmExfxfxnmExfxfxfxfxxfxfxx得lim[()()]0nnmExfxfx，即()()nfxfx于[0