实变函数考试题库

齐鲁师范学院实变函数考试题库作者：我们一群小嗨B1.证明康托集合的测度为0(8分)证明据康托集合的构造，即在[0,1]中挖去可数个互不相交的开区间而成。第n次挖掉的长度为2𝑛−13𝑛，因此P在1,0中的余集的测度为∑2𝑛−13𝑛∞𝑛=1又因m[0,1]=m(𝑝∪([0,1]−𝑝))=𝑚𝑝+𝑚([0,1]−𝑝)所以，mp=m[0,1]−m([0,1]−𝑝)=1−1=0即康托集合的测度为0.2.求α−Cantor集𝐾𝛼的测度。（8分）证明𝐺𝛼=[0,1]\𝐾𝛼，则m𝐺𝛼=∑2𝑛−13𝑛∞𝑛=1α=α故m𝐾𝛼=1−α3.求解下列定积分的值（8分）lim𝑛→∞∫𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥𝑑𝑥𝜋0解：|𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥|≤1且m[0,π]=π∞又因为lim𝑛→∞𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥={1,𝑥=𝜋20,𝑥≠𝜋2即lim𝑛→∞𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥=0,a.e.于[0,π],由Lebesgue有界收敛定理知原式∫[0,𝜋]lim𝑛→∞𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥𝑑𝑥=∫[0,𝜋]0dx=0.4.证明平面𝑅2有理点（即两个坐标均为有理数点）的全体是一个可列级。（8分）证明：由于平面𝑅2中任一点A(𝑥,𝑦)由实轴𝑥和实轴𝑦唯一确定，又∵𝑥和𝑦都是有理数，它们构成有理数对(𝑥,𝑦)，∴平面𝑅2有理点的全体对等有理数全体。由有理数集是可列集，∴平面𝑅2有理点的全体是一个可列集。5.证明集合E可测集的充分必要条件是存在一个𝐺𝛿型集G⊃E使得𝑚∗(𝐺\𝐸)=0.（10分)证明：充分性：∵存在𝐺𝛿型集G⊃E使得𝑚∗(𝐺\𝐸)=0，∴𝐺\𝐸是可测集.又∵𝐺𝛿型集𝐺是可测集，∴根据可测集的性质知E也是可测集。齐鲁师范学院必要性：∵E可测集，∴对任意的自然数𝑛,存在开集𝐺𝑛⊃E,使得𝑚∗(𝐺𝑛\𝐸)≤12𝑛令G=∩𝑛=1∞𝐺𝑛,则开集G⊃E又∵𝐺\𝐸⊂𝐺𝑛\𝐸,∴根据可测集的性质知𝑚∗(𝐺𝑛\𝐸)≤𝑚∗(𝐺\𝐸)≤12𝑛令𝑛→∞,则𝑚∗(𝐺\𝐸)=0.6.写出集合E={(𝑥,𝑦)｜𝑥2+𝑦21}的导集𝐸′，E的内部𝐸0,闭包𝐸.（6分）解：𝐸′={(𝑥,𝑦)｜𝑥2+𝑦2≤1}𝐸0=𝐸={(𝑥,𝑦)｜𝑥2+𝑦21}𝐸=𝐸′∪E=𝐸′={(𝑥,𝑦)｜𝑥2+𝑦2≤1}