初中数学竞赛辅导资料(七年级用)

第1页（共63页）初中数学竞赛辅导资料第一讲数的整除一、内容提要：如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除.0能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征除数能被整除的数的特征2或5末位数能被2或5整除4或25末两位数能被4或25整除8或125末三位数能被8或125整除3或9各位上的数字和被3或9整除(如771，54324)11奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除(如143,1859,1287,908270等)7,11,13从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等)能被7整除的数的特征：①抹去个位数②减去原个位数的2倍③其差能被7整除。如1001100－2＝98（能被7整除）又如7007700－14＝686，68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征：①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除如1001100－1＝99（能11整除）又如102851028－5＝1023102－3＝99（能11整除）二、例题例1已知两个三位数328和92x的和仍是三位数75y且能被9整除。求x,y解：x,y都是0到9的整数，∵75y能被9整除，∴y=6.∵328＋92x＝567，∴x=3例2已知五位数x1234能被12整除，求x解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1＋2＋3＋4＋x能被3整除时，x=2，5，8当末两位4x能被4整除时，x＝0，4，8第2页（共63页）∴x＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。练习一1、分解质因数：（写成质因数为底的幂的连乘积）①756②1859③1287④3276⑤10101⑥102962、若四位数a987能被3整除，那么a=_______________3、若五位数1234x能被11整除，那么x＝__________4、当m=_________时，535m能被25整除5、当n=__________时，n9610能被7整除6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7、能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最大四位数是_________。8、8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________9、从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。10、由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？第3页（共63页）11、已知五位数A1234能被15整除，试求A的值。12、求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。13、在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是______（1989年全国初中联赛题）第二讲倍数约数一、内容提要1、两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。2、因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。如0是7的倍数，7是0的约数。3、整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，第4页（共63页）±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。4、整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。例如6的约数是±1，±2，±3，±6。5、通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。6、公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。7、在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数。若用字母表示可记作：A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除。例如23＝3×7＋2，则23－2能被3整除。二、例题例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32。解：列表如下正整数正约数个数计正整数正约数个数计正整数正约数个数计21，2231，322×31，2，3，64221，2，43321，3，32322×31，2，3，4，6，126231，2，4，84331，3，32，33422×321，2，3，4，6，9，12，18，369241，2，4，8，165341，3，32，33，345其规律是：设A＝ambn(a，b是质数,m，n是正整数)，那么合数A的正约数的个数是（m+1）(n+1)例如求360的正约数的个数解：分解质因数：360＝23×32×5，360的正约数的个数是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（个）例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数解：∵24＝23×3，90＝2×32×5∴最大公约数是2×3，记作（24，90）＝6最小公倍数是23×32×5＝360，记作[24,90]=360例3已知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6经检验1和2不合题意，∴N＝6，3例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数第5页（共63页）分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除,所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1。解：∵[10,9,8]=360,∴所以所求的数是359练习二1、12的正约数有_________,16的所有约数是_________________2、分解质因数300＝_________,300的正约数的个数是_________3、用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。4、一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_________5、能同时被3，5，11整除的最小四位数是_______，最大三位数是________6、已知14和23各除以正整数A有相同的余数2，则A＝________7、写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的所有两位数。8、一个长方形的房间长1.35丈，宽1.05丈，要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作为边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？9、一条长阶梯，如果每步跨2阶，那么最后剩1阶；如果每步跨3阶，那么最后剩2阶；如果每步跨4阶，那么最后剩3阶；如果每步跨5阶，那么最后剩4阶；如果每步跨6阶，那么最后剩5阶；只有每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？第6页（共63页）第三讲质数合数一、内容提要1、正整数的一种分类：1质数合数质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。2、根椐质数定义可知①质数只有1和本身两个正约数。②质数中只有一个偶数2。如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2；如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个是2。3、任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。二、例题例1两个质数的和等于奇数a(a≥5)，求这两个数。解：∵两个质数的和等于奇数∴必有一个是2所求的两个质数是2和a－2。例2已知两个整数的积等于质数m,求这两个数。解：∵质数m只含两个正约数1和m,又∵（－1）（－m）=m∴所求的两个整数是1和m或者－1和－m.例3已知三个质数a,b,c它们的积等于30，求适合条件的a,b,c的值。解：分解质因数：30＝2×3×5第7页（共63页）适合条件的值共有：532cba，352cba，523cba，253cba，325cba，235cba应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为4个质数a,b,c,d它们的积等于210,即abcd=2×3×5×7，那么适合条件的a，b，c，d值共有24组，试把它写出来。例4试写出4个连续正整数，使它们个个都是合数。解：（本题答案不是唯一的）设N是不大于5的所有质数的积，即N＝2×3×5那么N＋2，N＋3，N＋4，N＋5就是适合条件的四个合数即32，33，34，35就是所求的一组数。本题可推广到n个。令N等于不大于n+1的所有质数的积，那么N＋2，N＋3，N＋4，……N＋（n+1）就是所求的合数。练习三1、小于100的质数共___个，它们是__________________________________2、已知质数P与奇数Q的和是11，则P＝_______，Q＝_______3、已知两个素数的差是41，那么它们分别是______________4、如果两个自然数的积等于19，那么这两个数是______________；如果两个整数的积等于73，那么它们是______________；如果两个质数的积等于15，则它们是______________。5、两个质数x和y，已知xy=91,那么x=_______,y=_______,或x=_______,y=_______.6、三个质数a,b,c它们的积等于1990，那么__________________abc7、能整除311＋513的最小质数是_______8、已知两个质数A和B适合等式A＋B＝99，AB＝M，求M及BA＋AB的值。9、试写出6个连续正整数，使它们个个都是合数。第8页（共63页）10、具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？11、求适合下列三个条件的最小整数：①大于1②没有小于10的质因数③不是质数12、某质数加上6或减去6都仍是质数，且这三个质数均在30到50之间，那么这个质数是_______13、一个质数加上10或减去14都仍是质数，这个质数是_______。第四讲零的特性一、内容提要（一）零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。零是自然数，是整数，是偶数。1、零是表示具有相反意义的量的基准数。例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高收支平衡可记作结存0元。2、零是判定正、负数的界限。若a＞0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则a＞0记作a＞0a是正数读作a＞0等价于a是正数b0b是负数c≥0c是非负数（即c不是负数，而是正数或0）d≤0d是非正数(即d不是正数，而是负数或0)第9页（共63页）e0e不是0（即e不是0，而是负数或正数）3、在一切非负数中有一个最小值是0。例如绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0。记作：|a|≥0，当a=0时，｜a｜的值最小，是0，a2≥0，a2有最小值0（当a=0时）。4、在一切非正数中有一个最大值是0。例如－|x|≤0，当x＝0时，－|x|值最大，是0（∵x≠0时都是负数）。2(2)x≤0，当x＝2时，2(2)x的值最大，是0。（二）零具有独特的运算性质1、乘方：零的正整数次幂都是零。2、除法：零除以任何不等于零的数都得零；零不能作除数。从而推出，0没有倒数，分数的分母不能是0。3、乘法：零乘以任何数都得零。即a×0＝0，反过来，如果ab=0,那么a、b中至少有一个是0。要使等式xy=0成立,必须且只需x=0或y=0。4、加法：互为相反数的两个数相加得零。反过来也成立。即a、b互为相反数a+