复杂控制算法

计算机控制系统第6章复杂控制算法6.1数字控制器设计原理Go(s)是被控对象的连续传递函数，D(z)表示数字控制器，Gh(s)是零阶保持器，采样周期为T。图6-1计算机控制系统框图e(t)+-r(t)y(t)()oGsD(z)u(t)e(k)TTu(k)()hGs广义对象的脉冲传递函数定义G(z)为则图6-1对应的闭环脉冲传递函数为1()[()()]()TshooeGzZGsGsZGss()()()1()()DzGzzDzGz(6-1)(6-2)与对象结构有关的设计方法，即按照某一期望的闭环传递函数Φ(z)来设计数字控制器D(z)。这时，D(z)的结构将依赖于广义对象G(z)的结构。因为G(z)和Φ(z)已知，故由式(6-2)可求得()()()1()()DzGzzDzGz1()()()1()zDzGzz(6-3)数字控制器的设计步骤如下：1)根据式(6-1)求广义对象的脉冲传递函数G(z)2)根据控制系统的性能指标要求和其他约束条件，确定闭环脉冲传递函数Φ(z)3)根据式(6-3)求取数字控制器的脉冲传递函数D(z)4)根据D(z)导出控制器的输出u(k)设数字控制器的一般形式为则01()(),()()1miiiniiibzUzDznmEzaz≥01()()()mniiiiiiUzbzEzazUz(6-4)(6-5)由此可得数字控制器输出的时间序列为按照式(6-6)，就可编写出控制算法程序。01()()()mniiiiiiUzbzEzazUz01()()()mniiiiukbekiauki(6-5)(6-6)6.2最小拍控制系统的设计6.2.1最小拍控制原理在数字控制系统中，通常把一个采样周期称为一拍。所谓最小拍控制，是指系统在某种典型输入信号（如阶跃信号、速度信号、加速度信号等）作用下，经过最少的采样周期使得系统输出的稳态误差为零。最小拍控制系统也称最小拍无差系统或最小拍随动系统。显然这种系统对闭环脉冲传递函数的性能要求是快速性和准确性。事实上最小拍控制就是一类时间最优控制，系统的性能指标就是要求调节时间最短。1.最小拍控制系统的设计由图6-1可知，误差的脉冲传递函数为由误差表达式可知，要实现无静差、最小拍，E(z)应该在最短时间内趋近于零，即E(z)应为有限项式。因此，在输入R(z)一定的情况下，必须对Φe(z)提出要求。()()()()1()()()eEzRzYzzzRzRz12012()()()eEzzRzeezez(6-7)(6-8)11()1()()(1)rttRzz，112()()(1)TzrttRzz，212131(1)()()22(1)TzrttRzz，1()()(1,2,3)(1)qAzRzqz(6-9)单位阶跃输入单位速度输入单位加速度输入由此可得典型输入Z变换的一般形式：其中A(z)是不含有(1-z-1)因子的z-1的多项式根据Z变换的终值定理，系统的稳态误差为显然，要使稳态误差为零，Φe(z)必须含有(1-z-1)因子，且其幂次数不能低于q，即式中，Q≥q，F(z)是关于z-1的有限多项式。1111111()lim()lim(1)()lim(1)()()lim(1)()(1)eeqtzzzAzetzEzzzRzzzz1()(1)()QezzFz(6-10)为了实现最小拍，Φe(z)中的z-1幂次须为最低。令Q=q，F(z)=1则所得Φe(z)既可满足准确性，又可满足快速性要求，于是：1()(1)()QezzFz1()(1)qezz1()1()1(1)qezzz(6-12)(6-11)2.典型输入下最小拍控制系统分析1)单位阶跃输入即，这说明一个采样周期后，系统在采样点上不再有偏差，这时过渡过程时间为一拍。111()(1)()1(1)ezzzzz，11012()()()(1)/(1)100eEzzRzzzzzz11123()()()1/(1)YzzRzzzzzz(0)1(1)0(2)0eee，，2)单位速度输入即，这说明经过两拍以后，偏差采样值达到并保持为零，过渡过程时间为两拍。121212()(1)()1(1)2ezzzzzz，121121()()()(1)/(1)eEzzRzzTzzTz12112234()()()(2)/(1)234YzzRzzzTzzTzTzTz(0)0(1)(2)(3)0eeTee，，3)单位加速度输入即，这说明经过三拍以后，输出序列不会再有偏差，过渡过程时间为三拍。1313123()(1)()1(1)33ezzzzzzz，13211132122()()()(1)(1)/[2(1)]/2/2eEzzRzzTzzzTzTz2(0)0,(1)(2)/2,(3)(4)0eeeTee例6.1被控对象的传递函数和零阶保持器的传递函数分别为2()(0.51)oGsss1()TsheGss采样周期T=0.5s，当输入为单位速度函数时，试设计最小拍控制系统。12()[](0.51)TseGzZsss1212()(1),()1()2eezzzzzz1()()()1()zDzGzz121121()()()(1)/(1)eEzzRzzTzzTz图6-2按单位速度输入设计的最小拍控制器对不同输入的响应曲线a)单位阶跃输入b)单位速度输入c)单位加速度输入0y1T4T3T2T5Ta)0y1T4T3T2T5Tb)0y5T4T3T2T5Tc)23ttt3．最小拍控制器设计的限制条件(1)稳定性闭环控制系统必须是稳定的。只有广义对象的脉冲传递函数是稳定的（即在Z平面单位圆上和圆外没有极点），且不含有纯滞后环节时，上述方法才能成立。如果不满足稳定条件，则应对设计原则作相应的限制。由式(6-2)可以看出，D(z)和G(z)总是成对出现的，但却不允许它们的零点、极点相互对消。()()()1()()DzGzzDzGz(2)物理可实现性D(z)必须是物理可实现的，即当前时刻的输出只取决于当前时刻及过去时刻的输入，而与未来的输入无关。在控制算法中，不允许出现未来时刻的偏差值，这就要求数字控制器D(Z)不能有z的正幂项。假定对象有d个采样周期的纯滞后，即而我们所期望的闭环Z传递函数的一般形式为(1)(2)12()(0)ddddGzgzgzd≥1212()zzz显然，要使D(z)可以实现，必须有这时，Φ(z)应具有形式由此可知，在最小拍控制中，期望的Φ(z)要在对象纯滞后的基础上加以确定，即12(1)(2)1212(1)(2)12121211121211212121()()()1()()(1)()(1)dddddddddddddddddzzzzzzDzGzzgzgzzzzzzzggzzz120d(1)(2)12()ddddzzz'1'2'112()()()ddnnzzzzzzz根据上面的分析，设计最小拍系统时，考虑到系统的稳定性和控制器的可实现性，必须考虑以下几个条件：1)为实现无静差调节，选择Φe(z)时，必须针对不同的输入选择不同的形式，通式为2)为实现最小拍控制，F(z)应该尽可能简单，F(z)的选择要满足恒等式：Φ(z)+Φe(z)=13)为保证系统的稳定性，Φe(z)的零点应包含G(z)的所有不稳定极点；4)为保证控制器D(z)物理上的可实现性，G(z)的所有不稳定零点和滞后因子均包含在闭环脉冲传递函数Φ(z)中。1()(1)()QezzFz(6-14)6.2.2最小拍控制器设计的稳定性问题按照例6-1的方法设计的最小拍系统，闭环Z传递函数Φ(z)的全部极点都在z=0处，因此系统输出值在采样时刻的稳定性可以得到保证。但系统在采样时刻的输出稳定并不能保证连续物理过程的稳定。如果控制器D(z)选择不当，极端情况下控制量u就可能是发散的，而系统在采样时刻之间的输出值以振荡形式发散，实际连续过程将是不稳定的。1()(1)qezz1()1()1(1)qezzz例6.2图6-1所示的系统中，被控对象的传递函数和零阶保持器的传递函数分别为采样周期T=1s，当输入为单位阶跃函数时，试设计最小拍控制系统。22.1()(1.252)oGsss1()TsheGss图6-1计算机控制系统框图e(t)+-r(t)y(t)()oGsD(z)u(t)e(k)TTu(k)()hGs解首先求取广义对象的脉冲传递函数12312.11()2.1(1)(1.252)(1.252)TseGzZzZsssss11213311312111/1.252*(1)1/1.252*1/1.2521/1.2522.1(1)2(1)(1)110.286zzzzzzzz1111210.265(12.78)(10.2)(1)(10.286)zzzzz按例6-1的解法，因输入是单位阶跃，故则由此可导出输出量及控制量11()1(1)zzz1211111111111()(1)(10.286)()()1()0.265(12.78)(10.2)13.774(1)(10.286)(12.78)(10.2)zzzzDzGzzzzzzzzzz11123()()()1/(1)YzzRzzzzzz从零时刻起的输出系列为0，1，1，…，表面上看起来输出可一拍后到达稳态，但控制器输出序列为3.744，-16.1，46.96，-130.985…，呈现振荡发散，这必然导致对象的实际输出是振荡发散的，所以实际过程是不稳定的，如图6-3所示。1111111233.774(1)(10.286)()()()()()()(1)1/(1)(12.78)(10.2)3.74416.146.96130.985ezzUzEzDzzRzDzzzzzzzz图6-3不稳定的最小拍系统波形a)系统输出b)控制量输出0y1T4T3T2T5Ta)0u50T4T3T2T5Tb)tt-40由图6-1可得，，即如果对象G(z)的所有零点都在单位圆内，则控制器是稳定的。若G(z)带有在单位圆上和圆外的零点则为保证其稳定性，Φ(z)必须含有相同的零点，即图6-1计算机控制系统框图e(t)+-r(t)y(t)()oGsD(z)u(t)e(k)TTu(k)()hGs()()()()()uUzzzRzGz12izik≥1(，，，)()()()()()UzGzYzzRz(6-15)于是，根据选取F(z)时，就不能简单地令F(z)=1而应根据Φ(z)中z-1的幂次确定F(z)的次数。1111()1)1)[1(1)]qkzzzzzz（－（－1()(1)()QezzFz()()1ezz上例中，由于对象G(z)有一个在单位圆外的零点z=－2.78，对于单位阶跃输入，若选取并令由此可解出111()(12.78)zzz111()1()(1)(1)ezzzfz110