复积分的各种计算方法与应用

1第1章引言曹1.1研究背景及研究内容复变函数的积分理论是复变函数理论的重要组成部分，是研究解析函数的重要工具之一.但对于如何计算复变函数积分以及如何处理有关复变函数积分的问题，往往很难迅速找到解决问题的方法.因此，理解复变函数积分，并能够灵活运用复积分计算方法进行复积分计算就显得极其重要.复积分中的Cauchy积分定理在理论上处于关键地位，由它派生出的Cauchy积分公式、留数定理、辐角原理等都涉及到积分的计算问题.解析函数在孤立奇点的留数原本是一个积分，而实际计算却需要Laurent展式.因而把积分与级数结合起来的留数定理使复积分理论甚至是复变函数理论达到高潮，且其用途十分广泛.因此，研究复变函数积分计算的各种方法有着非常重要的意义，本文以所列参考文献[3]中的复积分计算方法为基础，并通过查阅相关资料，借鉴了文献[4]-[7]的结果，总结复积分计算的各种方法，并通过应用[1],[2],[8],[9]中的相关知识和方法，对所列出的每种方法作典型例证和分析.1.2预备知识定义1.1[3]复积分设有向曲线C：ttzz,，以za为起点，zb为终点，zf沿C有定义.顺着C从a到b的方向在C上依次取分点：011,,,,nnazzzzb.把曲线C分成若干个弧段.在从1kz到kznk,..,2,1的每一弧段上任取一点k.作成和数1nnkkkSfz，其中1kkkzzz.当分点无限增多，而这些弧段长度的最大值趋于零时，如果和数nS的极限存在且等于J，则称zf沿C(从a到b）可积，而称J为zf沿C(从a到b）的积分，并记以cfzdz.C称为积分路径.cfzdz表示沿C的正方向的积分，cfzdz表示沿C的负方向的积分.定义1.2[3]解析函数如果函数zf在0z点及zf的某个邻域内处处可导，那么称zf在0z点解析，如果zf在区域D内解析就称zf是D内的一个解析2函数.定义1.3[3]孤立奇点若函数zf在点的0z邻域内除去点0z外处处是解析的，即在去心圆域00()Nzzzz内处处解析，则称点0z是zf的一个孤立奇点.定义1.4[3]留数函数zf在孤立奇点0z的留数定义为12cfzdzi，记作0Re,sfzz.3第2章复积分的各种计算方法2.1复积分计算的常见方法（1）参数方程法定理[3]设光滑曲线:()()()()Czztxtiytt，(()zt在[,]上连续，且()0zt)，又设()fz沿C连续，则()d[()]()dCfzzfztztt.(、分别与起、终点对应)1.若曲线C为直线段，先求出C的参数方程C为过12,zz两点的直线段，1211:(),[0,1],Czzzzttz为始点，2z为终点.例1计算积分1Redizz，路径为直线段.解设1(1)(1),[0,1]zittitt，则1121001Red(1)d22iizztittti2.若曲线C为圆周的一部分，例如C是以a为圆心，R为半径的圆.设:CzaR，即Re,[0,2]iza，（曲线的正方向为逆时针）.例2计算积分d,CzzC为从1到1的下半单位圆周.解设,dd,[,0]iizezie，0d(cossin)d2Czzii.用Green公式法也可计算复积分,Green公式法是参数方程法的一种具体计算方法.例3设C为可求长的简单闭曲线，A是C所围区域的面积，求证：2czdziA.证明设zxiy，则ccczdzxdxydyixdyydx由Green公式，有：0cxdxydy42cxdyydxA得证.本题目用Green公式解决了与区域面积有关的复积分问题.（2）用Newton-Leibnize公式计算复积分在积分与路径无关的条件下（即被积函数fz在单连通区域内处处解析）也可直接按类似于实积分中的Newton-Leibnize公式计算.例4计算222(2)dizz.解因为2()(2)fzz在复平面上处处解析，所以积分与路径无关.22222322221(2)d(44)d2433iiiizzzzzzzz.（3)用Cauchy定理及其推论计算复积分Cauchy积分定理[3]设函数()fz在复平面上的单连通区域D内解析，C为D内任一条周线，则()d0Cfzz.Cauchy积分定理的等价定理[3]设函数()fz在以周线C为边界的闭域DDC上解析,则()d0Cfzz例5计算2d,22CzCzz为单位圆周1z.解1z是21()22fzzz的解析区域内的一闭曲线，由Cauchy积分定理有2d022Czzz.注1利用Cauchy积分定理也有一定的局限性，主要是要求被积函数的解析区域是单连通的，计算起来较为方便.注2此题可用参数方法，但计算要复杂得多，而用Cauchy积分定理很简单.另外，Cauchy积分定理可推广到复周线的情形.定理[3]设D是由复周线012nCCCCC所围成的有界1n连通区域，函数fz在D内解析，在DDC上连续，则0Cfzdz，或写成010nCCCfzdzfzdzfzdz，5或写成010nCCCfzdzfzdzfzdz.这也是计算复积分的一个有力工具，即复函数沿区域外边界曲线的积分等于沿区域内边界积分的和.适用于积分曲线内部含被积函数奇点的情形.例6计算22dCzzzz的值，C为包含圆周1z的任何正向简单闭曲线.解2211dd1CCzzzzzzz，分别以0,1zz为心做两个完全含于C且互不相交的圆周12,CC，则有12221111ddd11CCCzzzzzzzzzz11221111dddd11CCCCzzzzzzzz20024iii.（4）用Cauchy积分公式计算复积分Cauchy积分公式[3]设区域D的边界是周线（或复周线）,()Cfz在D内解析，在DDC上连续，则有1()()d()2CffzzDiz.Cauchy积分公式可以解决积分曲线内有被积函数的奇点的积分问题.例7计算2d1zCezz，其中C为圆周2z.解因被积函数的两个奇点是,ii，分别以这两点为心做两个完全含于C且互不相交的圆周12,CC.则有1212222ddddd111zzzzzCCCCCeeeeezizizzzzzzzzzizi22()zziizizieeiieezizi.此题是Cauchy积分公式与Cauchy积分定理复周线情形的结合.（5）用解析函数的高阶导数公式计算复积分Cauchy积分公式解决的是形如()d,()CfzDz的积分，那么形如6()d,()()nCfzDz的积分怎样计算呢？利用解析函数的高阶导数公式()1!()()d,()(1,2,)2()nnCnffzzDniz可解决此问题.例8计算22d,(1)zCezCz为2z.解因被积函数的两个奇点是,ii，分别以这两点为心做两个完全含于C而且互不相交的圆周12,CC.12222222d(1)dd(1)(1)zCzzCCezzeezzzz1222222222()()dd()()22()()(1)()2zzCCzzziziiieezizizzzizieeiiziziieie注Cauchy积分公式与解析函数的高阶导数公式在计算复积分时的主要区别在于被积函数分母的次数是否为一次因式，二者在计算时都常与Cauchy积分定理复周线情形相结合.（6）用留数定理计算复积分留数定理[3]设函数zf在以C为边界的区域D内除12,,,naaa外解析，且连续到C，则12ReknCzakfzdzisfz.例9计算2252d(1)zzzzz.解252()(1)zfzzz在圆周2z内有一阶极点0z，二阶极点1z.720052Re()2(1)zzzsfzz，1152Re()2zzzsfzz，由留数定理221052d2Re()Re()2(22)0(1)zzzzzisfzsfzizz.留数计算方法的改进留数是复变函数中的一个重要的概念，一般的复变函数专著对函数在极点处的留数通常采用下面三个引理中叙述的计算方法进行计算，即引理1[3]若a为()fz的m阶极点，即()()mzfzza,其中()z在a解析,且()0a,则1Re()(1)!mzaasfzm.引理2[3]若()()()zfzz,其中(),()zz在a解析，()0a，()0,()0aa，则()Re()()zaasfza.引理3[3]设()fz在扩充复平面上除12,,,,naaa外解析,，则()fz在各点的留数总和为零，即1Re()Re()0knzzaksfzsfz.在实际运用中，发现以上三个引理所给公式应用范围有限，对有些留数的计算效果不佳.为了使计算简化、公式更为通用，下面通过三个定理给出三个改进的留数计算公式，并相应的给出算例.定理1[6]设a是()hz的m阶零点，也是gz的m阶零点，则()()()gzfzhz在a点的留数为111dRe()lim()()(1)!dmmmzazasfzzafzmz.证明因为a为()fz的mn阶极点，则()fz在点a的邻域内可展开为()1()1()1()101()()()()()mnmnmnmnfzCzaCzaCzaCCza.则11()1()10()()()()()()mnnmmmnmnzafzCzaCzaCzaCza.8两端求1m阶导数，令za，则1111dlim()()(1)!dmmmzaCzafzmz.运用定理1只需判断()fz分母零点的阶数，不必判断分子的零点阶数及()fz极点的阶数，它简化了一些分式函数留数的计算.推论1[6]设()()()nzfzza，其中()z在点a解析，则(1)1Re()()(1)!nzasfzan.例10求225(1)()zefzz在孤立奇点处的留数.解因为0z是5()hzz的5阶零点，据推论1[6]，有44522440001d1d28Re()lim(())lim(1)4!d4!d3zzzzsfzzfzezz.定理2[6]设a为()()()zfzz的一阶极点，且(),()zz在a解析，za为()z的m阶零点，为()z的1m阶零点，则()(1)(1)()Re()()mmzamasfza.证明由假设可得112112()()(),()()()mmmmmmmmzazaazazbzabza.又a为()fz的一阶极点，则1101()()()fzCzaCCza，即1101()()()()zzCzaCCza.比较系数得11mmaCb，而()(1)1()(),!(1)!mmmmaaabmm，由此解得()1(1)(1)()()mmmaCa.例11计算积分31sind(1)zzzzze.解被积函数在单位圆内只