复积分计算方法的探讨论文

分类号：TP391学号：学号：12345678910本科毕业论文复积分计算方法的探讨Discussiononthecalculationmethodofthecomplexintegral（姓名：专业：指导教师姓名：指导教师职称：（201年月I摘要复积分即是指复变函数积分.复变函数作为数学的一门基础课，在它的分析理论中,复积分研究的主要对象是解析函数，它把复积分的各项知识有机的结合了起来.解析函数中的大部分重要性质都要通过复积分来证明和表述.在复积分的计算中柯西积分定理处于重要地位,而复变函数积分的计算是积分理论的关键问题之一，也是相对来说较难解决的问题.因此，对复积分及其计算方法的研究显得尤为重要.在日常生活中，复变函数的重要性很强，其中解析函数更是在理论和实践中都有着广泛的应用，它可以解决很多物理学等的实际问题.因此就复积分的计算方法进行总结和探讨是十分重要的.柯西积分公式、牛顿-莱布尼茨公式、解析函数的高阶导数公式以及留数定理对复积分的计算起到很大的帮助.本文将依次介绍复变函数积分的概念以及性质，然后对几种常见的计算复积分的方法作出了系统的归纳和总结，针对每一种计算方法给出例子，从中揭示诸多方法的内在联系，并且还概括了一些求解复变函数积分的小诀窍.如此，当我们再遇上复变函数积分时，就能够根据这个复积分的特点来挑选适合的计算方法，缩短解题时间，从而提高解题效率.关键词：复变函数积分牛顿-莱布尼茨公式柯西积分公式留数定理IAbstractComplexintegrationentailsComplexintegration.Complexfunctionasabasiccourseinmathematics,initsanalysistheory,themainobjectistostudythecomplexintegrationofanalyticfunctions.Themostimportantanalyticfunctionshavetoprovethenatureandpresentationthroughcomplexintegration.InthecalculationofcomplexintegralCauchyintegraltheoreminanimportantposition,oneofthekeyissuesbeingundoneFunctionIntegralIntegraltheorycalculationformulaisrelativelydifficultproblem.Therefore,thestudyofcomplexintegrationanditscalculationmethodisveryimportant.Ineverydaylife,theimportanceofastrongcomplexfunctionwhichisanalyticfunctiontheoryandpracticehaveawiderangeofapplications,itcansolvemanypracticalproblemsinphysicsandthelike.Therefore,themethodofcalculatingthecomplextosummarizeanddiscussintegrationisveryimportant.Cauchy'sintegralformula,Newton-Leibnizformula,higherorderderivativesofanalyticfunctionsandformulasremainintegraltheoremforcomplexcalculationsplayagreathelp.Thisarticlewillintroducetheconceptandthenatureofturncomplexfunctionintegration,andseveralcommonmethodsforcalculatingcomplexsystemintegrationmadeandsummarized,examplesaregivenforeachcalculationmethod,whichrevealstheinternalrelationsofmanymethods,andalsooutlinessomeofsolvingcomplexfunctionintegraltips.So,whenwere-encountercomplexfunctionpoints,accordingtothecomplexwillbeabletoselectthecharacteristicsoftheintegralcalculationmethodssuitabletoshortenthetimesolvingproblems,therebyimprovingtheefficiencyofsolvingproblems.Keywords:ComplexintegrationNewton-LeibnizformulaCauchy'sintegralformulaTTheresiduetheoremII目录摘要.................................................................IAbstract...............................................................I第一章复变函数积分简介...............................................11.1复变函数积分概述..................................错误!未定义书签。1.1.1有向曲线的概念.................................................11.1.2复变函数积分的定义.............................................1第二章常见的复积分几种算法...........................................32.1用牛顿-莱布尼茨公式（NewtonLeibnize-）计算复积分..................32.2利用定义求解复积分.................................................32.3把复积分化为实变量的实曲线积分来求解...............................42.4用解析函数的高阶导数公式求解复积分的方法...........................62.5利用柯西积分公式求解复积分的方法...................................72.6用柯西定理及其推论计算复积分.......................................82.7利用留数定理求解复积分.............................................9第三章小结..........................................................11致谢................................................................13参考文献..............................................................14原创性声明............................................................15论文使用授权声明......................................................15注：1.自动生成的目录，生成后需要调整整个目录部分（其中包括文字、数字等）均设为：宋体小四字号、段落设为：段前、段后均为0行，行距均为：固定值20磅。2.在目录中，一级标题顶格，二级标题空两个字符，若有三级标题，则三级标题空四个字符1第一章复变函数积分简介1.1复变函数积分概述1.1.1有向曲线:设C为一条给定的平面上光滑(或按段光滑)曲线,然后选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C称为带有方向的曲线,简称为有向曲线.如上图中所示.如果曲线C的正向为A到B，记为0C.那么曲线C的负向就是B到A，记为0C-.一般曲线C的正方向总是指从起点到终点的方向.反之，曲线C的负向就是终点到起点的方向，记为0C-.闭曲线方向的定义:逆时针方向为正方向，记为0C.顺时针方向为负方向，记为0C-.对区域的边界线C而言，C的正向是指当曲线上的点P沿此方向前进时，C所围区域始终在P点的左方.单连通区域的边界线C的正向沿逆时针方向:记为0C多连通区域的外边界线C的正向沿逆时针方向:记为0C.内边界线1C的正向沿顺时针方向:记为1C-.1.1.2复积分的定义xyoAB2设l为复平面上以0z为起点，而以z为终点的光滑曲线（yyx有连续导数），在l上取一系列分点011,,,,nnzzzzz把l分为n段，在每一小段1kkzz上任取一点k作和数111nnnkkkkkkkSfzzfz,1kkkzzz当n，且每一小段的长度趋于零时，若limnnS存在，则称fz沿l可积，limnnS称为fz沿l的路径积分.l为积分路径，记为lfzdz(若l为围线（闭的曲线），则记为lfzdz).1limlimnnkklnnkfzdzSfz（fz在l上取值，即z在l上变化）.如图中所示.3第二章复积分的几种计算方法常见的复积分几种计算方法有：1.用牛顿-莱布尼茨公式计算复积分；2.利用定义求解复积分；3.化复积分为实变量的实曲线积分来求解；4.用解析函数的高阶导数公式求解复积分的方法；5.利用柯西积分公式求解复积分的方法；6.用柯西定理及其推论计算复积分；7.利用留数定理来求解复积分；2.1用牛顿-莱布尼茨公式（NewtonLeibnize-）计算复变函数积分定理2.1.1NewtonLeibnize-公式：设)(zf在单连通域D内解析．Dzz21,，)(zG为)(zf的原函数，则)()()(1212zGzGdzzfzz．在积分与路径无关的条件下（即被积函数fz在单连通区域内处处解析）也可直接按类似于实积分中的NewtonLeibnize-公式计算.例2.1.1计算积分I=dxzeC)22（，其中Ｃ为（ｘ－１）2＋ｙ2＝１的上半圆周，逆时针方向.解因为2e和2z在复平面上处处解析，则Ｉ=dxze)2202（=(2e+2z)02=-2e-3用NewtonLeibnize-公式求解复积分时要注意以下几点：(1)原域D是单连通域；(2)积分值仅与起点、终点有关，与具体的路径无关（即积分与积分路径无关时）；(3)原函数是初等函数.2.2利用定义求解复积分例2.2.1计算复积分dzixyxc2，其中积分路径C是连接由0到i1的直线段.解10xxy为从点0到点i1的直线方程，则有dzixyxc2iyxdixyxi102ixxdixxx102dxxii102131i.4例2.2.2计算积分1)cdz；2)czdz，其中积分路径是连接点a及点b的任一曲线．解首先，对C进行分割，并近似求和，则（1）当C为闭曲线时，0Cdz．因为1)(zf，abzzSkknkn)(11，所以0|max|limkSmabSn，即abdzc．（2）当C为闭曲线时，0