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[奥数课堂]按规律数图形数学竞赛中常遇到数图形问题。这类问题一般都要先寻求规律，而后按照这个规律去数图形。数图形时要有次序、有条理，才能不遗漏、不重复。因此，一般步骤应是：仔细观察、发现规律、应用规津。运用规律常能使解法简便。例1下面两根线段中各有多少条线段？解（1）由一条基本线段构成的线段有：AB、BC、CD、DE，共4条；由两条基本线段构成的线段有：AC、BD、CE，共3条；由三条基本线段构成的线段有：AD、BE，共2条；由四条基本线段构成的线段只有AE1条。因此共有线段：4+3+2+1=（4+1）×4÷2=10（条）（2）可以采用（1）同样的解法：由一条基本线段组成的线段有6条，由两条基本线段组成的线段有5条，由三条基本线段组成的线段有4条，由四条基本线段组成的线段有3条，由五条基本线段组成的线段有2条，由六条基本线段组成的线段有1条，共有线段：6+5+4+3+2+1=（6+1）×6÷2=21（条）答（1）中有10条线段。（2）中有21条线段。这种先分类再排序的方法称为分类排序法。这样排序，不易遗漏和重复。由以上例子可以推知，如果线段上有五个点，就构成了四条基本线段，总线段数为四个连续自然数的和：4+3+2+1。如果有n个点，线段总数为（n-1）+（n-2）+…+3+2+1=n×（n-1）÷2（条）。找到了这个规律，我们就可以运用这个公式来解答这类问题。例2在∠AOB（图6－2）内有8条从O点引出的射线，可组成各种大小不同的角一共有多少个？解这问题类似于例1，10×9÷2=45（个）答图中有45个角。解3数一数，图6－3一共有几个长方形？分析可以按照顺序去数长方形的个数，也可以通过分析研究，找出数长方形的规律。长方形是由长和宽组成的，图中共有3个长（横向线段）、3个宽（竖向线段），解3×3＝9（个）答图中共有9个长方形。这一类型的问题在后面还要专门讨论。例4如图6－4。（1）如上图这样的形状，如果最底层有11个三角形，那么这堆小三角形共有多少个？（2）现在共有169个小三角形，按上图排列，那么最底层三角形有几个？分析根据图示可以得到规律，底层与总数有“2→4，3→9，4→16”的关系。而22＝4，33=9，44＝16，就是：“底层的个数的平方正好等于总数”。所以可得：（1）下层有11个小三角形，共有11×11=121（个）（2）因为13×13＝169，所以169个小三角形如上图排列，底层有13个小三角形。练习1．线段AB上除两端外有49个点，问这条线段上共有多少条线段？2．下图中共有多少个三角形？3．把长2厘米、宽1厘米的长方形硬纸片按照下图一层层叠起来。（1）如果叠5层，周长是（）厘米。（2）如果周长是120厘米，共有（）层。和与差一天，小明对一些小朋友说：“请你们随意说出2个数来，我会一下子算出它们的和减去它们的差的结果来！”“真的吗？”小光惊奇地问。“那当然，请出题吧！”小明自信地说。于是，小光写出了两道题：（348＋256）－（348―256）（7564＋3125）－（7564－3125）小光刚写完第2题，小明就立刻说出两题的得数分别是512、6250。大家一起算，得的结果跟小明的一样。小兰想弄明白小明计算的奥秘，又说出下面4组数：47和23，400和278，120与80，16840与3020。结果小明总是很快就说出了答案。这时，小明问小兰：“你找出规律了吗？”“还没找到。不过，我觉得关键在两数中的较小数上。”小兰回答。“对！你再研究一下得数跟较小数的关系就会明白！”“我知道了，得数是较小数的2倍！”小光兴奋地说。小明给大家解释：当我们从两个数的和中减去这两个数的差时，就是从两个数的和中减去了较大数比较小数多的一部分，得到的结果是两个较小数的和，也就是较小数的2倍。”“原来是这样！”大家这才明白。和倍问题和倍问题的特点是利用大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数各是多少的应用题，解答和倍应用题的最好助手是，采用画线段图的方法来表示两种量间的数量关系，以便找到解题的途径，你要不信，请看下面例题。例1.三年级一班和二班少先队员共做好事360件，二班做好事的件数是一班的2倍，三年级一班和二班少先队员共做多少件好事?分析:画线段图由上图可以看出：如果我们把一班做好事的件数作为1倍，二班做好事的件数是一班的2倍，那么一班和二班做好事件数的和，相当于一班做好事件数的3倍，还可以理解为3份的数量是360件，求出份的数量，也就求出了一班做好事的件数。解:一班:360÷(2+1)=120(件)二班:360-120=240(件)或120×2=240(件)答:三年级一班做好事120件,二班做好事240件。例2.妹妹有课外书20本，姐姐有课外书25本，姐姐给妹妹多少本后，妹妹课外书是姐姐的2倍?分析:画线段图解这道题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量。从已知条件得出，不管姐姐给妹妹多少本书，妹妹得到多少本书，姐姐和妹妹的图书总和是不变的量。如果我们把姐姐剩下的书看作1份，这时妹妹的课外书可看作和姐姐剩下的课外书相等的2份，也就是姐妹两人共有的倍数相当于姐姐剩下的3倍，依据解和倍问题的方法先求出，姐姐现有课外书多少本，再与原有课外书相比较，从而求出姐姐给妹妹多少本。解:1.姐妹俩共有课外书的本数是:20+25=45(本)2.姐姐给妹妹若干本后,姐妹俩共有的倍数是:2+1=3(倍)3.姐姐剩下的本数是:45÷3=15(本)4.姐姐给妹妹课外书的本数是:25-15=10(本)综合算式:25-(20+25)÷(2+1)=10(本)答:姐姐给妹妹10本课外书。例3.甲、乙两个粮库原来共存大米320吨，后来从甲粮库运出40吨，给乙库运进20吨，这时甲库存的大米是乙库的２倍，两个粮库原来各存大米多少吨?分析:根据甲、乙两个粮库原来共存大米320吨，后来从甲库运出40吨，给乙库运进20吨，可求出这时甲、乙粮库共存大米多少吨。根据这时甲库存的大米是乙库的2倍，如果这时把乙库的大米看作1份，那么甲、乙两库所存的大米就相当于乙库的3倍，于是可以求出乙库存大米多少吨，进而可求出乙库原存大米多少吨，再求出甲粮库原来存大米多少吨。解:1.甲库运出40吨,乙库运进20吨,这时两个粮库共存大米的吨数是:320-40+20=300(吨)2.这时乙粮库存大米的吨数是:300÷(2+1)=100(吨)3.乙粮库原存大米的吨数是:100-20=80(吨)4.甲粮库原存大米的吨数是:320-80=240(吨)综合算式:乙库(320-40+20)÷(2+1)-20=80(吨)甲库320-80=240(吨)答:甲粮库原存大米240吨,乙粮库原存大米80吨。例4.水果店运来水果380千克，其中苹果比梨的3倍还少40千克，水果店运来苹果和梨各多少千克?分析:把梨的数量看作1份，由于苹果比梨的3倍还少40千克，如果用运来水果的总和380千克再加上40千克就等于梨的重量的4倍。线段图：解：1.运来梨的重量是:(380+40)÷(3+1)=105(千克)2.运来苹果的重量是:105×3-40=275(千克)或380-105=275(千克)答:水果店运来梨105千克,运来苹果275千克。例5.学校图书馆买来故事书、科技书和文艺书共1000本，科技书比故事书的2倍多12本，文艺书比故事书少20本，求学校买故事书、科技书、文艺书各多少本?分析:根据条件，科技书比故事书的2倍多12本，文艺书比故事书少20本，可知都是同故事书相比较的，以故事书的本数为标准，作为1份数额解答。已知三种书的总数是1000本，如果给文艺书增加20本，那么就和故事书同样多了，再从科技书里减少12本，那么就相当于故事书的2倍了，而总本数变为1000+20-12=1008(本)相当于故事书的4倍。线段图：解：1.故事书的本数:(1000-12+20)÷(1+1+2)=252(本)2.科技书的本数:252×2+12=516(本)3.文艺书的本数:252-20=232(本)或1000-252-516=232(本)答:学校图书馆买回故事书252本,买回科技书516本,买回文艺书232本。小结:从以上例题可以看出和倍应用题的解题要点是:和÷(倍数+1)=小数(较小的数,即1倍数)小数×倍数=大数(较大的数,即几倍数)或和-小数=大数练一练1.园园和方方共有图书84本，方方的图书本数是圆圆的2倍，她们两个各有图书多少本?2.甲、乙两个油桶共存油240千克，如果把乙根的油注入甲桶40千克，这时甲桶存油正好是乙桶存油的3倍，甲、乙根原来各存油多少千克?3.果园里种桃树和梨树共340棵,其中桃树的棵数比梨树的3倍多20棵，两种树各种多少棵?4.玲玲爸爸的工资是妈妈工资的2倍，她爸爸从工资中花了360元买了一辆自行车，正好是玲玲爸爸、妈妈工资总和的一半，玲玲的爸爸每月的工资是多少元?5.有两堆水泥，第一堆有87袋，第二堆有69袋，那么从第一堆拿多少袋到第二堆，就能使第二堆的水泥是第一堆的3倍?练一练习题答案1.圆圆:84÷(2+1)=28(本)方方:28×2=56(本)2.原乙桶:240÷(3+1)+40=100(千克)原甲桶:240-100=140(千克)3.梨树:(340-20)÷(3+1)=80(棵)桃树:340-80=260(棵)4.妈妈:(360×2)÷(2+1)=240(元)爸爸:240×2=480(元)5.87-(87+69)÷(1+3)=48(袋)分割图形分割图形是使我们的头脑灵活，增强观察能力的一种有趣的游戏。我们先来看一个简单的分割图形的题目──分割正方形。在正方形内用4条线段作“井”字形分割，可以把正方形分成大小相等的9块，这种图形我们常称为九宫格。用4条线段还可以把一个正方形分成10块，只是和九宫格不同的是，每块的大小不一定都相等。那么，怎样才能用4条线段把正方形分成10块呢？请你先动脑筋想想，在动脑的同时还要动手画一画，手和脑同时参与活动，才能互相弥补不足，更快地寻找出答案。其实，正方形是不难分割成10块的，下面就是其中两种分割方法。想一想，用4条线段能将正方形分成11块吗？应该怎样分？请你画一画。“一笔画”的规律[题目]你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗？试试看。（不走重复线路）要正确解答这道题，必须弄清一笔画图形有哪些特点。早在18世纪，瑞士的著名数学家欧拉就找到了一笔画的规律。欧拉认为，能一笔画的图形必须是连通图。连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的，这道题中的三个图都是连通图。但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。什么叫奇、偶点呢？与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点；与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点。如图1中的①、④为奇点，②、③为偶点。数学家欧拉找到一笔画的规律是什么呢?1．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。例如，图2都是偶点，画的线路可以是：①→③→⑤→⑦→②→④→⑥→⑦→①2．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。例如，图1图的线路是：①→②→③→①→④3．其他情况的图都不能一笔画出。小朋友，请试一试：1．画出图1和图2的其他线路。2．图3能一笔画吗？有多少条线路？3．下图是国际奥林匹克运动会的会标，能一笔画吗？如果能，请你把它画出来。