多元函数在经济中的应用习题参考解答

第九章经济应用部分补充习题参考解答１．求生产函数的边际产量和产出关于投入要素的偏弹性.(1)2134100QLK；(2)123312,8,16QLKLK，给出经济解释.解(１)劳动投入的边际产量为233425LQMPLKL资本投入的边际产量为11342003KQMPLKK生产函数QALK两端取自然对数12lnln100lnln43QLK则产出关于劳动投入的偏弹性为(ln)1(ln)4LQEL则产出关于资本投入的偏弹性为(ln)2(ln)3KQEK（2）当8,16LK时，劳动投入的边际产量为22333(8,16)444LMPLK资本投入的边际产量为11333(8,16)844KMPLK此结果表明，在资本投入量保持16单位不变的情形下，厂商在劳动投入量8单位的基础上，再多使用1单位劳动时的额外产量为344单位；在劳动投入量保持8单位不变的情形下，厂商在资本投入量16单位的基础上，再多使用1单位资本时的额外产量为344单位．生产函数QALK两端取自然对数12lnln12lnln33QLK则产出关于劳动投入的偏弹性为(ln)10.33(ln)3LQEL则产出关于资本投入的偏弹性为(ln)20.67(ln)3KQEK此结果表明，在(8,16)处，当资本投入量保持16单位不变的情形下，而劳动投入量在8单位的基础上，改变1％时，引起产量同向变动33％；当劳动投入量保持8单位不变的情形下，而资本投入量在16单位的基础上，改变1％时，引起产量同向变动67％．2．假设某企业有两个分工厂生产同一种产品，且在同一个市场销售，设其成本函数分别为22112224,68CqCq市场需求函数为12884,pqqqq企业追求最大利润，假设每个工厂的产量都严格大于零，试确定每个工厂的产量和产品的价格.解利润函数为12pqCC221212128888610812qqqqqq其定义域为开区域1212{(,)0,0}Dqqqq.由利润最大化的一阶必要条件，有112221881280882080qqqq解方程组得唯一的驻点12(,)(6,2)qq．显然(6,2)是区域D的内点.11(6,2)12A，12(6,2)8B，22(6,2)20C则由120A,2560BAC，知12(,)(6,2)qq是利润函数的极大值点.由问题的实际意义知12(,)(6,2)qq也是利润函数的最大值点.从而当两个工厂的产量分别为6与2单位时，利润最大，此时产品的价格56单位．3．假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是1122182,12pqpq其中1p和2p分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元/吨)，1q和2q分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是25Cq其中q表示该产品在两个市场的销售总量，即12qqq．(1)如果该企业实行价格差别策略，假设每个市场的销售价格都严格大于零，试确定两个市场上该产品的销售价格，使该企业获得最大利润．在企业获得最大利润时，比较两个市场的需求价格弹性；(2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的统一销售价格，使该企业的利润最大化，并比较两种价格策略下的总利润大小．解(1)由1122182,12pqpq，可得112219,122qpqp.从而利润函数为1122pqpqC22121211014472pppp其定义域为开区域1212{(,)0,0}Dpppp.由利润最大化的一阶必要条件，有11221001420pp解方程组得唯一的驻点12(,)(10,7)pp．显然(10,7)是区域D的内点.11(10,7)1A，12(10,7)0B，22(10,7)2C则由10A,220BAC，知12(,)(10,7)pp是利润函数的极大值点.由问题的实际意义知12(,)(10,7)pp也是利润函数的最大值点.从而当两个市场上该产品的销售价格分别为10与7(万元/吨)时，最大利润为(10,7)8．当企业获得最大利润时，则第一个市场的需求价格弹性为111111101.2524dqpEdpq当企业获得最大利润时，则第二个市场的需求价格弹性为22222711.45dqpEdpq由此可见，需求价格弹性低的市场销售价格高．(2)如果企业实行价格无差别策略，则12ppp．从而利润函数为2324472pp其定义域为开区间{0}Dpp.由利润最大化的必要条件，有2430dpdp解方程得唯一的驻点8p．则由2230ddp，知8p是利润函数的极大值点.由问题的实际意义知8p也是利润函数的最大值点.从而当两个市场上该产品的统一销售价格为8(万元/吨)时，最大利润为849p．显然该企业实行价格无差别策略，获得的利润比实行价格差别策略大得多．4．某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为1p和2p，销售量分别为1q和2q,需求函数分别为1122240.2,100.05qpqp；总成本函数123540()Cqq.试问：厂家如何确定两个市场的售价，使其所获总利润最大？最大利润是多少？解由已知条件有：收益函数221211221122(,)240.2100.05Rpppqpqpppp，利润函数221212121122(,)(,)(,)320.2120.051395LppRppCpppppp.于是11320.4Lpp，22120.1Lpp.由120,0,LpLp得唯一驻点1280,120pp.根据问题的实际意义知，L存在最大值，故80,120是L的最大值点.即两个市场的售价分别为80和120时，可获最大利润，最大利润80,120605L.5．某公司通过电台及报刊两种方式做某种产品的推销广告.根据统计资料知：销售收入R(万元)与电台广告费x(万元)、报刊广告费y(万元)的关系为22(,)1514328210Rxyxyxyxy.(1)在广告费用不限制时，求最佳广告策略；(2)若提供的广告费用为1.5万元时，求相应的最佳广告策略.解利润函数为(,)(,)()LxyRxyxy221513318210xyxyxy.(1)在广告费用不限制时，由方程组13840,318200,xyLyxLxy得唯一驻点3544(，).由实际问题利润有最大值且驻点唯一，则驻点3544(，)就是(,)Lxy的最大值点，即为最佳广告策略，其最大利润为3544L(，)17744.254＝万元.(2)若提供的广告费用为1.5万元时，则所求问题为max22(,)1513318210Lxyxyxyxys.t(,)1.50gxyxy构造拉格朗日函数22(,,)1513318210(1.5)Fxyxyxyxyxy.解方程组138403182001.50xyFyxFxyFxy得唯一驻点(0,1.5).由实际问题知，利润有最大值且驻点唯一，则在提供的广告费用为1.5万元时，最佳广告策略就是电视广告费为零，报纸广告费为1.5万元时，其最大利润为(0,1.5)39L万元.6．设某消费者的效用函数为12(,)Uxyxy，其中x是甲商品的数量，y是乙商品的数量.若甲、乙两种商品的单价分别为1xp，4yp，消费者的可支配收入为48，问x，y多少时，消费者的效用达到最大.解所求问题为max12(,)Uxyxys.t(,)4840gxyxy构造拉格朗日函数12(,,)(484)Lxyxyxy.解方程组1212102404840xyLxyLxLxy得唯一驻点16,8xy.由问题的实际意义知存在最大效用.故当16,8xy时，效用最大.