多元函数的极值与最优化问题.

第八章第九节一、多元函数的无条件极值二、多元函数的最值多元函数的极值与最优化问题三、多元函数的条件极值——拉格朗日乘数法一、多元函数的无条件极值的图形观察二元函数22yxexyz1.极值定义若函数极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点),(),(00yxfyxf)),(),((00yxfyxf的某则称函数在点取得极大值邻域内有定义且满足称为极值点.).,(00yxf推广：n元函数f(P),)()()(00PfPfPf：极小值),),((00nRPPPUP(极小值)).,(00yxf定义8.10))(),((PUyx处无极值．在函数)0,0(xyz处有极大值．在函数)0,0(22yxz(1)(2)(3)处有极小值．在函数)0,0(4322yxz例2例3例1不妨设),(yxfz在点P),(00yx处有极大值,),(yxf),(00yxf,证即))(),((PUyx2.多元函数取得极值的条件定理8.10(必要条件)设函数且在该点取得极值，则有具有偏导数，.0),(,0),(0000yxfyxfyx即0),(00yxfx;类似地可证0),(00yxfy.则令),,()(0yxfx))(()()(00xUxxx处可导在00),()(xxyxfx0)(0x))(),((),(),(0000PUyxyxfyxf推广：如果三元函数),,(zyxfu在点),,(000zyxP具有偏导数，则它在点),,(000zyxP处有极值的必要条件为:0),,(000zyxfx，0),,(000zyxfy，0),,(000zyxfz.注1º2º仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的驻点.驻点可导函数的极值点例如:点)0,0(是函数xyz的驻点，但不是极值点.事实上，,,xzyzyx0)0,0(0)0,0(yxzz.)0,0(的驻点是xyz0)0,0(),(0zyxzxy，（一、三象限的点）时但当0)0,0(),(0zyxzxy，（二、四象限的点）时当.)0,0(的极值点不是xyz问题：如何判定一个驻点是否为极值点？定理8.11(充分条件)若函数的在点),(),(00yxyxfz0),(,0),(0000yxfyxfyx,),(00yxfxx,),(00yxfyx),(00yxfyyABC某邻域内具有二阶连续偏导数,且记则A0时是极大值;A0时是极小值.2)当3)当时,不能判定,需另行讨论.,0)12时当BAC02BAC02BAC时,不是极值.即有),(00yxf000极小值,0A极大值,0A非极值)(需用其他方法确定不定是极值)(2BAC求函数),(yxfz极值的一般步骤：求极值可疑点：1判断2,)1(定利用极值的充分条件判.)2(利用极值的定义若充分条件不满足，则点；驻点、偏导数不存在的例422yxz均不存在，)0,0(),0,0(yxzz例5.)(333的极值为常数求aaxyyxz解1º求驻点03303322axyzayxzyx.0)0,0()0,0(22zyxz处取得极小值在但①②03303322axyzayxzyx①②当a=0时，有唯一驻点：(0,0)当a0时，0ayxyx0)(3)]([30222aaxxaxaxzayxx否则代入①，,02axx得axx,0),(),0,0(aa有驻点：0)()(22yxayx①–②：0))((ayxyx2º判断axyzayxzyx33,3322,6xzAxx,3azBxy,6yzCyy2BAC2936axy(1)当a0时，驻点)0,0(092aA),(yxz),(aa0272aa6)0(a)0(a非极值极小值极大值时，即当0a.)0,0(333取得极值不在axyyxz时，当0a;),(),(3333aaazaaaxyyxz得极小值：取在时，当0a.),(),(3333aaazaaaxyyxz得极大值：取在(2)当a=0时，在唯一驻点(0,0)处，2BAC0)936()0,0(2axy充分判别法失效！0)0,0(,33zyxz此时，xyo+)0,0(0)0,(03zxxzx时，当)0,0(0)0,(03zxxzx时，当不是)0,0(.33的极值点yxz当a=0时，.333无极值axyyxz-二、多元函数的最值函数f在有界闭区域D上连续函数f在该区域D上一定取得最值假设:目标函数可微且只有有限个驻点.内部的极值可疑点，在求出Dyxf),(1),,2,1(),(niyxii);,,2,1(),(niyxfii计算：;,),(200MmDyxf的边界上的最值在求(这实际上是条件极值问题，边界方程即为条件方程)情形1D是有界闭区域，.),(上连续在Dyxfz求最值的一般方法：),,2,1(),(3niyxfii比较函数值，大值的大小，则最大者为最与MMm00,.m最小者为最小值情形2.),(数是实际问题中的目标函yxfz),(),(yxfyxf的最值客观上存在，且若.),(.的边界上的最值在不必求的最值点Dyxf.为极值点也无须判别该驻点是否在D内有唯一的驻点，则认为该驻点即为f(x,y)解例6,平面上求一点在xOyD2222)21162(yxyx设(x,y)为该三角形内任一点,三直线的0162yx及使它到0,0yx.距离平方之和最小所求点一定在x=0,y=0,x+2y-16=0三直线所围三角形的内部.则它到三直线的距离平方和为:目标函数(x,y)xyo816x+2y-16=0xD解得.516,58yx.516,58即为所求所以点yD53254512yx,056454518xy.0为唯一驻点，，51658而驻点唯一,由问题性质知存在最小值,.516564532545956222yxxyyxD例7求函数f(x,y)=x2+2y2-x2y2在区域}0,4),({22yyxyxD上的最大值和最小值.解(方法1)xyO1先求f(x,y)在D内的驻点.024,02222yxyfyxxfyx由),1,2(),1,2(内驻点为：得D.2)1,2(f且-22xyOL1L2上，记在边界)22(0:1xyL2)0,()(xxfxg在L1上,f(x,y)的最大值为g(±2)=f(±2,0)=4，最小值为g(0)=f(0,0)=0.上，记在边界)0(4:222yyxL)4,()(2xxfxh)22(8524xxx2再求f(x,y)在D边界上的最值-22:)22(0104)(3得驻点由xxxxhxyOL1L2-22:)22(0104)(3得驻点由xxxxh,25,25,0321xxx8)2,0()0(fh)4,()(2xxfxh)22(8524xxx.47)23,25()25(fh在L2上,f(x,y)的最大值为8，最小值为.47综上,f(x,y)在D上的最大值为8，最小值为0.实例小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买x张磁盘，y盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为：三、条件极值、拉格朗日乘数法设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．yxyxUlnln),(一般地，所谓条件极值，就是求),(yxfz在附加条件：下的极值，即求0),(yxφ0),(),(yxyxfz.)(的极值所确定的函数xzz问题的实质：求yxyxUlnln),(.200108:下的极值点在条件yx求条件极值的方法主要有两种：),(,0),(xyyyx解出即由中，转化成求再代入),(yxf)](,[xyxfz的无条件极值.2.拉格朗日乘数法1.将条件极值转化为无条件极值下的极值可疑点.0),(),(yxyxfz在条件找函数1构造函数),(),(),(yxyxfyxF解出x0,y0,2º解方程组0),(0),(),(0),(),(yxFyxyxfFyxyxfFyyyxxx3º判断，得极值可疑点：),(00yx.),(00是否为极值点yx拉格朗日函数(1)拉格朗日乘子步骤：.为某一常数其中原理：设处取得极值在点),(0),(),(00yxyxyxfz.)](,[0处取得极值在xxxyxfz，内有连续的一阶偏导数在某)(,0PUf.0),(),,(00000yxyxPy0)dd(dd00xxyxxxxyffxz),(),(dd00000yxyxxyyxxx而00)dd(ddxxyxxxxyffxz]),(),([),(),(00000000yxyxyxfyxfyxyx0),(]),(),([),(00000000yxyxyxfyxfxyyx，则令),(),(0000yxyxfλyy0),(),(0000yxyxfyy0),(),(0000yxyxfxx0),(),(0000yxyxfyy0),(00yx这正是(1)式.条件极值的必要条件注拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情形：0),,,(tzyx条件：0),,,(tzyx1构造拉格朗日函数),,,(),,,(),,,(),,,(21tzyxtzyxtzyxftzyxF.21为常数，其中2º解方程组如：目标函数),,,(tzyxfu0),,,(0),,,(00002121212121tzyxFtzyxFfFfFfFfFttttzzzzyyyyxxxx得极值可疑点：).,,,(0000tzyx3º判断.例7求函数f(x,y)=x2+2y2-x2y2在区域}0,4),({22yyxyxD上的最大值和最小值.解(方法2)在D内与边界L1上同方法1.上，构造函数在边界)0(4:222yyxL),4(2),,(222222yxλyxyxλyxFxyOL1L2-2204022402222222yxFyλyxyFxλxyxFλyx令解得极值可疑点：.2,0,2325yxyx8)2,0(f,47)23,25(f综上,f(x,y)在D上的最大值为8，最小值为0.例8解).0,0(22hRxOyhzyxhRz的最大长方体体积面平行于所围锥体内作出的底面和平面试求在圆锥面设长方体位于第一卦限内的一个顶点的坐标为(x,y,z),则长方体的长，宽，高分别为2x,故长方体的体积2y,h-z.xyzo(x,y,z)zhh),,(zyxF解方程组xF令:约束条件.022RzyxhV）（zhyx22hzRyx0,0zFλF)(zhxFy,4）（zhxy目标函数),(22Rzyxhλ)(zhy①,022yxhxλ②,022yxhyλ)(zhxy③,0Rλxy④.022RzyxhhR313242maxV进一步可解得.32,32hzRyx由实际问题存在最大值,得,xy②-①,xy得代入④,2xRhz得代入③.2Rxλ及可