多元函数的极值与最值.

第六节多元函数的极值与最值第八章多元函数微分法及其应用-1-第六节多元函数的极值与最值一多元函数的极值二多元函数的最值三条件极值第六节多元函数的极值与最值第八章多元函数微分法及其应用-2-一、多元函数的极值定义:若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有第六节多元函数的极值与最值第八章多元函数微分法及其应用-3-说明:使偏导数都为0的点称为驻点.例如,定理1(必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得极值,取得极值取得极值但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有存在故第六节多元函数的极值与最值第八章多元函数微分法及其应用-4-时,具有极值定理2(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A0时取极大值;A0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数的在点),(),(00yxyxfz0),(,0),(0000yxfyxfyx),(,),(,),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02BAC02BAC02BAC第六节多元函数的极值与最值第八章多元函数微分法及其应用-5-例1.求函数解:第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组ABC的极值.求二阶偏导数,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,06122BAC,0A第六节多元函数的极值与最值第八章多元函数微分法及其应用-6-在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,06122BAC,0)6(122BAC,0A在点(1,2)处不是极值;,0)6(122BACABC第六节多元函数的极值与最值第八章多元函数微分法及其应用-7-例2.讨论函数及是否取得极值.解:在(0,0)点邻域内的取值可能为,因此z(0,0)不是极值.因此,022时当yx222)(yxz0)0,0(z为极小值.正负0在点(0,0)并且在(0,0)有显然(0,0)都是它们的驻点,第六节多元函数的极值与最值第八章多元函数微分法及其应用-8-二多元函数的最值函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值最值可疑点区域内的驻点边界上的最值点特别,在区域函数只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)依据当区域内部最值存在,且只有唯一的一个驻点P时，则驻点一定是最值点。经判别得()fP()fP第六节多元函数的极值与最值第八章多元函数微分法及其应用-9-例3求二元函数)4(),(2yxyxyxfz在直线6yx，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.解先求函数在D内的驻点，xyo6yxD如图,解方程组得区域D内唯一驻点)1,2(,且4)1,2(f,),(yxfx0)4(22yxyxxy),(yxfy0)4(22yxyxx第六节多元函数的极值与最值第八章多元函数微分法及其应用-10-再求),(yxf在D边界上的最值，在边界0x和0y上0),(yxf,在边界6yx上，即xy6于是令)2)(6()(2xxxg,由02)6(42xxxg,得42x,2|64xxy,64)2,4()4(,0)6(,0)0(fggg比较后可知4)1,2(f为最大值,64)2,4(f为最小值.xyo6yxD)4(),(2yxyxyxfz60x第六节多元函数的极值与最值第八章多元函数微分法及其应用-11-例4.解:则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?,m2yxyxyx2220)(222xxyA0)(222yyxA因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.)2,2(33323222233箱,设水箱长,宽分别为x,ym,则高为第六节多元函数的极值与最值第八章多元函数微分法及其应用-12-例5.有一宽为24cm的长方形铁板,把它折起来做成解:设折起来的边长为xcm,则断面面积一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,cos2224xx(21sin)xsincossin2sin2422xxx积最大.)0,120:(2xD为问怎样折法才能使断面面x24x224x第六节多元函数的极值与最值第八章多元函数微分法及其应用-13-cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由题意知,最大值在定义域D内达到,而在域D内只有一个驻点,故此点即为所求.,0sin0xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x第六节多元函数的极值与最值第八章多元函数微分法及其应用-14-三、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz)(0),(xyyx中解出从条件))(,(xxfz第六节多元函数的极值与最值第八章多元函数微分法及其应用-15-,0),(下在条件yx方法2拉格朗日乘数法.如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设记.),(的极值求函数yxfz0),(yx,)(xy))(,(xxfz例如,故0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有第六节多元函数的极值与最值第八章多元函数微分法及其应用-16-引入辅助函数辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足0xxf0yyf0),(yx则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.),(),(yxyxfF因此函数),(yxfz在条件0),(yx下的极值点一定是函数),(),(),,(yxyxfyxF的驻点。第六节多元函数的极值与最值第八章多元函数微分法及其应用-17-推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,求函数下的极值.在条件),,(zyxfu,0),,(zyx0),,(zyx),,(),,(),,(21zyxzyxzyxfF第六节多元函数的极值与最值第八章多元函数微分法及其应用-18-例6.要设计一个容量为0V则问题为求x,y,令解方程组解:下水箱表面积最小.z使在条件02zyyz02zxxz0)(2yxyx00Vzyx水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz设x,y,z分别表示长、宽、高,第六节多元函数的极值与最值第八章多元函数微分法及其应用-19-得唯一驻点,2230Vzyx3024V由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.因此,当高为,340Vxyz思考:1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示:利用对称性可知,30Vzyx2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示:)()(20VzyxyxzyzxF2长、宽、高尺寸相等.第六节多元函数的极值与最值第八章多元函数微分法及其应用-20-例7求原点到曲面22xyz的最短距离。解问题可以转化为求函数222zyxu在条件022xyz的最小值问题，令)2(2222xyzzyxF02yxFx02xyFy022zzFz022xyzF得驻点2yx0z所以最短距离为222(2,2,0)2dxyz第六节多元函数的极值与最值第八章多元函数微分法及其应用-21-例8求原点到曲线1,122zyxyx短最长距离。的最解问题可以转化为求函数222zyxu在条件的最小最大值问题，令1,122zyxyx)1()1(22222zyxyxzyxF022xxFx022yyFy02zFz0122yxF01zyxF得驻点)0,1,0(),0,0,1(22(,,12)221)0,1,0()0,0,1(222minzyxd2222222max(,,12)422dxyz