多元复合函数的求导法则.

解放军理工大学理学院数理系高等数学一元复合函数：求导法则：微分法则：解放军理工大学理学院数理系高等数学解放军理工大学理学院数理系高等数学zvut定理1如果函数)(tu及)(tv都在点t可导，函数),(vufz在对应点),(vu具有连续偏导数，则复合函数)](),([ttfz在对应点t可导，且其导数可用下列公式计算：dddddd.zzuzvtutvt1.中间变量均为一元函数的情形t证),()(tttu则);()(tttv，获得增量设tt解放军理工大学理学院数理系高等数学由于函数),(vufz在点),(vu有连续偏导数,21vuvvzuuzz当0u，0v时，01，02tvtutvvztuuztz21当0t时，0u，0vd,duuttd,dvvttzvutt解放军理工大学理学院数理系高等数学0dddlim.dddtzzzuzvttutvt上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如.ddddddddzzuzvzwtutvtwtuvwtz以上公式中的导数称为全导数.ddzt解放军理工大学理学院数理系高等数学若定理中在点说明:例如:(,)zfuv,utvt易知:但复合函数(,)zftt12ddztddddzuzvutvt01010偏导数连续减弱为偏导数存在,2t222220,uvuvuv,0022vu则定理结论不一定成立.(,)(,)fuvuv解放军理工大学理学院数理系高等数学(,)zfuv222220,uvuvuv,0022vu220uv偏导数不连续解放军理工大学理学院数理系高等数学上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：)].,(),,([yxyxfz定理2如果),(yxu及),(yxv都在点),(yx具有对x和y的偏导数，且函数),(vufz在对应点),(vu具有连续偏导数，则复合函数)],(),,([yxyxfz在对应点),(yx的两个偏导数存在，且可用下列公式计算：xvvzxuuzxz，yvvzyuuzyz.2.中间变量均为多元函数的情形解放军理工大学理学院数理系高等数学uvxzy链式法则如图示xzuzxuvz,xvyzuzyuvz.yv解放军理工大学理学院数理系高等数学zwvuyx类似地，设u=(x,y)、v=(x,y)、w=(x,y)都在点(x,y)具有对x和y的偏导数，函数z=f(u,v,w)在对应点(u,v,w)具有连续偏导数,则复合函数z=f[(x,y),(x,y),(x,y)]在点(x,y)的两个偏导数存在,且可用下列公式计算：,zzuzvzwxuxvxwx.zzuzvzwyuyvywy解放军理工大学理学院数理系高等数学3.中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形定理3若u=(x,y)在点(x,y)可导，v=(y)在点y可导，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导，则复合函数z=f[(x,y),(y)]在点(x,y)可导，且,zzuxuxd.dzzuzvyuyvy解放军理工大学理学院数理系高等数学特殊地),,(yxufz),(yxu即],,),,([yxyxfz,xfxuufxz.yfyuufyz令,xv,yw其中,1xv,0xw,0yv.1yw把复合函数],),,([yxyxfz中的y看作不变而对x的偏导数把),,(yxufz中的u及y看作不变而对x的偏导数两者的区别区别类似“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”解放军理工大学理学院数理系高等数学zvuyxyx例1设vezusin，而xyu，yxv，求xz和yz.解xzuzxuvzxv1cossinveyveuu=(sin+cos)ueyvvyzuzyuvzyv1cossinvexveuu=[sin(+)+cos(+)],xyeyxyxy=(sin+cos)uexvv=[sin(+)+cos(+)].xyexxyxy解放军理工大学理学院数理系高等数学例2.2222(,,),sin,xyzufxyzezxy,uuxy求解:ux2222xyzxe224222212sin(sin)xyxyxxyezyxyxuuy2222xyzye224242sin(sincos)xyxyyxyyefx2222xyzzefyfzzy2222xyzze2sinxy2cosxy解放军理工大学理学院数理系高等数学例3.设,sintvuz.ddtzztvutttzddtevtttetcos)sin(costuuzddtz求全导数,teu,costv解:tcos注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.解放军理工大学理学院数理系高等数学为简便起见,引入记号2112,,ffffuuv例4.设f具有二阶连续偏导数,求2,.wwxxz解:令,,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufwzyf2),(2zyxzyxfzy则zxw222221211)(fyfzyxfzxyfyxf12yxf2221,,ff解放军理工大学理学院数理系高等数学(当在二、三象限时,)xyarctan二阶偏导数连续,求下列表达式在解:已知uryxyx极坐标系下的形式xrruxu(1),则rurusincos例5.设解放军理工大学理学院数理系高等数学uyurrycossinuurruy222221()()()()uuuuxyrruyrr2uxruryxyx1222,1()xyxryxyryxy解放军理工大学理学院数理系高等数学已知rsin)(rurusincos)(xux222()uxruruxusincosuryxyx)(rxu)(xururusincos2cossinrucosrsinxu2rru2sin2cos)(r注意利用已有公式解放军理工大学理学院数理系高等数学22yu2222uuxy21r22xurruru22sincossin2rruru22coscossin2同理可得22ur2221ur22()uurrrr22222222coscossin2sinrurruru解放军理工大学理学院数理系高等数学设函数的全微分为：yyzxxzzdddyyvvzyuuzd)(可见无论u,v是自变量还是中间变量,)dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数)(fz),(,),(yxyxudvd都可微,其全微分表达形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.解放军理工大学理学院数理系高等数学例1.,,,sinyxvyxuvezu.,yzxz求利用全微分形式不变性再解例1.解:)(ddz)]cos()sin([yxyxyeyx所以veusinvveudcos)(dyx)(dyx)d(dyxxdyd)dd(yxxy例6.解放军理工大学理学院数理系高等数学思考题1.已知求解:由两边对x求导,得解放军理工大学理学院数理系高等数学))1,1(,1()1(ff1)(dd3xxx1)1,1(f1dd)(32xxx3)),(,(1xxfxf)),(,(2xxfxf1x351,1)1,1(f,)),(,()(xxfxfx,2)1,1(xf求在点处可微,且设函数,3)1,1(yf解:由题设23)32((2001考研)2.解放军理工大学理学院数理系高等数学内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如,uvyxyx;122.全微分形式不变性对不论u,v是自变量还是因变量,d(,)d(,)duvzfuvufuvv(,),zfuv