多元微分学复习

退出二一三五六四退出返回以及的投影.记22aijk.x18ax12322,xxx123{,,}.xxxx123182244,xxxccc1232,,2,xcxcxca在矢量2.c例1-1试求与矢量的矢量{3,4,12}b,,ijkPrj5;ia22215024(3)(4)(12){5,0,2}a例1-2求矢量平行显然，又且满足矢量方程18ax解424{4,2,4}.xijk解Prj0;jaPrj2;kaPrj||babab39133.,x∥{2,1,2},a从而,cxa故借助坐标对向量实施加减、数乘、点乘和叉乘（参阅教材P267-P273）退出返回1.经过点3.经过点4xyz例1-3求满足指定条件的平面方程2.经过点1.xyzaaa(6,2,4),有非零的等截距.4a,(2,2,2)3(4)7(7)5(1)0xyz1.由点法式立得6241,aaa3.由截距式知方程形如1112121210111111xyz2.由三点式可得(6,2,4)(1,1,1);(1,1,1)(4,7,1)M375120;xyz即375660.xyz解即340.xz∵平面过点故所求的方程为40.xyz即亦即xyz2(1)0(1)6(1)0.平行于平面和且在三坐标轴上退出返回退出返回和.121112231xyz1.由两点式立得直线方程（组）亦即121.002xyz解【注】44331133txtyzt2.（参数式改写法）令xyz4/311/304/31/31故所求的点向式或对称式为4/311/3.413xyz50584360xyzxyz2.直线1.经过点的(1,2,3)(1,2,1)例1-4求满足指定条件的直线方程组点向式或对称式（或标准）方程（组）。两分母为零，意味着直线的与坐标轴（本题指Z轴）平行。或可解出zttxtyzt44331133即0(0,4,1),M12111584ijksnn2.（直接取点取向法）于是所求的点向式为41.413xyz{4,1,3}.点取方向向量取2.已知且则||3,||2,ab||6,ab.ab1.已知且则||2,||1,ab1,ab||.ab【每周二、三题】解解^1cos(,),2||||ababab^||||||sin(,)ababab32123.^||6sin(,)1,23||||ababab^||||cos(,)ababab3200.退出返回125.122xyz224zxy0(1,2,5)M在点222240,4,xyzFxyz处的法线方程（组）与切平面方程.(1,2,5){2,2,4}|xyn2250,xyz于是，曲面在M0处的切平面方程为(1)2(2)2(5)0xyz{2,4,4},亦即或取{1,2,2}.n4.求曲面解而法线方程（组）则为（参阅教材P344-P346）与曲面相切于某点的平面叫切平面，过切点与切平面垂直的直线叫法线23,,xtytzt0(1,1,1)P在点2001(),ytt001(),xtt3.求曲线处的切线方程（组）和法平面方程。3001(),ztt01.t1(1)2(1)3(1)0,xyz0()1,xt00()22,ytt200()33,ztt2360.xyz则所求的法平面方程即为解000{(),(),()}sxtytzt亦即故所求的切线方程（组）为111,123xyz{1,2,3}.又,ns再取法线向量（参阅教材P343-P344）22(ln)yzxxyy212()yzyxxx例2-1已知,yzx试求解ln,yzxxy1,yzyxx2,zxy22,zy22,zx2.zyx2(1),yyyx2ln.yxx21()yzyxxyy11ln,yyxyxx2(ln)yzxxyxx11lnyyyxxxx11ln,yyxyxx混合偏导必定彼此相等。的混合偏导不一定彼此相等。可以证明:退出返回二阶混合偏导若不连续，则两不同次序二阶混合偏导连续时，两不同次序的混合偏导改变次序则不相等的特例：22222222(),00,0xyxyxyzxyxy2(0,0)|1,zxy2(0,0)|1;zyx22(0,0)(0,0)||.zzxyyx（特例摘自《高等数学引论》第一卷第二分册P36-P37）（参阅教材P344-P346）12,,xwxwy222(2)(),ufxyz1212dwwuuuxwdxwx解121ffwyw2()uuxyyx例2-2按要求计算⑴令2:uxy（假设f的二阶偏导数连续）(1)(,),xufxy则121()ffyy122211()()fffyyyyuxy1w2w2212222211wwfffyyyy122222231xxfffyyy121,ffy222,wxyzuduwdfwxdwxdwx2,xf2(2)uxfxyy⑵令则2()xfy2dfwxdwy2224()xyfxyzfxywz22xyfThebestbetistolookforanoblesteedwiththeaidofitspictures.12,fff退出返回―标准函数关于自变量的偏导数标准函数关于因变量的偏导数＝隐函数存在定理例2-3已知tan(),xyexyy求0|.xdydx解tan()0,xyexyy00||xxxyFdydxF2sec(),xyxFyeyxy2sec()1.xyyFxexxy2x=02sec()|1sec()xyxyyeyxyxexxy2(0).ytan()xyFexyy∴令即可得故依隐函数存在定理（标准函数求偏法）tan(),(0)101,xyyexyy由于0|2(0)12.xdyydx故退出返回例如，(,)0:FxyxyFdydxF(,,)0:Fxyz,xzFzxF由标准方程确定的函数的导数或偏导数，皆可由方程左端的标准函数关于其所有变量的偏导数计算如下：因变量关于自变量的（偏）导数yzFzyF求例2-4按要求计算下列函数的全微分22(2),xuxy(0,1)|.du22221(2)()uxxxxxyxy2(0,1)(0,1)223/2223/2||()()yxydxdyxyxy2222(0)uxyyxyxycos(1)(ln),xuycos(1)sin(ln)ln(ln),xuxyyxuududxdyxycos11cos(ln),xuxyyy0dxdy解求.ducos1coscos=(ln)sin(ln)ln(ln).xxxydxxyydyy偏微分是函数关于不同单个自变量的微分，全微分是函数关于全部可能自变量的偏微分之和(0,1)(0,1)(0,1)|||uududxdyxy2223/2,()yxy223/2,()xyxy.dx退出返回函数在某点的的全微分，只与函数在该点关于各自变量的偏导数有关，而与自变量的微分无关。二元函数全微分式的特征的表达式保准就是某二元函数的全微分.(,)(,)PxydxQxydy函数u的全微分。时，表达式可微函数(,)uuxyuududxdyxyPQyx但这却不意味着，一切形如(,)(,)PxydxQxydy可以证明，仅当的全微分表达式才可能成为某个二元退出返回虽具构形可微必可偏，可偏不尽可微.可微必连续，连续不尽可微.可偏不尽连续，连续不尽可偏.可微、可偏与连续间的相互关系例2-5设(1,1,1)gradf23(,,),fxyzxyz求其在解={1,2,3},2(1,1,1)={1,2,3}|yz求函数沿方向(1,1,1)uxyz的方向导数.解(1,1,1)|Prj(1,1,1)llfgradf(1,1,1)||gradfll1.3方向导数的梯度向量投影算法（参阅教材P350-P352）多元函数的方向导数等于函数的梯度向量在指定方向向量上的投影例2-6给定点点在点M处沿向量(9,4,14),N{2,2,1}l的方向导数.222{1,2,3}.{2,2,1}2(2)1MN(5,1,2),M(5,1,2)gradu(5,1,2)={z,,}|yxzxy={2,10,5},(5,1,2)|Prj(5,1,2)MNMNugradu(5,1,2)||graduMNMN98.13222{2,10,5}.{4,3,12}4312退出返回例3常见二次曲面及其方程一览（1）1222222czbyax2222221xyzabc1222222czbyaxzqypx2222zqypx22220pq0pq命名法：垂直切割截痕法椭圆抛物面双叶双曲面双曲抛物面zqypx22220pq椭球面单叶双曲面参阅教材P306-P309退出返回(,,)0Fxyz),,(zyxMo圆柱面锥面X单叶双曲面1222222czbyax222xyR111(0,,)MyzYZZX22222xyczabY(,,)0Fxyz退出返回例3常见二次曲面及其方程一览（2）外观与方程辨异min(1,0)103095.ff例4-1试求函数又解223690360xyfxxfyy函数无不可偏点，但由方程组可解知，函数存在四个驻点66,66,0,xxyyxyfxfyf2(3,2),P1(3,0),P3322(,)339fxyxyxyx3(1,0),P4(1,2).P的极值.驻点的极值性判别式36(1)(1),xxxyxyyyffxyff136(31)(10)0,从而可求出四驻点的判别式236(31)(12)0,336(11)(10)0,436(11)(12)0,∴只有驻点P2和P3是极值点；并且由于2(3,2)|(66)60,xxPfx3(1,0)|(66)60,yyPfy故函数的极大点为P2，极小点为P3，从而函数的极大值max(3,2)27827122731,ff函数的极小值退出返回满足例4-2试求函数221xy解（Lagrange乘子法）令Lagrange函数2222(,)2(1)LPxyxy再令220,xx420,yy2210.xy约束条件的最大与最小值.22(,)2fxyxy解此方程组并消去参数λ，即得四疑似max{2,2,1,1}极（最）值点max14max{()}iiVfP2(0,1),P1(0,1),P3(1,0),P4(1,0).P于是，比较目标函数在其上的取值大小2.min{2,2,1,1}min14min{()}iiVfP1.【说明】求得疑似的条件极最值点后，依