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行程问题的基本模型物体的运动，最简单的情形是匀速直线运动，设物体作匀速直线运动的速度为v，在时间t内运动的距离为S，则有S=v·t这就是物体作匀速直线运动的数学模型．由于实际物体运动未必都是匀速的，比如汽车在行程中，开动时速度是由小变大，停止时速度是由大变小的．这些我们都忽略不计，而将汽车速度看成是“平均速度”，这样就将实际上并不是均速运动的情形加以简化，近似地看成匀速运动．在小学、初中阶段我们研究行程问题，都是在匀速运动模型中进行的．行程问题中，追及、相遇又是两种最基本的模型．追及模型甲、乙二人分别由距离为S的A、B两地同时同向(由A到B的方向)行走．甲速V甲大于乙速V乙，设经过t时间后，甲可追及乙于C，则有S=(V甲－V乙)×t相遇模型甲、乙二人分别由距离为S的A、B两地同时相向行走，甲速为V甲，乙速为V乙，设经过t时间后，二人相遇于C．则有S=(V甲+V乙)×t利用一元一次方程及二元一次方程组所解的行程问题，大体都可纳入追及或相遇两种模型．例1时速4千米的A追赶时速3千米的B，两人相距0.5千米时，有一只蜜蜂从A的帽子上开始来回在两人中间飞，直飞到A追及B为止，若蜜蜂时速10千米．问蜜蜂飞了多少千米？(选自古代的问题)例2总站每隔一定时间发车一次，有人在街上匀速行走，发现从背后多少时间发一辆车？分析设总站每隔x分钟发一辆车．若人在A处时正好有一辆车开过，对于A处来讲必顺再等x分钟后才又有一辆车从背后开来，但x分钟后人已从A走到B处，这时A处的车与B处的人成同时同向行走并在C处车可追上人．依题意人由A到C花了6分钟，显然人由B到C用6－x分钟，这与汽车从A到C花的时间相等．于是对行AC距离而言，汽车速度×(6－x)=人的速度×6另一方面，如下图若人在D处时迎面有一辆车开过，设再过x分钟才到达D的后一辆车正在F处，也就是说DF这段路程汽车需要走x分钟(因为每隔x分钟发车一次)．但当人继续前进时，汽车也从F与人相向而行．由题意走解之得，x=5．答：总站每隔5分钟发—辆车．说明本题实质上是由相遇模型与追及模型组合而成的，因此在解题过程中要分别为两个模型寻求关系．例3游泳者在河中逆流而上，于桥A下面将水壶遗失被水冲走，继续前游20分钟后他发现水壶遗失，于是立即返回追寻水壶．在桥A下游距桥A2千米的桥B下面追到了水壶．问该河水速每小时多少千米？解设该河水速每小时x千米，游泳者每小时游a千米，则游泳者逆流每小时行(a－x)千米，顺流速(a+x)千米/小时．流而下，游泳者速度为每小时(a＋x)千米，水壶每小时速度为x千米的追及问题．换言之，游泳者顺流行DB的时间与水壶顺流漂CB的时间相等．于是可列方程如下∵a≠0∴x＝3．答：该河水速每小时3千米．说明本题只要游泳者游速大于每小时3千米时都是合理的．例4马跑5步的时间狗跑6步，狗跑4步的距离与马跑7步的距离相同，马已跑出5.5千米时，狗开始追它，马再跑多远，狗可追及马？(选自古代的问题)分析设马再跑x千米，狗可追及马在C点，这表明狗跑5.5+x千米与马跑x千米所用时间相同．因此，关键在马与狗的速度之间关系的分析．由题设狗跑4步的距离与马跑7步的距离相同．这就是说，狗跑一步解这个方程，得x＝5．答：马再跑5千米狗可追及马．例5某人每天下午5点下班时，有汽车按时到达接他回家，有一天，他提前一小时结束工作因汽车未到遂步行回家，在途中遇到接的汽车又乘车因而比平日早10分钟到家．问某人步行多少分钟遇到汽车的？设某人工作地点在A，家在B，下午4点某人步行出发向B走与按时开出来接他的汽车相遇于C点．这样汽车由C返回到B比往常提前10分钟．这表明汽车由C→A→C共需10分钟，因此，汽车由C到A共需5分钟，但某人从下午4点动身自A行至C与汽车相遇后若汽车继续由C向A行驶5分钟可到A此时恰是下午5点，设某人步行了x分钟，则x+5＝60x＝55．例6今给1000名徒步行进时速为5千米的某部队配备每辆载人50名时速为25千米的大汽车5辆，于上午6时协同部队同时出发．开赴相距100千米的某地集结，设上车下车所需的时间略去不计，试编拟一行军计划，标明徒步行军与汽车运送如何同时进行，方能使全体部队于最短时间内到达集结地点，并作一简图表明汽车往返行驶的路线．解在汽车不够的情况下，要使全体部队在最短时间内到达集结地点，必须汽车运送与步行同时进行，且汽车运送的起先几批人，必须各在中途适当的地点下车，然后继续步行前进到达终点，决不能先把一批人直接运到终点停留在那里，这样就浪费时间；而空车往回开时遇到后面步行的部队，应当即行载上向前方前进，最后乘车的一批人与其他几批已乘过车而继续步行的人应同时到达集结地点，因此每人乘车的时间应相等，步行的时间也应相等．现5辆车可载250人，故把1000人分成每队250人的四个分队，每个分队轮流乘车一次，设每队乘车的时间是x小时，汽车把第一分队人运到距出发地点25x千米处后即往回开，而第一分队下车后继续步行前进．当汽车和其他三个分队相遇时，汽车和他们步行合计路程是50x千米，而汽千米，相遇后汽车把第二分队人载上前进，到和相遇地点距离25x千米处第二分队人下车后再往回接运第三分队的人，而第二分队的人继续步行前进，这样继续进行，最后把第四分队人直接运至终点，而其他三个已乘过车而中途下车步行的分队和载第四分队的汽车一齐到达终点．这样就得到了方程式解之得x=2．即每队乘车2小时共行50公里，其余50公里步行需10小时，所以经过12个小时后全体部队都可同时到达集结地点，也就是全体部队于下午6点到达集结地点．下面可作出一简图表明四个分队的行军路线，其中实践表示汽车行进的运行图，虚线表示徒步行军的路线．例7已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同，而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同；猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同．猫、狗、兔沿着周长为300米的圆周跑道，同时同向同地出发．问：当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程．解设猫速为V猫，狗速为V狗，兔速为V兔，依例4的方法分析，得出可见狗跑得最快，兔次之，猫最慢．设经过时间t后猫、狗、兔三者相遇，那么可以假定，狗比猫多跑n1圈，兔比猫多跑n2圈，狗比兔多跑n3圈，所以有t(V狗－V猫)＝n1×300t(v兔－V猫)＝n2×300t(V狗－V兔)＝n3×300n1与n3都是正整数，所以n2为27的倍数，第一次相遇，取n2=27，得n1=50，n3=23．即出发后三者第一次相遇时，狗跑了23437.5米，而猫跑了23437.5－15000＝8437.5(米)，兔跑了23437.5－23×300=16537.5(米)．练习题1．一个人骑车上班每分钟比平时快10米，结果提前5分钟到达工作地点；下班时每分钟比平时慢10米，结果晚到家7分钟．问这个人的家与他工作地点相距多少米？2．甲、乙二人分别从A、B两地同时相向匀速行进，第一次相遇在距A点700米处，然后继续前行甲到B处，乙到A处后都立即折回，第二次相遇在距B点400米处，求A、B两地的距离是多少米？(1993年北京市中学生数学竞赛试题)3．某手表每小时比准确时间慢3分钟，若在清晨4点30分与准确时间对准，则当天上午该手表指示时间是10点50分时，准确时间应该是几点几分？(1988年全国初中通讯赛试题)