多自由度运动方程的建立.

第九章结构动力学多自由度运动方程的建立§9.1自由度的选择§9.2动力平衡条件§9.3轴向力的效应第九章多自由度体系的运动方程单自由度体系两种描述方法•单一的坐标•一个变形函数——广义坐标影响近似分析的精度的因素§9.1自由度的选择主要有：荷载的空间分布荷载的时间历程结构自身的动力特性——刚度、质量及阻尼§9.1自由度的选择离散体系自由度的描述方法自由度方向的位移幅值广义坐标表示的一组位移模式的幅值采用第一种方法§9.1自由度的选择自由度选择的原则假定结构的运动梁上一系列离散的位移所确定，原则上，结构的这些点可以任意设置；但实际上，这些点的分布必须与主要的物理特性相适应，并且应该形成一条很好的挠曲线。所考虑的位移分量（自由度）数目取决于分析者的判断；当然取较大的数目能更好地逼近真实的动力行为，但是在许多情形中，只用二、三个自由度就能获得极好的结果。每一个节点上可以取几个位移分量，例如可以取转角和纵向位移作为每一个点上的附加自由度。§9.1自由度的选择图9-1一般梁式结构的离散化梁上每一个节点只取一个位移分量。然而，每一个节点上可以取几个位移分量，例如可以取转角和纵向位移作为每一个点上的附加自由度。每一个自由度其动力平衡条件可写为111122223333()()()IDSIDSIDSfffptfffptfffpt当力向量用矩阵形式表示时也可写成IDSf+f+f=p(t)（9-1）（9-2）§9.2动力平衡条件§9.2动力平衡条件每一抗力可以非常方便地用一组适当的影响系数来表示，例如在自由度1方向上产生的弹性力分量11111221331SNNfkvkvkvkv22112222332SNNfkvkvkvkv（9-3a）（9-3b）写成一般形式为112233SiiiiiNNfkvkvkvkv（9-3c）§9.2动力平衡条件刚度影响系数由j自由度单位位移引起的对应于i自由度的力用矩阵形式表示全部弹性力的关系为或者sf=kv（9-4）（9-5）（9-6）ijk......................................................21321222322211113121121iiNiiiiiNiNiSiSSvvvkkkkkkkkkkkkkkkfff§9.2动力平衡条件若假定阻尼与速度有关，全部阻尼力为11111213112232222122123DiNDiNDiiiiiiiiNfvcccccfcccvccfvccccc或者Df=cv阻尼影响系数ijc由j自由度单位速度引起的对应于i坐标的力（9-7）（9-9）（9-8）§9.2动力平衡条件惯性力可由质量系数表示为11111213112232222122123IiNIiNIiiiiiiiiNfvmmmmmfmmmvmmfvmmmmm或者If=mv质量影响系数iim由j自由度单位加速度引起的对应于i坐标的力（9-10）（9-11）（9-12）§9.2动力平衡条件完整的动力平衡方程为v+cv+kv=p(t)m（9-13）计入轴向力的动力平衡方程为iDSGf+f+f-f=p(t)轴向荷载产生的产生的这些力可用影响系数表示为11121311122322212212312iNiNiiiiiiiNGGGGGGGGGGGGiGGGGGGkkkkkfvfkkkkkvvfkkkkk（9-14）（9-15）§9.3轴向力的效应或者GGf=kv（9-17）§9.3轴向力的效应几何刚度影响系数:ijGk由j自由度单位位移和结构中由轴向力分量引起的对应于i坐标的力（9-16）§9.3轴向力的效应引入上式，结构的动力平衡方程（计及轴向力）为Gmv+cv+kv-kv=p(t)mv+cv+kv=p(t)或者mv+cv+kv=p(t)Gk=k-k（9-18）（9-13）（9-19）（9-20）第十章结构动力学结构特性矩阵的计算§10.1弹性特性§10.2质量特性§10.3阻尼特性§10.4外荷载§10.5几何刚度§10.6特性公式的选择第十章结构特性矩阵的计算柔度系数ijf在j坐标施加单位荷载引起对应i坐标的位移（10-1）§10.1弹性特性§10.1弹性特性图10-1柔度影响系数的定义当任意荷载组合下某点1产生的挠度为11111221331NNvfpfpfpfp§10.1弹性特性则全部位移可表示为11121311112223222122123iNiNiiiiiiiiNfffffvpvpfffffvpfffff（10-3）或者v=fp（10-4）或者sv=ff（10-5）§10.1弹性特性刚度系数表示一个自由度发生单位位移而其它自由度不动时在结构中产生的力.图10-2刚度影响系数的定义§10.1弹性特性结构的基本概念应变能应变能等于使体系变形所做的功,即nTiii=111U=pv=pv22将(10-4)代入上式得T1U=pfp2将式（10-6）转置，并将式（9-6）代入，可得T1U=vkv2注意Tvkv0Tpfp0（10-6）（10-7）（10-8）（10-9）sf=kvv=fp§10.1弹性特性正定/半正定矩阵Tvv0A正定/半正定矩阵§10.1弹性特性刚度矩阵与柔度矩阵的关系sf=kv1k左乘刚度矩阵与柔度矩阵互逆1kf§10.1弹性特性按相反的次序对结构施加两种荷载。第一种情况首先加荷载a再加荷载b，第二种情况则以相反的次序施加荷载，两者所做的功分别如下：荷载a:荷载b:总和：Taaiaiaaa11W=pv=pv22TTbbabbbab1W+W=pv+pv2（10-11）情况1TTT1aabbabaabbab11W=W+W+W=pv+pv+pv22§10.1弹性特性情况2:荷载b:荷载a:总和:Tbbbb1W=pv2TTaabaaaba1W+W=pv+pv2TTT2bbaababbaaba11W=W+W+W=pv+pv+pv22（10-12）§10.1弹性特性Betti定律（10-13）TTabbapv=pv结构的变形与加荷次序无关，应变能也相等---唯一性、能量守恒图10-3两组独立的荷载系与产生的变位§10.1弹性特性显然（10-14）（10-15）它说明了功的互等定理假如对于这二组力和位移写出式（10-4）代入上式。即刚度矩阵也是对称的。TTabbapv=pvTf=fTTabbapfp=pfp说明柔度矩阵必定是对称的，同样（9-6）代入得Tk=k（10-13）v=fpsf=kv§10.1弹性特性有限单元刚度图10-4由于左端结点单位位移而产生的梁挠度§10.1弹性特性如图所示变截面直梁段，单元的两个节点位于两端，通过这两个节点可以把这类单元组合成结构，假如只考虑横向平面位移，每一个节点只有竖向位移和转角两个自由度。上图表示单元左端发生每一种类型的一个单位位移而同时又将其它三个节点位移约束时，所产生的挠度曲线。这些位移函数可以是任意形状的，只要它们满足节点和内部连续的要求，但是一般假定这些节点位移作用下等截面梁上所引起的变形形状，它们是三次Hermite多项式，表示为§10.1弹性特性（10-16a）（10-16b）（10-16c）（10-16d）位移发生在右端产生的相应形状函数为231()13()2()xxxLL23()(1)xxxL232()3()2()xxxLL24()(1)xxxLL§10.1弹性特性单元的挠曲形状能用它的节点位移表示为参照图10-4，自由度的编号如下（10-17a）11223344()()()()()vxxvxvxvxv1234ababvvvvvv（10-17b）§10.1弹性特性图10-5结点产生真实转角和虚位移的梁§10.1弹性特性由内力虚功产生的内力矩为（10-18）113EaaWvpvk3()()()xEIxx§10.1弹性特性（10-19）（10-20）（10-21）令（10-18）与（10-19）相等，该刚度系数表示成因此内力功为所以，与梁弯曲相应的任一刚度系数为11130()()()LWvEIxxxdx1310()()()LkEIxxxdx0()()()LijijkEIxxxdx§10.1弹性特性直接刚度法的概念（10-23）当结构全部单元的刚度系数求出后，只要适当叠加各单元的刚度系数就能得到整个结构的刚度，这叫做直接刚度法。假如单元m、n和p都与结构的i节点相连，该节点的刚度系数是()()()mnPiiiiiiiikkkk§10.2质量特性集中质量矩阵假定全部质量集中在某些需要计算平动的点上，将结构分割成段，以节点作为连接点，每一段的质量在它的节点上各自集聚成点质量，整个结构上任一节点集聚的总质量等于该节点连接的各段分配给此节点的质量和。对于只须确定平移自由度的体系，集中质量矩阵具有对角形式，其中对角线的项数等于自由度数。假如在任一节点处有几个平动自由度，则用同样的点质量与这个节点的每一自由度相对应。因为假定质量集中在点上没有转动惯量，所以与任何一转动自由度相关联的质量为零。所以一般说来，集中质量矩阵为对角矩阵，其中包括与转动自由度相对应的零对角元素。§10.2质量特性一致质量矩阵图10-7结点承受真实的角加速度和虚的位移§10.2质量特性33()()vxxv如图所示的变截面梁，它的自由度是两端的平移和转动，假定由用于推导单元刚度中同样的插值函数来确定跨度内的位移。假定梁左端受单位加速度作用，沿梁长加速度分布为（10-25）抵抗这个加速度的惯性力为33()()()()()Ifxmxvxmxxv（10-26）§10.2质量特性把影响与此加速度相关联的质量影响系数定义为此加速度所产生的惯性力，利用虚位移原理得（10-27）（10-28）用插值函数表示内部虚位移，并代入（10-26）可导出任意梁段的任何一个质量影响系数为0()()LaaIpvfxvxdx13130()()()Lmmxxxdx0()()()Liiijmmxxxdx§10.2质量特性这个等式的对称形式说明质量矩阵是对称的，当计算质量系数采用同样的插值函数时，所得的质量矩阵叫一致质量矩阵。常用三次Hermite多项式。利用单元刚度矩阵叠加得到整个单元集合体的质量矩阵。一致质量体系动力分析的计算工作量一般要比集中质量体系大得多。§10.3阻尼特性任何单元体系的阻尼系数为（10-30）单元的阻尼影响系数被确定以后，整个结构的阻尼矩阵就能够应用与直接刚度法相同的叠加过程来求得。然而阻尼特性实际上是算不出来的。因此常常根据类似结构的实验方法所确定的阻尼比来表示阻尼，而不用显式的阻尼矩阵。0()()()Lijijccxxxdx§10.3阻尼特性§10.4外荷载静力的合力节点力可以当作一组与分布荷载静力等效的集中荷载来确定。实际上这种分析方法就相当于把实际荷载通过支撑于节点上的一系列简支梁加到结构上，而支座处产生的反力就变成作用在结构上的集中节点力。§10.4外荷载§10.4外荷载建立计算各节点自由度相对应的节点力，采用虚位移原理导出的节点力为一致节点荷载。如图所示