小学数学奥林匹克竞赛找出数列的排列规律(二)(含答案)

找出数列的排列规律（二）这一讲我们利用前面学习的等差数列有关知识和找规律的思想方法，解决数学问题。（一）例题指导例1.如果按一定规律排出的加法算式是3+4，5+9，7+14，9+19，11+24，……，那么第10个算式是（）+（）；第80个算式中两个数的和是多少？分析与解：第一个加数如下排列：3，5，7，9，11……，这是一个等差数列，公差是2，第二个加数排列如下：4，9，14，19，24，……，这也是一个等差数列，公差是5。根据等差数列的通项公式可以分别求出第10个算式的两个加数。31012214101549所以第10个算式是2149。要求第80个算式的和，只要求出第80个算式的两个加数，再相加即可，当然也可以找一找和的规律。想一想：第几个加法算式中两个数的和是707？例2.有一列数：1，2，3，5，8，13，……，这列数中的第200个数是奇数还是偶数？分析与解：要想判断这列数中第200个数是奇还是偶，必须找出这列数中奇、偶数的排列规律。不难看出，这列数是按照“奇偶奇”的顺序循环重复排列的，即每过3个数循环一次。那么到第200个数一次循环了66次还余2。这说明到第200个数时，已做了66次“奇偶奇”的循环，还余下2个数。也就是说余下的两个数依次为“奇偶”，所以第200个数是偶数。例3.下面的算式是按某种规律排列的：1+1，2+3，3+5，4+7，1+9，2+11，3+13，4+15，1+17，……问：（1）第1998个算式是（）+（）；（2）第（）个算式的和是2000。分析与解：（1）第1个加数依次为1、2、3、4，1、2、3、4……每4个数循环一次，重复出现。199844992……，所以第1998个算式的第1个加数是2。第二个加数依次为1，3，5，7，9，11……是公差为2的等差数列。根据等差数列的通项公式可求出第1998个算式的第2个加数为11998123995，所以第1998个算式是23995。（2）由于每个算式的第二个加数都是奇数，所以和是2000的算式的第1个加数一定是奇数，不会是2和4。只有12000x或32000x。其中x是1、3、5、7、9……中的某个数。若12000x，则x1999。根据等差数列的项数公式得：19991211000，这说明1999是数列1、3、5、7、9……中的第1000个数，因为10004250，说明第1000个算式的第1个加数是4，与假设12000x矛盾，所以x1999；若32000x，则x1997。与上同理，1997121999，说明1997是等差数列1、3、5、7、9……中的第999个数，由于99942493……，说明第999个算式的第一个加数是3，所以，第999个算式为319972000。例4.将1到200的自然数，分成A、B、C三组：A组：167121318……B组：258111417……C组：349101516……根据分组的规律，请回答：（1）B组中一共有（）个自然数；（2）A组中第24个数是（）；（3）178是（）组里的第（）个数。分析与解：（1）B组中的数成等差数列，其首项是2，公差是3，从整个数表看，竖着数是每3个数一组，因为2003662……，所以200是B组中的最后一个数，根据等差数列的项数公式。20023167。所以，B组中一共有67个自然数。（2）观察A组中数的排列规律，由于24是偶数，所以应特别注意偶数位置上的数的排列规律。第几个数就是3的几倍，第24个数就是3的24倍，所以A组第24个数是32472。（3）观察A、B、C三组数（竖看），每2列为一组（6个数），178629……4，说明重复29次，还剩下4个数，这4个数重新排列一下可知，178排在C组。每一组含有C组的2个数。最后余下的4个数，在C组又排了2个，所以178在C组中是第292260个数。［答题时间：40分钟］（二）尝试体验1.如下图所示，黑珠、白珠共102个，穿成一串，这串珠子中，最后一个珠子是（）颜色的，这种颜色的珠子共有（）个。○●○○○●○○○●○○○……2.有红、白、黑三种纸牌共158张，按5张红色，后3张白色，再4张黑色的次序排列下去，最后一张是（）色，第140张是（）色。3.节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯，小明想，第73盏一定是（）色灯。4.下面的算式是按一定的规律排列的：4+2，5+8，6+14，7+20……，那么，第100个算式的得数是（）。5.找规律，按规律填数。131422351164457136662527111001001123135060……第式……第式……第式……第式…………第式……第式…………()()()()()()()()()()()6.自然数按一定规律排成下表形式，问：第10行第5个数是多少？…………【试题答案】（二）尝试体验1.如下图所示，黑珠、白珠共102个，穿成一串，这串珠子中，最后一个珠子是（）颜色的，这种颜色的珠子共有（）个。○●○○○●○○○●○○○……除去第一个珠子，剩下的1021101棵珠子是按照“一黑三白”的次序循环重复的。10214251……说明循环了25次后还多出一个黑珠子，所以最后一个珠子是黑色的，黑色的珠子共有26个。2.有红、白、黑三种纸牌共158张，按5张红色，后3张白色，再4张黑色的次序排列下去，最后一张是（）色，第140张是（）色。53412这是按“5红3白4黑”循环排列的，它的循环周期是12。1581213214012118…………所以最后一张是红色，第140张是白色。3.节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯，小明想，第73盏一定是（）色灯。把排列的顺序写出来是：白、红、黄、绿、白、红、黄、绿、白、红、……是按“白、红、黄、绿”循环排列的。734181……所以第73盏灯一定是白色的。4.下面的算式是按一定的规律排列的：4+2，5+8，6+14，7+20……，那么，第100个算式的得数是（）。第一个加数这样排列：4，5，6，7，……（公差是1的等差数列）第二个加数这样排列：2，8，14，20，……（公差是6的等差数列）根据等差数列的通项公式得：410011103210016596所以，第100个算式的得数是1035966995.找规律，按规律填数。131422351164457136662527111001001123135060……第式……第式……第式……第式…………第式……第式…………()()()()()()()()()()()第一个等号前的两个因数是两个相邻的奇数，第二个等号后面的因数介于前面两个奇数之间。如第3式：5和7之间只有一个自然数（6）。除此之外，第一个等式的第一个因数是一个公差为2的等差数列（1，3，5，7……）根据以上规律可得：252716762626991011100001001001350…………第式第式()()()第60式中未知数较多，只要求出第一个等号前的第一个因数就好填了。根据等差数列的通项公式可得：16012119所以第60式为：1191211144001201206.自然数按一定规律排成下表形式，问：第10行第5个数是多少？12345678910…………个数，第二行2个数，第3行有3个数……，第几行就有几个数，我们先求出到第九行结束一共有多少个数，然后再继续数出5个就可以了。123489550……所以，第10行的第5个数是50。