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1复杂地底环境下任意指向的电磁线圈的磁场摘要：本文提出了一种基于有限差分的仿真复杂地质环境下任意方向的线圈产生的磁场的方法。地底传播媒介在水平和垂直两个方向上都有多个层次，并且曾现明显的各向异性。本改进的有限差分方法用一个交错的网格近似得到分散的电磁场中的向量方程。然后用广义最小裕量法迭代地求解得到的线性稀疏矩阵，同时用不完全逻辑单元预处理方法提升此线性方程的收敛性，加速求解过程。此算法已经被实验多次证实，并且应用于常见的三维感应工具中，用于电测井中各向异性的测量。1、简介复杂地形环境下线圈产生的磁场的研究对于地球物理勘探而言十分重要。众所周知，油气储层相比起非储层岩石来有更高的电阻率(或更低的电导率)。因此，从地层的电阻率特征中，地质学家可以判别岩石中的油气储层及碳氢化合物的含量。地层的电阻率特征通常通过地层对电测井工具的反应磁场获得。近年来，厚的油气储层逐渐被开采完毕，寻找和开采浅的油气储层变得越来越重要。浅的砂页岩储层通常表现出电气特性上的各向异性，突出的特点是水平方向和垂直方向上的电阻率各向异性。地质环境电气各向异性的检测是一个地质学家们研究了近70年的问题。最近开发的三维感应工具就能够检测地层媒介的各向异性。在三维感应测井工具中发射端和接收端是两个指向相互垂直的小感应线圈。各向异性媒介对三维感应测井收发装置的不同部分产生反应。因此，此类工具能够测量各向异性的地层电阻率。为了能在复杂地质环境下有效地接受获取到的数据，精确地预测电磁感应线圈在三维地理条件下在水平方向和垂直方向的多个地层的电磁反应尤为重要。在这样的三维各向异性媒介中如何高效地求解麦克斯韦方程是一个具有挑战性但又吸引了极大关注的难题。已知的用于测井的三维电磁建模技术包括有限元技术、最大相关有限体积法、积分方程法、有限差分法等等。每种方法都有利有弊。在这些方法中有限2元技术在复杂地理环境下的建模中灵活度最高。然而，他们不像有限差分法那样直白。积分方程法在相对简单的模型中或许更高效，但是它们计算复杂并且随着未知元的增加计算所需的内存容量快速增长。最近研究出的快速算法能够加速求解过程并且减少存储空间需求，但是这个快速算法只能用于各向同性介质。有限差分法在概念和实现上都比较简单，并且已经有许多相关的技术应用于这种方法使之更灵活、高效。有限差分法已经成为地球物理电磁仿真中最流行的技术。本文中，我们提出一种基于有限元的仿真方法，用于计算嵌入在三维完全各向异性介质中的感应源产生的电磁场。介质的各向异性用一个对称的3X3维张量来描述。本算法中，我们用一个基于边缘中心的、交错排列的(staggered-grid)的网格的有限差分方法求解准静态频域里的麦克斯韦方程。给每个节点一个平均电导率张量，目的是得到相对较粗的网格划分。然后，用通用最小裕量法(GMRES)求解得到的矩阵方程，并应用不完全逻辑单元(ILU)先决条件以提高方程的收敛性。开发的代码非常高效，它能确保同时进行三维各向异性介质中多空间和多频率的磁场响应的计算。本文的组织结构如下：首先，我们得到描述各向异性介质中电磁感应的偏微分方程。然后，用基于交错网格的有限差分法求解这个偏微分方程。我们提供一个完全各向异性介质中的详细的有限差分方程。在本论文的数字结果部分，我们提过一些例子以证明本方法的高效性与高能性。最后，将这种方法应用于三维各向异性介质中的三轴感应工具的电磁响应的研究。2、正文2.1控制方程推导图1所示为一个多层的向异性介质中无限小的任意指向的感应线圈。其电磁感应的控制方程由法拉第定律和安培定律可得：3图1多层各向异性地层中的感应线圈(1a)(1b)以上两式中为源电流密度，为感应电流密度。上式还考虑了由引起的时域谐波并将其抑制。感应电流密度与电场强度有如下关系式：(2)总电场强度E可以表示为嵌入在地底参考媒介中的源电流引起的主磁场，和由于电导率和介电常数差异引起的分散磁场。在地球物理应用中，我们通常更倾向于一个由分散磁场表示的公式而不是总磁场表示的。因为前者的计算更为健壮和准确，特别是当特别接近信号源进行测量时。如果采用总磁场这一表示方法，通常就需要4很好的网格，这会导致计算资源的需求量大增。除此之外，采用总磁场表示时根本不可能获取精确的同步响应。这是因为直接耦合磁场在总磁场中占据主要地位。设公式(1)中E=E’，并由公式(1)和(2)推出一个以分散的电磁场表示的一元、二阶偏微分方程(PDE)：(3)上式中是受分散磁场影响的源电流密度，其表达式如下：(4)其中，I是一个3X3维密度矩阵。需要强调的是式中的电导率和介电常数都与位置有关并且具备完全各向异性。比如：(5)2.2有限差分解接下来，我们用基于如图2所示网格的有限差分方程去解(3)的偏微分方程。解空间在笛卡尔坐标系中被离散化，并且电磁场的组成单元，，定义在坐标轴上。磁场的组成单元在y轴与z轴上是错开的，在x轴与z轴上是错开的，在x轴和y轴上是错开的。如图2所示：5图2有限差分方程所用网格结合公式(3)与(4)并扩展旋度操作得到下面所示的关于分散电场的表达式：本文中，一个以13个点为中心的有限差分方程网被用于近似代替(3)中的旋度-旋度操作符。这样，上面的差分方程被转化为如下所示线性系统中的等式(7)其中，矩阵K是维度为的系统矩阵。E是一个长度为的向量，它包含了所有节点的次级电场值，，。S(长度为)由(6)式中右边部分推出的次源(secondary-source)向量。系统矩阵K是一个每行有13个非零项的稀疏矩阵。这些非零项与网格间距和6介质的与频率相关的属性有关。在线性方程的推导中，采用了电导率平均方法以获取边界节点(定义电磁场的地方)的电导率。经过此处理后，边界上的节点的电导率被表示为与其相邻的四个节点的电导率的加权和。在网格的最边界上对分散磁场应用狄利克雷条件。详细的矩阵表达式可以参见附录。需要指出的是原来的系统方程是非对称的。通过将(A1)乘以，(A2)乘以，和(A3)乘以，我们得到一个形式上对称的系统方程。其中，，，是网格节点i，j,k的长度；，，是编号为i+1与I，j+1与j，k+1与k的节点的中心距离。式(7)中的线性系统能够用最小裕量法(GMRES)高效地求解，并且用不完全逻辑单元预估(ILU)来提高矩阵方程的收敛性。一旦由公式(7)求解出电场，就可以用法拉第定律推导出磁场的值，如公式(8)所示：在实现过程中，(8)中的偏导函数用相应的差分方程表示，这些差分方程可以通过将电场中插入到观测点或几个相邻点得到。等式(7)通常缓慢收敛，特别是当介质中的导电率较大的时候。为了克服这个缺点，我们用一个不完全逻辑单元预估(ILU)来提高矩阵方程的收敛性。2.3三轴感应工具的电磁响应解公式(3)以得到分散电场。主电场加上分散电场即得到总磁场。公式(3)适用于发射线圈指向任意方向时的情况。对于一个如图3(a)所示的三轴感应线圈，通常包含三个正交的发射线圈和三个正交的接受线圈，如图3(b)所示。因为发射线圈无限小，故可以将它当作一个指向线圈表面法线方向的磁偶极子。磁偶极子源M=(可以由源电流I(ω)表征如下：(9)7其中，是发射线圈的位置，a=(，)是投射到(y，z)，(x，z)和(x，y)平面的载流回路区域。发射线圈产生的主磁场通过同质背景介质来计算，这种介质的导电率和介电常数在源点处给出。倾斜线圈的总辐射场是指向x轴，y轴，z轴的源线圈产生的磁场的总和。同质背景模型中，关于频域中电磁场的明确的表达式可以推导。图3三轴感应工具及其通用线圈结构。(a)在各向异性地层的三轴感应工具，（b）一个感应线圈结构的通用工具线圈表面的法线方向。磁偶极子源M=(Mx,My,Mz)的特征是由电流源决定I(ω)M=−jωµ0I(ω)aδ(r−rs)其中rs是发射线圈的位置,a=(ax,ay,az)是载流回路分别投射到（y，z），（x，z）和（x，y)区域。由发射机线圈产生的主要区域是由均匀在原点给出电导率和介电常数的背景介质计算得到的。倾斜线圈的总的辐射场是由x方向，z方向和y方向源的总和。对均匀背景模型，对于电磁场在频率域的显式表达式可以推导出来。2.4平均电导率张量8由于我们认为地下地层通常是非常复杂的，包括钻孔，倾斜床，地层和各向异性介质，细网格对在不同媒体之间形成复杂结构和接口来说是必要的。然而，细网格需要大量的计算机资源。为了缓解这一困难，可行的办法是采用合理的粗网格形成几何形状，使用平均电导率为每个单元塑造介质的电性能。这是一个很好的在精度和计算复杂性之间的折衷。所以在大多数情况下，用于有限差分法的网格对于介质电性能是独立的，不同的介质可以包含在一个使用的平均电导率单一的矩形单元中。在本文中，一项类似在[10]中描述的技术被用来测量平均电导率张量。图4.划分一个单元计算平均电导率张量我们考虑一个广义的各向异性介质，其导电性是由一个对称3×3张量描述。为了获得每个矩形单元的均电导率张量，单元首先在笛卡尔坐标系中被分成Nx×Ny×Nz个子单元，如图4所示。每个子单元假设有恒定的电导率张量，表示为。不失一般性，我们可以推导出σxx和σyx的平均电导率，其9他的单元可以得到下面的一个类似的过程。为了得出σxx，我们在单元的X方向施加电压V0，如图4所示。假设电场在每个子单是均匀的元和电流在垂直于X方向子单元边界连续的，我们可以写出x方向每个子单元的电场如下单元X方向平均电流密度可以表示为具有相同上标i的子单元密度和，如果我们选择i＝1，平均电流为：平均电导率σxx可以写为：方程（12）意味着平均系数σxx是由一系列具有相同上标Nx子单元组合获得，然后结合并行Nx×Ny子单元线。接下来，我们得到的非对角项的表达σyx。对于一个广义各向异性介质，每个子单元的导电率不为零，这意味着任何施加在X方向的电压都可能导致电流在Y方向流动。电流密度Jy在每个子单元由于Ex由下式给出:10(13)y方向平均电流密度是所有Nx×Ny×ZN个子单元的平均值，表示为（14）将（15）代入（14），平均系数σyx可得：(15）根据以上过程，我们可以得到其他的平均电导率σyy，σzz，σxz和σyz。为了保持平均电导率张量的对称性，我们设置平均电导率σαβ为计算的σαβ和σβα的平均值，这就是：(16)11图5。两个模型构建了内部一致性检查。（a）模型1。（b）模型23.数值结果基于上述理论，我们开发了一个代码来模拟在任意取向的线圈天线在复杂的各向异性介质的电磁场响应，并进一步扩展到三轴感应工具响应的模拟。为了验证代码，我们首先提出一个内部一致性检查。考虑一个一维层状结构如图5所示，1层，3层和5层是分别具有50ohm-m,0.5ohm-m和1.0ohm-m的等方向性介质。2层是各向异性介质，具有11ohm-m水平电阻率和1.9ohm-m垂直电阻率。4层具有2.0ohm-m水平电阻率和1.0ohm-m垂直电阻率。每一层的深度图所示。在第一个模型，我们假设介质的电阻率张量主轴与X-Y-Z坐标系统的发射器和接收器线圈倾斜角度为60°，如图5所示（一）。在第二个模型中，我们平铺介质的主轴和Z方向的对准源，而多层结构是平铺在X-0Y-0Z-0参考框架，如图5（b）。这两个模型将得到相同的结果，虽然代码12的实现是不同的，因此提供了一个用于内部一致性检查的开发代码。在第一个模型中，由于网格图层的边界重合，不需要模拟平均电导率张量。但磁场的轴向分量由x方向源和z-向源的组合所产生的磁场。第二个模型，网格不一致，边界将形成更长时间，所以我们需要计算所哟单元的平均电导率张量。应该指出的是，在得出他们平均电导率张量之前，原有的工作坐标系X-Y-Z每个单元的电导率张量应转换到新的坐标系X'-Y'-Z'。转换可以由原来的电导率张量乘以一个旋转矩阵R实现：（17）旋转矩阵R可以表示为：（18）13图6。从两个模型计算出的磁场。(a)图(Hxx)，（b）图(Hxx)，（c）图（(Hzz），（d）图(Hzz)。14图77层非等方向性模型其中，两个欧拉角θ和φ