多项式的最大公因式

多项式的最大公因式问题：（一）.多项式的最大公因式的定义是什么？设f(x)与g(x)是P[x]中两个多项式，P[x]中多项式d(x)称为f(x)与g(x)的最大公因式，如果满足下面两个条件：(1).d(x)是f(x)与g(x)的公因式；(2).f(x)，g(x)的公因式全是d(x)的因式。我们约定用(f(x)，g(x))表示首项系数为1的那个最大公因式。定理1：对于P[x]中任意两个多项式f(x)，g(x)，在P[x]中存在一个最大公因式d(x)，且d(x)可以表示成f(x)，g(x)的一个组合，即有P[x]中多项式u(x)，v(x)使d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)引理：设f(x),g(x),q(x),h(x)∈F(x),g(x)≠0，且f(x)=g(x)q(x)+h(x)则f(x)与g(x)与q(x)与h(x)有相同的公因式，因而有相同的最大公因式，且(f(x)，g(x))=(g(x)，h(x))定理2：F(x)的任意两个多项式f(x)与g(x)一定存在最大公因式。（二）.用来求最大公因式的方法(1).辗转相除法:如果f(x),g(x)∈P[x],g(x)≠0，且𝑞𝑖(𝑥),𝑟𝑖(𝑥)∈P[x],使f(x)=𝑞1(𝑥)g(x)+𝑟1(𝑥)g(x)=𝑞2(𝑥)𝑟1(𝑥)+𝑟2(𝑥)𝑟1(𝑥)=𝑞3(𝑥)𝑟2(𝑥)+𝑟3(𝑥)⋯⋯𝑟𝑠−2(𝑥)=𝑞𝑠(𝑥)𝑟𝑠−1(𝑥)+𝑟𝑠(𝑥)𝑟𝑠−1(𝑥)=𝑞𝑠+1(𝑥)𝑟𝑠(𝑥)+0其中∂(𝑟𝑖(𝑥))≥0，则𝑟𝑠(𝑥)是f(x)与g(x)的一个最大公因式。(2).串位加减法(3).矩阵求法：A=(f(x)g(x))一系列初等行变换→(d(x)0)d(x)=(f(x)，g(x))例1.设f(x)=𝑥4+3𝑥3−𝑥2−4x−3g(x)=3𝑥3+10𝑥2+2x−3求(f(x)，g(x))解：法1辗转相除法。−275𝑥+9=q2(𝑥)g(x)3𝑥3+10𝑥2+2x−33𝑥3+15𝑥2+18xf(x)𝑥4+3𝑥3−𝑥2−4x−3𝑥4+103𝑥3+23𝑥2−x13𝑥−9=q1(𝑥)−5𝑥2−16x−3−5𝑥2−25x−30−13𝑥3−53𝑥2−3x−3−13𝑥3−109𝑥2−29x+13r2(𝑥)=9𝑥+27r1(𝑥)=−59𝑥2−259x−103−59𝑥2−53x−581𝑥−1081=q3(𝑥)−109x−103−109x−103r3(𝑥)=0求得r2(𝑥)=9𝑥+27是最大公因式，即(f(x)，g(x))=x+3法2串位加减法设c≠0，则对于任意多项式f(x)，g(x)(f(x)，g(x))=(f(x)，cg(x))13-1-4-33102-3f(x)g(x)15995253015651639273613r1(𝑥)=−3f(x)+xg(x)r2(𝑥)=3r1(𝑥)−g(x)r3(𝑥)=15r2(𝑥)=𝑟1∗(𝑥)r4(𝑥)=−g(x)+3𝑥𝑟1∗(𝑥)r5(𝑥)=−r4(𝑥)+5𝑟1∗(𝑥)r6(𝑥)=19r5(𝑥)=𝑟2∗(𝑥)r7(𝑥)=𝑟1∗(𝑥)−𝑟2∗(𝑥)r8(𝑥)=12r7(𝑥)0于是r7(𝑥)=2x+6是最大公因式，即(f(x)，g(x))=x+3例2．令F是有理数域，求出F[x]的多项式f(x)=4𝑥4−2𝑥3−16𝑥2+5x+9，g(x)=2𝑥3−𝑥2−5x+4使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x)成立的d(x)，u(x)，v(x),其中d(x)=(f(x)，g(x))。解我们把I拼在(f(x)g(x))的右边一起做行初等变换：(f(x)10g(x)01)=(4𝑥4−2𝑥3−16𝑥2+5x+9102𝑥3−𝑥2−5x+401)𝑟1+𝑟2×(−2)→(−6𝑥2−3x+91−2𝑥2𝑥3−𝑥2−5x+401)𝑟2+𝑟1×𝑥→(−6𝑥2−3x+91−2𝑥6𝑥3−3𝑥2−15x+1203)→⋯(0∗∗−3𝑥+3𝑥−1−2𝑥2+2𝑥+3)𝑟1↔𝑟2𝑟1×(−13)→(𝑥−1−13(𝑥−1)23𝑥2−23𝑥−10∗∗)。所以d(x)=𝑥−1，u(x)=−13(𝑥−1)，v(x)=23𝑥2−23𝑥−1。注：如果d(x)是f(x)，g(x)在F[x]中的公因式，则d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式的充分必要条件是存在u(x),v(x)∈F(x)，使得d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)例3.求u(x),v(x)使u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x)，g(x))：f(x)=𝑥4+2𝑥3−𝑥2−4x−2，g(x)=𝑥4+𝑥3−𝑥2−2x−2（P45,6.(1)）解：f(x)=g(x)𝑞1(𝑥)+𝑟1(𝑥)，其中，{𝑞1(𝑥)=1𝑟1(𝑥)=𝑥3−2xg(x)=𝑟1(𝑥)∙𝑞2(𝑥)+𝑟2(𝑥),其中，{𝑞2(𝑥)=x+1𝑟2(𝑥)=𝑥2−2𝑟1(𝑥)=𝑟2(𝑥)∙𝑞3(𝑥)+𝑟3(𝑥),其中，{𝑞3(𝑥)=x𝑟3(𝑥)=0所以，𝑟2(𝑥)=𝑥2−2是f(x)和g(x)的最大公因式。因为g(x)=𝑟1(𝑥)∙𝑞2(𝑥)+𝑟2(𝑥),f(x)=g(x)∙𝑞1(𝑥)+𝑟1(𝑥)，所以(f(x)，g(x))=−𝑞2(𝑥)∙f(x)+[1+q1(𝑥)∙𝑞2(𝑥)]∙g(x)由此可得：{u(𝑥)=−𝑞2(𝑥)=−x−1v(𝑥)=1+q1(𝑥)𝑞2(𝑥)=𝑥+2注：利用辗转相除法求出最大公约数，然后逆向推导。例4．证明：如果d(x)│f(x),d(x)│g(x)，且d(x)为f(x)与g(x)的一个组合，那么d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式。（P45,8）证：设d(x)是f(x)与g(x)的任一公因式，即有d′(x)│f(x)和d′(x)│g(x)不妨设f(x)=d′(x)∙𝑞1(𝑥),g(𝑥)=d′(x)∙𝑞2(𝑥)由已知条件可得d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)所以d(x)=u(x)d′(x)∙𝑞1(𝑥)+v(x)d′(x)∙𝑞2(𝑥)故有d′(x)│d(x)因此，d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式。注：已知d(x)是f(x)与g(x)的任一公因式，只需证明f(x)与g(x)的任一公因式都是d(x)的公因式便可得证。