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小学数学教学新理念杭州师范学院教科院徐丽华xuluhua58@hotmail.com内容提要•有哪些新理念？•每一条新理念的涵义？•实施新理念有哪些要求？•作业：运用理念来分析一个小学数学课堂教学案例。一、现实数学原理•涵义：认为数学教学的内容应该是为学生准备的数学，应该是与现实密切联系的数学，能够在实际中得到应用的数学，即“现实的数学”。(一)每个人的数学现实：•荷兰数学教育家费赖登特塔尔说，每个人都有自己生活工作和思考着的特定客观世界，以及反映这个客观世界的各种数学概念、它的运算方法、规律和有关的数学知识结构，这就是每个人的数学现实的含义。(二)不同的人对数学的需求是不一样的：•日常生活的需要；•不同的技术或者说是各种职业的需要；•进一步学习并从事高水平研究工作的需要。(三)要求：•要联系学生生活实际。因为数学来源于现实，因而也必须扎实于现实，并且应用于现实。从具体情景中提取适当的概念，从观察到的实例进行概括，再通过归纳、类比在直觉的基础上形成猜想，这是数学思维的方式。•要联系数学实际。•“现实”不一定限于具体的事物，作为属于这个现实世界的数学本身也是现实的一部分。如学生已有的数学基础、知识结构等。•要丰富、扩充学生的“数学现实”。•确定各类学生在不同阶段所必须达到的“数学现实”；了解并掌握学生所实际拥有的“数学现实”，从而据此采取相应的方法予以丰富、扩展以逐步提高学生所具有的“数学现实”的程度并扩充其范围。•“现实的数学”并不排斥数学的抽象性的形式化。•学习数学就意味着能够做数学，熟练地运用数学的语言去解决问题，探索论据并寻求证明，而最重要的活动则应该是从给定的具体情景中，识别或提出一个数学概念。(四)举例：•通过公共汽车上下车人数的变化，引入整数的加减法，并找出运算规律；借助学生上学乘汽车、骑自行车或步行等多种交通工具，以及途中可能出现的意外情况，介绍各种类型的图象表示、解析表示，进一步介绍函数以及斜率等概念。二、数学化思想•涵义：数学化是一种组织与建构的活动，它运用已有的知识与技能去发现未知的规律、关系和结构。(一)数学化的结构•1、现实世界•现实世界始终贯穿在数学化中，我们常把由现实世界直接形成数学概念的过程称为概念的数学化。2、认知水平•数学化往往随着不同的认知水平而逐渐提高。•3、反思•反思是数学化活动中的一种重要活动，它是数学活动的核心和动力，必须让学生学会反思，让学生对自己的判断与经历的活动进行思考与证实。(二)数学化的成分•1、水平的数学化•为了实现数学的过程，首先要将问题运用数学的方式来陈述，即为了通过图式化与形象化的手段来发现规律与关系，首先必须从一般的背景中确认特殊的数学。水平的数学化举例：•从一般的背景中辨认特殊的数学；•图式化；•以不同的方式将一个问题公式化或形象化；•发现关系、发现规律；•在不同的问题中识别其同构的本质；•将现实世界的问题转化为数学问题；•将现实世界的问题转化为已知的数学模型。2、垂直的数学化•当问题一旦转化成或多或少具有数学性质的问题时，我们就可运用数学工具来处理了。垂直的数学化举例：•将某个关系表示成公式；•证明一些规则；•调整与完善模型；•使用不同的模型；•将一些模型汇集并综合在一起；•形成新的数学概念；•推广并建立起一般化的理论。(三)实例：•某市出租车收费标准如下：•里程收费（元）•5千米以下10.00•5千米以下，每增加1米，1.20•1、列表并用图象表示出租车行驶的里程数和费用的关系。•从具体的背景中抽取有关的数学因素，并将其图式化或形象化表述，这是数学化的水平成分•2、出租车行驶的里程分别为4千米和15千米，各收费多少？•这是一个现实问题的数学化，是前面关系、规律认识后的简单应用，是数学化的水平成分。•3、现有30元钱，可乘出租车的最大里程数为多少？•第3个问题是一种推广和扩展，这是数学化的垂直成分三、“再创造”原理•涵义：在一定的指导下学生自己获得数学知识。•虽然学生要学的数学知识是前人已经发现的，但对学生来说仍是全新的、未知的，需要每个人再现类似的创造过程来形成。(一)依据：•1、从数学角度•数学与其他科学有着不同的特点，它是最容易创造的一种科学。2、从教育的角度•通过自身活动所获得的知识与能力，远比别人强，要理解得透彻，掌握得更好，也更具有实用性。一般来说，还可以保持较长久的记忆。•“再创造”包含了发现，而发现是一种乐趣，因而通过再创造来进行学习，能引起学生的兴趣，并激发学生深入探索研究的学习动力。•通过“再创造”方式，可以进一步促使人们借助自身的体验形成这样的观念：数学是一种人类的活动，数学学习也是一种人类的活动。(二)“再创造”的特点：•1、是一种有指导的“再创造”•是在教师指导下的“再创造”。•2、这是一种“再”创造•其内容对于教师来说是已知的，而对于学生来说是未知的。(三)怎样指导“再创造”•1、在学生当前的现实中选择学生情境，使其适合于横向水平的数学化•数学产生于现实，产生于让学生组织的现实，并将现实进行数学化，他们将现实看作是最原始的来源，这样有利于学生“再创造”。举例：•数数是孩子最初的口头数学，从口头数数到数某些具体的东西，数围着桌子的人数，数鼻子，数眼睛，数耳朵的个数，甚至数桌下看不见的脚，将一连串的数用到这些集合上是横向的数学化，而要想知道为什么在这些数中有一些是相等的，就是一个纵向垂直的数学化问题了。这个问题必须通过从自身到群体的推断所形成的转化来回答。2、为纵向（垂直）数学化提供手段和工具•在个体教学的环境中，教师可以有大量即兴操作的机会，通过这样的即兴操作，可以加强学生在再创造方面的尝试。如果可能的话，将学生放到具体的形象的情景中去让他直观地学习，教师不解释任何东西，也不归纳任何法则，直到确信他已经知道了答案，才问为什么？当然这种方式也视学生而定，对有的学生可能要求他作更多的反思，而对另一些学生则不时地给出一些暗示。3、发挥相互作用的教学系统•对于教与学的过程，是观察还是加强，是使它们结合还是分离，确实需要而且应该允许有灵活性。可以确信，作为一个整体，教与学必须认真组织，要有灵活性，相互影响意味着教师与学生双方既是动因，同时又都对对方起作用，教与学应该是相辅相成的，教学应该是动态生成的。4、承认和鼓励学生自己的成果•学生自己的成果，包括对现实情景的解释与理解，也包括对数学要领和模式的掌握与运用，它不仅包括解法的“再创造”，而且甚至包括问题的“再创造”。事实证明这是一种有效的训练。在承认和鼓励学生自己的成果时，教师明显地从传统的传授地位上退隐下来，从而更有力地鼓舞了学生的主动参与性。5、将所学的各个部分结合起来•从课程的观点来看，教师通过将教的各个部分结合起来，可以使教师的即兴操作变得格外容易，从而也会使所学的各个部分结合起来。举例：•比率和分数可以从一开始就相配；•传统的测量和十进分数（小数）是交织在一起的；•函数、图象、方程交织在一起，现是独立成章的；•代数与几何的联系。四、建构主义的数学教学理论•涵义：瑞士心理学家皮亚杰从认识的发生和发展的角度对儿童心理学进行了系统深入的研究，提出了认识是一种已有知识和经验为基础的主动的建构活动的观点。(一)两种不同的建构——同化、顺应•同化——按照皮亚杰的观点，对客体的认识是一个“同化”过程，即如何把对象纳入整合到已有的认识框架（认知结构）之中，也只有借助于所说的同化过程，客体才获得了真正的意义。顺应：•认识框架本身也有一个不断发展或建构的过程，特别是在已有的认知结构无法容纳新的对象的情况下，主体就必须对已有的认知结构进行变革，以使其与客体相适应，这就是所谓的“顺应。”举例：•已有轴对称图形概念，已知等腰是轴对称图形，学习矩形是轴对称图形，就是同化。•已知平行四边形、圆有共同点，对角线中心点旋转会重合，学习中心对称图形，就是顺应。(二)数学认知活动的建构特点•1、结构化•当数学实体从一个水平转移到另一个水平时，它们的功能会不断地改变；以这类实体的运算（内化了的活动），反过来又成为理论研究的对象，这个过程会一直重复下去，直到我们达到了一种结构为止。这种结构或者正在形成更强的结构，或者再由更强的结构予以结构化，这就是关于数学认识活动的一个建构特点。举例：•学生正在学习三角形，形成一个关于三角形的认知结构：•任意三角形：等腰三角形（等边三角形）、直角三角形、一般三角形；•任意三角形：锐角三角形、钝角三角形、直角三角形；•纳入更强的结构：多边形：三角形、四边形、…，形成更强的结构。2、辩证化•皮亚杰还指出，既不存在绝对意义上的形式，也不存在绝对意义上的内容。在现实世界里也和在数学里一样，任何形式对于包含这个形式的那些更高级的形式而言就是内容，任何内容对于这个内容所包含的那些内容来说就是形式。这就是关于数学认识活动的另一个建构特点。举例：的内容。是的形式；是的内容。是的形式；是0000005430543001112201112222axaxaxacbxaxcbxaxaxaxaxacbxaxxxxxcbxaxnnnnnnnn(三)结构主义的数学学习观•1、数学学习是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动的建构活动•学习不应被看成是对于教师所授予的知识的被动接受。任何真正的学习，都不是对于外部所授予的知识的简单接受，而必定是一种主动建构。因而学习活动具有“创造”性质。2、相对于一般的认识活动而言，学习活动的主要特点是顺应•对数学对象的认识是以在头脑中实际建构出这种对象为必要的前提的。这种建构活动并非简单理解为如何在头脑中机械地去重复有关对象的形式定义，而是必然包含有一个“具体化”的过程，即如何把新的数学概念与已有的数学知识和经验联系起来，使之成为对学习主体而言是有意义的，可以理解的，十分直观的理解。3、数学学习是一种特殊的具有社会性质的建构活动•特殊：①学校环境一学习环境特殊，②在教师指导下学习的。•社会性：数学学习活动及其构成也不能单纯看作是个人的进程，而是在于学生的共同活动，包括一起分析并寻找联系与解答，一起设计与证明，并实现活动，还一起检验与评估其结果（包括对错误的分析）。(四)建构主义的数学教学观•1、教师是学生学习活动的促进者•学习既然是一种建构的过程，教师从知识的传授者转化为促进者（指导者）。•教师应努力使学生感到数学学习活动是有意义的，因而教师应简单地提出问题（而不是只想把学生问倒），应使为学生准备的数学尽可能结合学生的数学现实，使学生感到有趣而且感到自己能够胜任这一任务，从而调动学生的学习积极性。2、教师要了解学生真实的思维活动•从建构主义的观点来看，对学生真实的思维活动的了解，事实上就是一个建构的过程。因此，不能以教师主观的解释来代替学生的真实思想。应该意识到，学生所获得的数学知识也未必是数学教师所期望的。3、教师要为学生学习创造一个良好的学习环境•根据社会建构主义的观点，数学学习活动这一主动建构过程必然受到社会条件与外部环境的影响，因此，教师必须根据教学对象、教学内容和教学环境的具体情况，创造造性地进行工作，而不只是简单地备课，只要完成相应的数学内容的建构。•首先，按照建构主义和观点，已有的知识和经验为新的认识活动提供了必要的基础，因此，在从事新的学习活动前，教师应注意帮助学生获得必要的经验和预备知识。•如设计具体模型，提供实物材料。•其次，努力培养出一个好的“学习共同体”。这个共同体的特点是：每个人包括所谓的差生都得到应有的尊重和理解，而不是受到轻视或压制。真理的标准是理性而不是教师，也不是任何权威。共同体的成员保持思想的开放性，即提倡不同思想、不同见解的充分交流，乐于进行自我批评，善于接受各种合理的新思想。4、教师必须高度重视对于学生错误的纠正•从建构主义的观点来分析学生的错误不可能单纯依靠正面的示范和反复的练习得以纠正，而必须是一个自我否定的过程。这一自我否定又以自我反省，特别是内在的观念冲突作为必要的前提，因此，为了有效地帮助学生纠正错误，教师就应注意如何提供或创造适当的外部环境来促进学生的