小学数学数与代数

专题讲座小学数学数与代数1吴正宪（北京教科院中心小学数学室主任，特级教师）武维民（北京市房山区教师进修学校，高级教师）郑卫红（北京教育学院宣武分院教研员，高级教师）专题1：数的认识、数的运算、常见的量的内容分析与建议在这个模块中我们主要和大家交流数与代数领域中的数的认识、数的运算和常见的量的内容，关于这部分内容，我们一线教师作了交流，主要集中在以下四个问题。1.如何建立“数”的概念？2.如何处理运算教学中的算理与算法的关系？3.如何落实新课标对估算的要求？4.如何依托现实情境帮助学生体现和理解常见的量。问题一：如何建立“数”的概念一、《课标》中“数的认识”有何变化数的概念是学生认识和理解数学的开始，理解数的意义伴随着学生学习数学的整个过程，从自然数逐步扩展到有理数、实数，学生将不断增加对数的理解和运用。在小学阶段数的认识包括整数的认识、分数、小数和百分数的认识、负数的认识、数的整除性相关的内容、数的简单应用等。在教材的安排中，整数的认识中分为10以内认识、20以内的认识、100以内的认识、万以内的认识、大数的认识等；分数和小数的认识都为两个阶段、一个是初步的认识，另一个分数和小数的意义。整体来说新课标中对数的认识的要求变化和调整不大，主要有以下几点，在教学中我们要加以注意。内容学段《标准》要求的调整和变化数的认识第一学段“知道用算盘可以表示多位数”。“能结合具体情境比较两个一位小数的大小，能比较两个同分母分数的大小。”第二学段不再要求“比较百分数的大小”和“探索小数、分数和百分数之间的关系”在数的认识中要关注数的意义、数的表示、数与数的关系、数的应用。其中我们要特别关注数的意义，也就是数的概念的建立。在教学中如何建立数的概念是教学的重点，面对数的认识这一重要内容，我们又该怎样帮助学生建立清晰的数概念，理解数的意义呢？二、在建立数概念中要注意的问题（一）在整数的认识中要注意的问题建立正确的数的概念是认数教学的任务，也是学生学习数学的起点。理解数的意义一般有两个角度，一是从数的组成去理解，通过组成理解数的大小和多少，加强对数的感知。二是联系生活实际来体会，通过在具体的现实情境中，理解数在生活实际中的意义，使抽象的数和具体的量有机的结合，进一步理解数的意义。在实际教学中我们要把这两种方式有机地结合起来，这样更有利于学生体会数的意义，建立数的概念。在整数数概念的建立过程中要注意以下几点：1.依托多种形式建立整数数概念（1）在具体情境中理解数的意义学生对数并不陌生，在入学之前，学生已对具体的数有了比较丰富的感知，他们会读、会写，会说一些具体的数。我们在教学中就要关注从现实情景抽象出数的过程，例如从具体的2匹马，2棵树，2头牛，2个人，抽象为2这个数。这时用一个数字也是一个特殊的符号来表示数量，已经把具体的单位和这个数量的具体含义去掉，抽象为数“2”。反过来，2可以表示任何具有2这样数量特征的事物，例如2只铅笔，2个人、2只小动物……，随着教学的深入，还要引导学生认识到数的丰富含义，比如计数的数、数量的数、度量的数和计算的数。（2）用操作帮助学生具体感知自然数的认识的教学重点在于使学生从数量抽象到数，抽象离不开直观的支撑和操作，例如：计数器、小棒、图形等等，让学生亲自的数一数，摆一摆，圈一圈、画一画，学生数的过程也是一一对应的过程，同时感受具体的数量。（3）多种模型的表征在数的认识过程中，我们要注意运用多种模型帮助学生理解数的意义建立数的概念，比如说：计数器、数位桶，方格图、数位顺序表等，这样逐渐建立起抽象的数和现实中的数量之间的关系，并且能够知道这个大小和现实中的多少之间的关系，这也是数感很重要的本质问题。例如，一位老师在教学《万以内的数的认识》时，就运用方块模型帮助学生建立一万的概念，理解数的意义。通过方格模型的演示，让学生体会10个一是十，10个十是一百，10个一百是一千，10个一千是一万……，通过几何图形的点、线、面、体，使学生在头脑中建立“一、十、百、千”的映像，同时建立十个千就是一个万，在学生的头脑中建立一个清晰的模型“满十进一”，对于学生理解基数单位和位值制是有很大好处的。2.把握核心概念，重视数位和位置值的理解为了表示更大的数，数位概念的建立是十分重要的。数位的含意是不同位置上的数字表示不同大小的数，没有数位的规定就没有办法表示更大的数。认识个、十、百、千、万等不同的数位，理解不同数位上的数字表示不同大小的数，是理解整数概念所必须的。学生必须清楚地了解，同样一个数字“3”，在个位上表示3个一；在十位上表示30，即3个十；在百位上表示300，即3个百。第一学段完成整数万级的认识，第二学段认识万以上的数，进而整理十进制计数法。我国的计数单位是每四位一级，万以内数的个位、十位、百位、千位为个级，学生理解各级上的每个数字的意义，这是理解多位数各个数位上的数字意义的前提条件。我国计数单位是四位一级，在国际上普遍使用的是三位一级，在学习时可以让学生了解。在历史上，曾经出现过以2、3、4为原始的数基，比较多的是以5、20、60为数基，即五进制、二十进制、六十进制。当然，最多的是以10为数基，即现在世界各国通用的十进制，即重要的“满十进一”的方法。在古代文明中，世界各国大多数都是采用十进制，例如中国、古罗马。但十进位记数法，离十进位值制还有关键的一步“位置值制要走。所谓“位值制”，是指相同的计数符号由于所处的位置不同可以表示大小不同的数目。有了位值制，就可以用有限的数字表示出无限的自然数，这是记数历史上的一个创造，一个奇迹。因此马克思在他的《数学手稿》一书中称十进位值制记数法为“最妙的发明之一”。（1）重视10的概念的建立一个十和几个一是十几，这就是位值制的基础，这样10个数字就可以表示出生活中无限多的物。教学中建立好概念非常重要。在教学10的认识时要让学生亲自感受到由9再加1变成10的过程，可以通过数、摆、捆、拨、说等活动，让学生感受10个一是1个十。在11-20各数的认识中仍然要关注10的概念的建立，让学生体会满十进一的过程。（2）重视数计数单位：为帮助学生了解十进制计数法和位值制。要重视数计数单位逐步建立新的计数单位，10个一是1个十，10个十是一百，10个百是一千，10个千是一万，10个万是十万，10个十万是一百万，10个百万是一千万，从而引出新的计数单位十万，在一个单位、一个单位地数的活动中，学生充分体会每数满10个单位就产生一个新的计数单位，感受了两个相邻计数单位间的进率是十。（3）重视数位顺序表的使用随着认识的数越来越大教师应不断扩充完善数位顺序表，从认识20以内的数起就让学生了解个位和十位，认识百以内数时补充认识百位，在认识万以内数的时候第一次出现了数位顺序表，在认识整数的最后一个单元里学生将认识万级和亿级的数以及比亿更大的数。数位顺序表可以分两次扩展，先扩展到万级，再扩展到亿级。数位顺序表有助于学生了解十进制计数法，理解数的意义并掌握读、写数的方法。3.关注对大数的感受在第一、二学段都提出感受大数意义和对大数进行估计的要求。第一学段是要求在生活情境中感受大数的意义，第二学段情境的范围有所扩大，要求在现实情境中感受大数的意义。其本质是相同，都是希望通过具体的情境对大数加以感受，增加学生的数感。感受大数与情境的具体内容有关，1200张纸大约有多厚？你的1200步大约有多长？1200名学生站成做广播操的队形需要多大的场地？这些具体的情境学生可以通过实际操作和观察感受。有时还要加入想象的成份，1200名学生需要多大场地，许多学校可能没有这么多人，学生就需要了解自己的学校有多少人，占多大地方，再想象1200人会占多大地方。这个抽象过程在小学一年级开始认识数时就强调，直到认识较大的数。学生逐渐认识数的抽象表示，逐步建立数概念。（二）在建立分数概念中要注意的问题教师在数的认识的教学中普遍认为分数的认识是数认识教学中的一个难点。分数起源于分，当平均分出现不是整数结果的时候，逐渐有了分数的概念。后来，在土地测量、产品分配等过程中,常常得到不是整数的结果，便产生了分数。分数的产生经历了一个漫长的过程，分数的真正来源在于自然数除法的推广。1.加强对分数丰富意义的理解教师要了解分数意义的多重多元性，才能引导学生深刻理解分数的意义。对分数意义的理解应关注以下两个主线和四个层面：两个主线即“比的线索”和“数的线索”。“比”指的是一部分与另一部分之间的关系；“数”指的是以有理数形式出现的分数，此时的分数表现的是一个结果。分数意义理解的四个层面“比率”是指部分与整体的关系和部分与部分的关系。其中部分与整体的关系更多地体现在真分数的含义中。例如一个圆平均分成4份，每一份是整体的。又例如，长方形中的一部分是整个长方形的，整体图形的面积应该是多少？显然，整体图形的面积应该是这样的三份。这里的和所反映的就是取的份数与整体份数之间的关系。而部分与部分之间的关系更多地表现为是一种“记号”。例如小红有5个苹果，小丽有3个苹果，小红的苹果是小丽的倍。对比率维度的理解，可以帮助学生完成对分数的基本性质以及通分、约分等相关知识的正确认识。“度量”指的是可以将分数理解为分数单位的累积。例如里面有3个，就是用分数作为单位度量3次的结果。著名数学家华罗庚曾经说过：“数起源于数，量起源于量。”对度量维度的研究，可以大大丰富学生对分数的认识。度量维度的体验也可以直接作用于分数加（减）法的学习中。“运作”主要指的是将对分数的认识转化为一个运算的过程。例如，求6张纸的是多少张纸，学生将理解为整体6张纸的，即将6张纸这个整体平均分成3份，取其中的2份，列出算式就是6÷3×2，也就是6×。“商”这个维度主要是指分数转化为除法之后运算的结果，它使学生对于分数的认识由“过程”凝聚到“对象”，即分数也是一个数，也可以和其他数一样进行运算。以上这四个维度没有先后之分，主次之别，它们对学生多角度认识分数都发挥着重要的作用。它们相辅相成，共同承担着学生对于分数内涵丰富性认识的建构。2．利用多种模型帮助学生理解分数的意义在小学阶段教材中往往以学生熟悉的日常事物与活动为模型，建立分数的概念。例如把一个月饼平均分为两份，其中的一份是个，把一张纸平均分为为四份其中的一份是，这仅仅是从“面积模型”的角度来理解分数，学生理解分数可以借助于多种“模型”。（1）分数的面积模型：用面积的“部分—整体”表示分数儿童最早是通过“部分—整体”来认识分数，因此在教材中分数概念的引入是通过“平均分”某个“正方形”或者“圆”取其中的一份或几份（涂上“阴影”）认识分数的，这些直观模型即为分数的“面积模型”。（2）分数的集合模型：用集合的“子集—全集”来表示分数这是“部分—整体”的另外一种形式，与分数的面积模型联系密切，但学生在理解上难度更大，关键是“单位1”不再真正是“1个整体”了，而是把几个物体看作“1个整体”，作为一个“单位”，所取的“一份”也不是“一个”，可能是“几个”作为“一份”，例如，把4个桃子看作“单位1”平均分成2份，每份2个占整体的。分数的集合模型需要学生有更高程度的抽象能力，其核心是把“多个”看作“整体1”。（3）分数的“数线模型”：数线上的点表示分数3.把握好每一阶段完成的任务在小学阶段，对于分数意义的学习，教材一般“显性”地分为两个阶段：第一学段分数的初步认识和第二阶段分数的意义。但实际上，基于对于分数意义内涵丰富性的理解，我们逐步认识到，对于分数意义的学习，决不是一两次教学所能全部承载和实现的，需要通过系列设计，逐步渗透、多维度建立，将教材中的“显性”和“隐性”结合起来。我们应该如何把握每一阶段的教学呢？第一阶段：认识平均分。第二阶段：在分数的初步认识教学中，帮助学生初步建立部分与整体关系的认识，感受分数。第三阶段：在分数意义和分数基本性质的教学中，重点使学生发展对于分数理解的比率、度量的维度。第四阶段：在分数与除法关系的教学中，重点使学生发展对于分数理解的运作、商的，第五阶段：在分数的运算及解决问题的教学中，鼓励学生综合运用对于分数意义理解的多个维度。必须指出的是，这五个阶段不是相对孤立的