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1小学数学中部分易混概念辨析南明区教师学习与资源中心钟云珠小学数学概念是构成小学数学基础知识的重要内容，其中，有一些意义相近却不尽相同、互有联系又有所区别的概念，较易混淆。在教学中,应注意辨析它们的异同,把每一个概念区别于其他概念的本质特征突出出来,以利于学生清晰地理解、牢固地掌握、准确地运用。数学基础知识有：概念、法则、定理、性质。一、数学概念及其表现形式（一）数学概念数学概念在数学思维中起着十分重要的作用，它是最基本的思维形式。判断是由概念构成的，推理和证明又是由判断构成的，可以说，数学概念是数学的细胞。判断、推理、证明都基于对概念的理解。数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映。本质属性：世界上的万事万物都有许多的性质，如形状、颜色、气味等。一个事物除了有许多性质外，还与其他事物间存在各种关系，如，上下、左右、大于、小于、胜负、平等、互助等等，在形式逻辑中把事物的性质和关系，统称为事物的属性。任何事物都有许多的属性，在事物的诸多属性中，有些属性是某个或某类事物所特有的，决定该事物的本质，使某一事物之所以成为它自己，并把这种事物与其他事物区别开来。这种事物的基本属性就是事物的本质属性，它是事物本质的规定性。（二）小学数学概念的表现形式在小学数学教材中的概念，根据小学生的接受能力，表现形式各不相同，其中描述式和定义式是最主要的两种表示形式。1．定义式2定义式是用确切而简要的语言揭示概念的内涵或外延的方法。概念的内涵是指概念所反映对象的特性和本质属性，外延是指概念所反映对象的具体范围。如：两组对边分别平行叫的四边形做平行四边形。（比如：平行四边形的定义，首先它是“四边形”，条件是“两组对边分别平行”．“平行四边形”的内涵包含了“四边形”所有的内涵，而“两组对边分别平行”是平行四边形独有的、用以区别于一般四边形的本质属性．因此，教学中，教师只要抓住四边形的概念和两组对边分别平行，引导学生思考“一个四边形具备了什么特征才是平行四边形”，就可以自然地使学生建立起对新概念“平行四边形”的本质属性的理解．那么，平行四边形的内涵（也就是它的特性和本质属性）是什么呢？两组对边分别平行且相等，对角相等，邻角相等等等。它的外延是什么呢？具有平行四边形本质属性的所有对象，如：大小不同的平行四边形、长方形、正方形、菱形（后面这几是特殊的平行四边形）。另外，概念的内涵越多，则外延越小；内涵越小，则外延越大。如，我们来给“平行四边形”的概念增加内涵看看，如果增加“有一个角为直角”的话，就可以得到“长方形”的概念，那么再增加一个内涵“邻边相等”，又可以得到“正方形”的概念．“平行四边形”概念的教学，为后续概念的学习，奠定了基础．如果在“平行四边形”的概念的内涵中减少“两组对边平行”的属性，就得到了外延扩大的“四边形”的概念了。可见，从数学知识发展的需要出发，对“概念体系”进行分析，可以了解到概念间的从属关系，形成明晰的知识结构，并清晰地认识到学习“平行四边形”概念的“合理性”．概念的内涵就是反映在概念中的对象的本质属性，它说明概念所反映的事物是什么样的．“平行四边形”的含义是：两组对边分别平行，这就是“平行四边形”的内涵．它揭示了“平行四边形”与“四边形”的隶属关系，以及它们之间的区别与联系，反映了“平行四边形“的本质属性．其中的关键词“两组对边分别平行”，既可以作为平行四边形的判定方法，又可以是平行四边形的一个性质．）2．描述式用一些生动、具体的语言对概念进行描述，叫做描述式。这种方法与定义式不同，描述式概念，一般借助于学生通过感知所建立的表象，选取有代表性的特例做参照物而建立。如：“我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1、2、3、4、5……叫自然数”（这里是例举数数时的自然数，并不是没有例举到的0不是自然数，0是自然数的）；“象1.25、0.726、0.005等都是小数”等。这样的概念将随着儿童知识的增多和认识的深化而日趋完善。在小学数学教材中一般用于以下两种情况：3一种是对数学中的点、线、体、集合等原始概念都用描述法加以说明。例如，“直线”这一概念，教材是这样描述的：拿一条线，把它拉紧，就成了一条直线。“平面”就用“课桌面”、“黑板面”、“湖面”来说明。另一种是对于一些较难理解的概念，如果用简练、概括的定义出现不易被小学生理解，就改用描述式。例如，对直圆柱和直圆锥的认识，由于小学生还缺乏运动的观点，不能像中学生那样用旋转体来定义，因此只能通过实物形象地描述了它们的特征，并没有以定义的形式揭示它们的本质属性。学生在观察、摆拼中，认识到圆柱体的特征是上下两个底面是相等的圆，侧面展开的形状是长方形。一般来说，在数学教材中，小学低年级的概念采用描述式较多，随着小学生思维能力的逐步发展，中年级逐步采用定义式，不过有些定义只是初步的，是有待发展的。在整个小学阶段，由于数学概念的抽象性与学生思维的形象性的矛盾，大部分概念没有下严格的定义；而是从学生所了解的实际事例或已有的知识经验出发，尽可能通过直观的具体形象，帮助学生认识概念的本质属性。对于不容易理解的概念就暂不给出定义或者采用分阶段逐步渗透的办法来解决。如角，静态描述：具有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。而动态的定义“一条射线绕着它的端点旋转而成”只是通过“活动角模型”的演示来感受，因而也不研究大于周角的角及“优角”。（小学数学分阶段认识，以认识角为例来说，我们以小学二年级认识角来说，小学二年级学生的认识水平比较低，初步认识角是这样的:角有一个顶点，有两条边，这时并没有给角下一个定义，然后学生也认识直角，也认识锐角，也认识钝角，但是，有没有提到角的分类？没有，为什么呢？这个时候，你让他准确地去描述锐角是什么角，直角是什么角？他还没有学那个角的度数，他是无法描述的，只能在具体的那个角里认识，这样的角是直角，这个角比直角小，就是锐角，这个角比直角大，就是钝角，这个时候还没有讲00——900之间的角，是没有下这样的定义的，到四年级这些问题是迎刃而解，这就是分阶段认识，它是按儿童的认识特征进行的编排规律。）4二、小学数学中易混概念思考：小学数学中有哪些常用概念？数与代数；空间与图形；统计与概率。(一)数与代数领域1、数与数字数字是用来记数的符号。常用的数字有中国数字、阿拉伯数字（0-9）（10个）；罗马数字IVXLCDM（7个）；英文数字ABCDEF（在十六进制中用到）等。数：是表示事物的量的基本数学概念,例如自然数、整数、分数、有理数等。数和数字是两个不同的概念，数字仅仅是一种符号，只有用它来表示数时，才具有某种特定的含义。教学时要正确使用这两个概念，如3+2=5不能说是3和2两个数字相加；十位上的数相加，不能说成十位上的数字相加。数和数字有区别，又有联系：A、写数时，离不开数字；B、用数字记数时，有一定的记数方法和组数规则。（数字是有限的0－9，数是由数字组成的，如10，数字1在十位上，数字0在个位上，形成数10.）C、不同的记数系统可以使用相同的数字，比如，十进制和二进制都会用到数字“0”和“1”。D、同一个数在不同的记数系统中有不同的表示。比如，数37（阿拉伯数字十进制）可以有多种写法：中文数字写作三十七；罗马数字写作XXXVII；阿拉伯数字二进制写作100101E、在相应的记数系统中，数字位置决定了它所表示的值。例如“3”这个数字：在十进制数37中，它表示的值为30（十进制）；在八进制数23中，它表示的值为3（十进制）；在八进制数37中，它表示的值为3×8=24（十进制）。5【数系的扩展】数系（把一个数集连同相应的运算及结构叫做数系）经历了五次扩展：（1）扩大的自然数（a-a→0）[原自然数集是不包含0的，在计算两个相同的自然数相减的过程中发现在自然数集中找不到它们相减的得数的时候，所以就把自然数集扩大到了0，就得到了扩大的自然数集]（2）非负有理数（a/b→正分数）[在计算a/b的商不能用整数表示时，引入正分数，就得到了扩大的非负有理数集]（3）有理数（四则运算→负有理数）[在进行四则运算中，要引入负有理数，就得到了扩大的有理数集]（4）实数（x2-2=0，在有理数集无解→无理数）[在解方程x2-2=0的过程中，在有理数集中无解，就引入无理数，从而就得到了扩大的实数集]（5）复数（x2+1=0，在实数集无解→虚数）[在解方程x2+1=0的过程中，在实数集无解，就引入虚数，就得到了扩大的复数集]小学数学中的数，包括：分数与百分数：联系：都是分数，只不过百分数是一种特殊的分数；区别：分数既可表示具体的量，如二分之一米、三分之二千克，又可表示两个量间的倍比关系，如男生人数是全班人数的五分之三；而百分数只表示两个数量间的倍比关系，所以百分数又叫百分比、百分率。在百分数后面不能带计量单位名称（即百分数不是名数），如百分之二十三吨，不能写成23%吨，也就是不能写成百分号的23%吨了。它们的书写形式不同，百分数的书写在数字后加上百分号。带分数：是假分数的另一种书写方式。小学阶段：主要学习的是整数、分数和小数。2、分数与小数（1）小数的意义整数正整数负整数自然数0分数(百分数)真分数假分数（带分数）小数有限小数纯小数带小数无限小数循环小数纯循环小数混循环小数无限不循环小数数6小数：把整数1平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数的整数部分的最低位是个位，计数单位是1，它没有最高位；小数部分的最高位是十分位，它的最高位分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10，它没有最低位。（2）小数的分类纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。如：0.25、0.368都是纯小数。带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。如：3.25、5.26都是带小数。有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。例如：41.7、25.3、0.23都是有限小数。无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。例如：4.33……3.1415926……无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。例如：π（圆周率，它是一个无理数）循环小数：一个数的小数部分，从某一位起向右有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。例如：3.555……0.0333……712.109109……循环节：一个循环小数的小数部分，从某一个数字开始，有一个数字或者几个数字，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节（强调：循环节要从小数部分从左往右看）。例如：3.99……的循环节是“9”，0.5454……的循环节是“54”。纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。例如：3.111……0.5656……混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。3.1222……0.03333……注意：写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环节只有一个数字，就只在它的上面点一个点。0.54545……循环小数化分数：一个循环节所组成的数作为分子，分母是循环节的位数有几个，分母就由几个9组成，比如，循环节是一位，分母就是9，两位，分母就是99，三位，分母就是999；混循环小数化分数：用第二个循环节以前的小数部分的数减去不循环的部分组成的数作为分子；循环节有几位，从高位起就有排几个9，小数部分在第一个循环节前面有几位，就在最后一个9的后面添上几个0，就组成了分母，比如，0.3269191……，化成分数就是（32691－326）/99000（3）分数的意义分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数