小学数学知识概要(讲解版)

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小学数学知识概要四大领域:数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用数与代数数的认识1.整数的认识。表示物体个数的1、2、3……都是自然数,0也是自然数,它们都是整数。自然数的个数是无限的,没有最大的自然数,0是最小的自然数。2.小数的意义与性质。分母是10、100、1000……的分数都可以用小数表示。一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几……小数的末尾添上“0”或者去掉“0”,小数的大小不变,这是小数的性质。利用小数的这一性质,通常可以去掉小数末尾的0,把小数化简;也可以根据需要在小数的末尾添上0;还可以在整数个位的右下角点上小数点,再添上0,把整数改写成小数的形式。3.分数的意义及其基本性质。把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数。分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(零除外),分数的大小不变,这是分数的基本性质。4.百分数的认识。表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。5.负数的认识。像+4、19、+8844这样的数都是正数,像-4、-11、-7、-15这样的数都是负数。0既不是正数,也不是负数。“每相邻的两个计数单位间的进率都是十”,这种计数方法叫做十进制计数法。它是“数的认识”的基本原理,其核心是“满十进一”的进位制和位值制。复习本身是一个“串点成线”的过程,理一点明一片,明一片会一面。例如在整理“倍数和因数”一单元内容时,就需要我们注意前后知识之间的联系:(1)只有在这个乘法算式中的因数和积都是整数的情况下,才能讨论因数和倍数的概念。如5×0.8=4,虽然等式成立,但不能说5和0.8是4的因数,或4是和0.8的倍数。(2)倍数和因数是一对相互依存的概念,不能单独存在。描述倍数或因数时必须说清楚谁是谁的倍数(或因数),如“2是12的因数,12是2的倍数”,而不是“2是因数,1是倍数”。(3)要区分乘法算式各部分名称中的“因数”和本单元中“因数”的联系和区别。前者是相对于“积”而言的,可以是整数,也可以是小数或分数;而后者只能是整数。(4)要注意区分“倍数”与前面学过的“倍”的联系与区别。“倍”的概念比“倍数要广,如我们可以说“15是3的5倍”,也可以说“1.5是0.3的倍”,但我们只能说“15是3的倍数”,却不能说“1.5是0.3的倍数”。关系概念:因数、倍数、质数、合数、分解质因数数的运算(一)四则运算。1.四则运算的意义。加法:把两个数合并成一个数的运算。减法:已知两个加数的和与其中一个加数,求另一个加数的运算。乘法:一个数乘以整数&就是求几个相同加数的和的简便运算。一个数乘以分数,就是求这个数的几分之几是多少。除法:已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。加法和减法互为逆运算&乘法和除法互为逆运算。(错)我们知道,减法是加法的逆运算,除法是乘法的逆运算,那么,加法是不是减法的逆运算呢,乘法是不是除法的逆运算呢?关于这个问题,可以从运算的数学意义角度理解。一般说运算都指代数运算,它是集合中的一种对应。对于集合A中的有序元素对a、b,有集合A中唯一确定的第三个元素c与它们对应,叫做集合A中定义了一种运算。(例如,(3,2)这对数按照某种法则与5相对应,这就是一种加法运算,3+2=5。如果这对数与6相对应,就是乘法运算,3×2=6。)所谓逆运算,就是把c以及a、b中的一个当作已知,把a、b中的另一个当做所求的运算。这样看来,对于前面元素对a,b与c对应的运算来说,就存在两种逆运算。它的第一个逆运算是:对于元素对c、b,使元素a与它们对应;它的第二个逆运算是:对于元素对c、a,使元素b与它们对应。如果一个运算满足交换律,即这个运算对于任意一对元素a、b或b、a,永远得到同一的结果,那么,这个运算的两个逆运算是一致的。也就是说,在这种情况下,这个运算有唯一的逆运算。对于整数集来说,任意两个整数的加法运算满足加法交换律,加法算式中的两个加数都可以用“和减去一个加数等于另一加数”求出来,所以加法有唯一的逆运算——减法。例如,数对(3,2)与5对应,确定加法运算后,已知3和5,可以用减法求出2,已知2和5也可以用减法求出3。但是,每一个运算并不都有逆运算。例如,减法算式中的被减数和减数,只有被减数可以用“差与减数相加”这种加法运算得到,减数却不能用加法运算得到。例如,数对(3,2)与1对应确定减法运算后,已知2和1可以用加法求出3,但已知3和1,却不能用加法求出2。所以不能说加法是减法的逆运算,也就不能说加法和减法互为逆运算。同样道理,我们也不能说乘法是除法的逆运算,或者乘除法是互逆运算。2.四则运算的法则。3.四则运算各部分之间的关系。一个加数=和-另一个加数被减数=差+减数减数=被减数-差一个因数=积÷另一个因数被除数=商×除数除数=被除数÷商4.四则混合运算的顺序。在四则混合运算中,运算顺序规定如下:(1)在一个没有括号的算式里,如果只含有同一级运算,则应按照从左到右的顺序进行计算。(2)在一个没有括号的算式里,如果既含有第一级运算,又含有第二级运算,则应先算第二级运算,后算第一级运算。也就是“先算乘或除,后算加或减”,简称“先乘除,后加减”。(3)在一个有括号的算式里,应先做括号内的运算。运算顺序是先算小括号里的算式,再算中括号里的算式,最后算大括号里的算式。5.运算定律和性质。简算,顾名思义能使计算简便、简洁,但简算必须要有依据,不能想当然,否则只会弄巧成拙。运算定律和运算性质是进行简算的基本依据。(二)解决问题。1.解决整数、小数问题。2.解决分数、百分数问题。1.熟悉基本的数量关系。解决问题的重点是分析问题,核心是分析数量关系。2.掌握分析问题的思路和方法。分析问题的“思路”好比解决问题的“向导”,它为我们指明了思考的方向。其中,基本的思路有两种:一种是“从条件想起”,另一种是“从问题想起”。分析问题的“方法”如同解决问题的“工具”,它能帮助我们理解题意和分析数量关系。重要的方法有:⑴列表。适合解决有多种情况的问题,如解决租车、租船问题时,设计最省钱的租车、租船方案。⑵假设。适合解决具体数量未知的问题。⑶画示意图。适合解决跟图形有关的问题。⑷画线段图。适合解决行程问题、分数问题。这些方法,在解决简单问题时看似作用不大,但在解决复杂问题时帮助很大。因此,我们需要切实掌握,并会灵活运用。3.解决问题的一般步骤。⑴弄清题意,看清条件,明确问题。⑵分析题里数量间的关系,确定先算什么,再算什么。⑶确定每一步该怎样算,列出算式并计算。⑷对答案进行检验,写答句。式与方程一、知识要点1.用字母表示数。认识用字母表示数的意义和作用,能够用字母表示学过的运算定律和计算公式,能够在具体的情境中用字母表示数和数量关系。会根据字母所取的值,求含有字母式子的值。2.解简易方程。明确“方程”、“方程的解”、“解方程”的含义,会用方程表示简单情境中的等量关系,理解等式的两条基本性质———等式两边加上或减去相等的数,等式不变;等式两边同时乘或除以相同的数(0除外),等式不变。会用等式的性质解简易方程。3.列方程解决实际问题。用简易方程解决一些实际问题,能根据具体情况,灵活选择算法。上述三个知识要点中,“用字母表示数”是学习“方程”的基础,“方程的意义”是学习“解简易方程”的基础,“列方程解决实际问题”则是“解简易方程”的发展。“列算式解”和“列方程解”是我们在解决实际问题时常用的方法。“列算式解”的算式中全是已知数,未知数不参加列式,它是通过已知数量的加、减、乘、除,得出问题的结果;“列方程解”则是将未知数设为字母参与列式,通过列出符合题意的等式,求解等式得出问题的结果。两种解法各有优势,我们在解决问题的过程中要根据题意,合理选择方法。不过,在解答比较简单的分数除法实际问题时,如果用算术方法解,需要逆向思考,即从“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的角度去理解数量关系。用方程解,只要根据分数乘法的意义,顺向思考,就能找到等量关系并列出方程。所以在解决此类问题时,列方程比列算式更容易思考。常见的量1.货币单位。认识货币单位元、角、分及各种面值的人民币,熟悉相邻两个单位之间的进率,会进行简单的计算。2.时间单位。认识时间单位世纪、年、季、月、日、时、分、秒,了解它们之间的关系,知道每个月以及平年、闰年各有多少天,会用24时计时法表示时刻,能计算简单的经过时间。3.长度单位。认识长度单位千米km、米m、分米dm、厘米cm、毫米mm熟悉相邻两个单位之间的进率,建立长度观念,会进行简单的单位换算。4.质量单位。认识质量单位吨t、千克kg、克g,建立1克和1千克的观念,熟悉相邻两个单位之间的进率,能进行简单的计算。5.面积单位。认识面积单位平方千米km2、公顷hm2、平方米m2、平方分米dm2、平方厘米cm2、平方毫米mm2,建立1平方米、1平方分米、1平方厘米的表象,熟悉相邻两个单位之间的进率,会进行简单的单位换算。6.体积(容积)单位。认识体积单位立方米m3、立方分米dm3、立方厘米cm3、立方毫米mm3,容积单位升L、毫升ml,熟悉相邻两个单位之间的进率,会进行单位之间的换算。适度扩展:长度单位(英里、海里、码、英寸、忽米、微米、光年等)时间单位(传说故事。天文历法等)凡含有计量单位名称的数统称为名数。名数的改写有两类:一类是单名数之间的改写,一类是单名数与复名数之间的改写。顾名思义,单名数是指只含有一个计量单位名称的名数;复名数是指含有两个或两个以上计量单位名称的名数。熟练掌握名数的改写。比和比例一、知识要点1.比。比的意义,比与分数、除法的关系,比的基本性质,化简比,求比值,运用比的知识解决实际问题。2.比例。比例、正比例和反比例的意义,比例的基本性质,解比例,比例尺,图形的放大与缩小,用比例知识解决实际问题。比例尺表示图上距离与实际距离的比,根据图上距离与实际距离求比例尺的方法是:首先依据比例尺的意义确定比的前项和后项,写出比,图上距离与实际距离位置不能写错;接着把两项化成相同的单位;最后化简比。若要把线段比例尺改写成数值比例尺,只需根据线段比例尺写出图上距离与实际距离的比。需要注意的是由于图上距离和实际距离的单位不同,要把不同单位化成相同单位,另外比例尺是一个比,无需带单位名称。1.数字比例尺数字比例尺一般用分子为1的分数形式表示。设图上某一直线的长度为d,地面上相应线段的水平长度为D,则图的比例尺为式中M为比例尺分母。当图上1cm代表地面上水平长度10m(即1000cm)时尺就是。通常称1:1000000、1:500000、1:200000为小比例尺地形图;1:100000、1:50000和1:25000为中比例尺地形图;1:10000、1:5000、1:2000、1:1000和1:500为大比例尺地形图。建筑类各专业通常使用大比例尺地形图。按照地形图图式规定,比例尺书写在图幅下方正中处。2.图示比例尺为了用图方便,以及减弱由于图纸伸缩而引起的误差,在绘制地形图时,常在图上绘制图示比例尺。1:1000的图示比例尺,绘制时先在图上绘两条平行线,再把它分成若干相等的线段,称为比例尺的基本单位,—般为2cm;将左端的一段基本单位又分成十等分,每等分的长度相当于实地2m。而每一基本单位所代表的实地长度为2cm×1000=20m。数学思考1.探索规律。探索给定图形或数字中隐含的简单规律。2.排列组合。有顺序地、全面地找出事物的排列数和组合数。如用三个数字卡片组成三位数,找出不同三位数的排列数;两件上装和三件下装不同搭配,找出不同穿法的组合数。3.逻辑推理。能根据已知条件通过判断推出结论。4.集合思想。用集合圈准确分类,直观、形象地表示出数学概念,用集合的思想方法解决简单的实际问题。5.等量代换。明确等量代换是指一个量用与它相等的量去代替,在解决实际问题的过程中体会等量代换的思想。6.统筹优化。从优化的角度在解决问题的多种方案中寻找最优的方案。7.植树问题。找准总数和间隔数之间的关系,能根据不同的情况总结出规律,并利用这些规律解决类似的实际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