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1小学数学竞赛辅导专题讲座一、对于小学数学与数学竞赛的认识在基础教育中数学是一门主课，世界各国都是如此，每个人在他的青少年时代至少要学十年的数学，为什么大家这样重视数学呢？原因在于，数学是锻炼思维的体操，数学是打开科学大门的钥匙，数学是引导人们进行理性探索的工具。数学是一种文化，是一种属于科学的文化，理性的文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。通过学数学，所形成的能力，所领悟的数学的精神、思想和方法，凝铸为个人的素质，成为一个人终生受用的财富。数学文化有着与时俱进，适应时代发展要求的育人功能，为了更好地发挥数学教育的育人功能，实现育人目标，就必须充分发挥数学的文化功能，重视文化观念教育，增强文化气息，提高文化品位。把数学的严谨求实的精神和推理意识；勇于创新的精神和探索意识；善抓本质的精神和抽象的意识；联系实际的精神和应用意识等渗透到数学的教与学的全过程。要提高数学教与学的文化品位，以“润物细无声”的方式，渗透数学文化，促进学生人格品质的升华和全面素质的提高。我国的基础教育，在相当长的一段时间是实行九年义务教育，使全体适龄儿童都得到全面发展。由于每个人的个性爱好存在差异，理所当然地要在《课程标准》要求的基础上进行因材施教，鼓励学生自由发展自己的爱好和特长，因此，丰富多彩的高质量的家庭教育，业余教育成为正规学校教育的重要补充，其中，数学竞赛活动尤为受到广大家长和同学的欢迎。小学数学竞赛活动作为一种学习载体，对小学生的发展一直起着积极向上的导向作用。她的积极影响，只有在“做数学”的过程中才能领悟并逐步地变为现实。江泽民主席视察澳门濠江中学时谈到：解答数学题，最重要的是培养一个人的钻研精神。从数学文化的高度，揭示了“做数学”的素质教育内涵。二、小学数学竞赛题型介绍与辅导（一）高斯算法[解题指导]卡尔、弗里德希、高斯是世界著名的数学家，他很小的时候就聪颖过人，有很高的数学天赋，小高斯上一年级时，有一天，教师出了这样一道数学题让同学们计算：1+2+3+4+5+6+……+98+99+100=？老师刚刚出完题目，全班小朋友还有埋头计算，小高斯就很快地说出了正确答案：5050。小高斯是怎样巧妙的算出答案的呢？原来他通过细心观察，发现1——100这一串数有一个十分明显的特征，即它们相邻两个数的差都相等。若把这100个数，从两头往中间逐个相加，它们的和又都相等：1+100=2+99=3+88=…………=49+52=50+51，像宁产共有50个数对，每对的两个数的和为101，所以它们的总和为（1+100）×100÷2=101×50=5050。归纳出一个公式是：（首项+末项）×项数÷2注：在数学上，人们把1—100这些数中的每个数都叫做一个项，并把这样的一串数称做等差数列。例1：1+2+3-4+5+6+7-8+9+……25+26+27-28=？分析：仔细观察这个算式，发现它有规律地出现着一些“减数”，因此，计算时应特别细心，下面介绍二种解法。解法一：变减为加，整体推算（其中减数为4的倍数，共28÷4=7个）（1+28）×28÷2-[（4+28）×7÷2]×2=406-224=182这样想，开始我们把减数当成加数来算了，所以后来应减去这些减数的2倍。解法二：分组累计从头算起，每四个数为1组，分别计算每组数的得数为：2，10，18，……50，其和为：（2+50）×7÷2=182这样想：四个数为1组，28个数即可分成7组，所以项数是7。2例2：有一列数，19，22，25，28……这列数的前99个数（从19开始算起）的总和是多少？分析：求总和，必须先算出这个数列的末项（即第99个数）是多少。仔细观察它们的那前几项，不难发现；后一个数都比它前面的数大“3”（这就叫做这个数列的公差）。如果都与第一个数相比，第二个数比第一个数多3；第三个数比第二个数多2个3；第四个数比第一个数多3个3……由此不难推想出，第九十九个数一定比第一个数多98个3，它是19+3×（99-1）=313再利用“高斯算法”求和（19+313）×99÷2=16434由此归纳出求末项的公式：首项+公差×（项数-1）=末项例3：从“99”开始，每隔三个数写出一个数：99，103，107，111，……1999是这列数中的第几个数？分析：求项数的思考方法与例2基本相同，首先观察这列数的前几项，发现它们从第二个数开始，每个数都比它前面的数多4（即公差），仍拿它们都与第一个数相比，第2个数比第1个数多4；第3个数比第一个数多2个4；第4个数比第一个数多3个4；……要知道“1999”是这列数中第几个数，只要算一算比第一个数多多少个“4”就可以了，列式为（1999-99）÷4=475“1999”是这列数中的第（475+1）=476个数归纳出求项数的公式：（末项-首项）÷公差+1=项数有了这两个求末项和求项数的公式，一些稍复杂的利用“高斯算法”求和的问题就能顺利解答了。（二）整除问题[解题指导]在小学数学竞赛中，有些问题涉及“整除”这部分知识，因此，有必要结合起来较典型的例题对有关“整除”的一些更深层次的知识作一些介绍以便提高解题能力。例1：七位数“□1995□”能同时被4，9和25整除，请问“□”里各该填什么数？分析：我们由易到难地先考虑：“能被25整除”，这一条件，这时，这个七位数的末两位必须是00，25，50，和75；再考虑，“能被4整除”这一条件，也只需看它的末两位能否被4整除，并从上面的四种情况中挑选出“00”这一种。最后考虑“能被9整除”这一条件，应看它各位上的数字之和，因为1+9+9+5+0+0=24，即可知它的首位数只能填“3”（24+3=27，27能被9整除）[要点]1、能被4整除的数的特征：一个多位数的末两位数字组成的数能被4整除，这个多位数一定能被4整除。2、能被25整除的数的特征：一个多位数的末两位数字组成的数能被25整除，这个多位数一定能被25整除。3、能被8整除的数的特征：一个多位数的末三位数字组成的数能被8整除，这个数就能被8整除。4、能被7整除的数的特征：末三位数与末三位以前所表示的数的差，能被7整除，这个多位数就能被7整除。例2：在“□”内填上适当的数，使六位数“□1998□能被56整除”。分析：因为56可以分解成7和8的乘积，所以，要使“□1998□”能被56整除，就应站它能分别被7和8整除，先考虑它怎样才能被8整除，经推算，这个六位数的个位填“4”，再考虑它怎样才能被7整除，抓住能被7整除的数的特征，可以推算出首位应填“3”，984-319=665，665÷7=95，本题答案为：319984。整除问题同其它问题一样，也有不少综合性较强的引申题。我们在审题时一定要全面，细致，要善于抓住问题的实质，从而灵活、巧妙地解答它们。（三）平均数问题[解题指导]总量÷总份数=平均数求“平均数”是统计工作中最常用的一种基本方法，它是在除法简单应用题的基础上发展起来的，平均数问题的内容也十分丰富，有好多种不同的题型，但它们的基本关系式是：因此，紧紧围绕着这个基本关系式进行，深入思考是解答平均数问题的关系。3例1；有八个数排成一列，它们的平均数是54，前五个数的平均数是46，后四个数的平均数是68，第五个数是多少？分析：题目给了我们三个“平均数”，我们可以通过这三个“平均数”分别推算出原题中八个数的总和，及前五个数和后四个数的总和。八个数的总和：54×8=432前五个数的总和：46×5=230后四个数的总和：68×4=272这三个数总和之间有什么联系呢？请看下面这幅示意图230●●●●▲●●●272总和432从图中可以清楚地看出，第五个数正好在前五个数与后四个数“重叠”处，求这个数，列式为230+272-432=70，答：简例2：有两组数，第一组的平均数是12.8;第二组数的平均数是10.2,而这两组数总的平均数是12.02.那么,第一组数的个数与第二组数的个数比是_____:______.分析：这是一道难度相当大的问题，因此解答的方法也不一般，下面介绍一种“借用字母参加运算”的方法，十分巧妙，也较适合我们的小学生理解。假设第一组数有A个，根据题题知道这一组数的和为12.8A,再假设第二组数为B个,其和为10.2B;这两组数的总和当然可为(A+B)×12.02.又因为这两组数在“合并”的前后，总和是不变的，所以可列出以下方程。12.8A+10.2B=12.02×(A+B)解:0.78A=1.82B利用“比例的基本性质”把上面这个等式转化成比例。A：B=1.82:0.78A:B=7:3答:略(四)植树问题[解题指导]植树问题是一类比较普通而又常见的问题,它一般分为直线植树和周围植树两种情况,它们的关系到式分别为:直线植树:棵树=总距离÷棵距+1周围植树:棵树=总距离÷棵距例1:教室门前有一个长方形花坛,长4米,宽1.5米,在它的四周每隔0.5米栽一棵指甲花.四个角上各栽一棵,一共栽了多少棵花?分析:这是一道“周围植树“的问题，我们可以清楚地想像到：每隔0.5米栽一棵花,花坛的长就被分成为8段,宽则被分成为了3段.整个周长被分为(8+3)×2=22(段)因为周长是一个闭合的圆圈,它没有头和尾,所以栽花的棵数就等于段数.列式为:(4÷0.5+1.5÷0.5)×2=22棵.答:略例2:把一根钢管锯成在段要花24分钟,若把这根钢管锯成六段需要花多少分钟?分析:生活的经验告诉我们,把一根钢管锯成三段,只需要从中间锯2次;同样的道理,把这段钢管锯成六段,应当锯5次.123123456看了上面这两幅示意图，懂得了“所锯次数比段数少1”这一道理，再来推算工作时间就不会出差错了，列式为424÷（3-1）×（6-1）=60（分）答：略（五）相遇问题[解题指导]“相遇问题”研究的是两个人或两辆车对面行来的一些情况，它属于行程问题中的一种较特殊的题型，同时也有一些巧妙的变化，相遇问题的基本关系式是：距离÷速度=时间这里所说的“速度”指的是两个人或两辆车的速度之和例1：甲、乙两人在周长400米的环形跑道上锻炼身体，他们朝相反的方向跑。甲、乙两人第一次相遇与第二次相遇之间经过40秒，已知甲每秒跑6米，乙每秒跑几米？分析：这道题目实质上是一个相遇问题。我们可以简单地在草稿上画一个环形“跑道”演示一下就不难发现，两人从第一次相遇到第二次相遇，共跑了400米。两人的速度和是：400÷40=10（米/秒）乙的速度是：10-6=4（米/秒）在我们的数学竞赛中有时还出现“两次”或“多次”相遇的问题，这类问题比较特殊也很有趣。例2：甲、乙两城相距290千米，一辆客车从甲城出发向乙城驶去，每小时行45千米；一辆货车从乙城出发驶向甲城，每小时行42千米。两车同时出发相向而行，它们各自到达终点后休息一小时，然后立即返回，从出发时开始到返回后再一次相遇一共花了多少小时？分析：两车在各自到达终点之前就已经“相遇”了一次，它们返回再次相遇，就称为“两次相遇”问题。假如我们分析考虑，两车各自到达终点花费了多少时间，同时推算另一辆汽车至何处，再来推算第二次相遇的情况，那的确是非常困难的，我们不妨实际演示一个，就能发现两车第二一次相遇时，它们共行了三倍全部，因此求时间就不困难了。客车货车甲乙290千米290×3÷（45+42）+1=11（小时）答：略（六）追及问题[解题指导]追及问题也就是同向运动问题，它是行程问题中的另一种特殊题型，追及问题的基本关系式同样是：距离差÷速度=追及时间这里的“距离”指的是前后两人之间的“距离差”；“速度”同样是指两个人的“速度差”。例1：一艘敌舰在离我海防哨所6千米处，以每分钟400米的速度逃走，我快艘立即从哨所出发，11分钟后在离敌舰500米处开炮击沉敌舰，我快艘的速度是每分钟多少米？分析：因为本题中两舰追及的“距离”为：6000-500=5500米，追及的时间为11分钟，所以我们的快艇每分钟比敌舰多行（也就是两船的速度差）：5500÷11=500米快艇每分钟行：400+500=900米。综合算式：（6000-500）÷11+400=900米答：钟面上的时针与分钟一慢一快，朝着同一个方向