小学数学解题研究

小学数学解题研究徐元根浙江师范大学教师教育学院小学数学解题研究解题研究及理论简介归纳问题周期问题整除及同余问题物不知数砝码称重勾股定理鸡兔同笼苏格拉底助产术关于问题解决的最早记录之一出现在柏拉图的苏格拉底谈话录《门诺》中，在书中，苏格拉底和门诺的仆人进行了一次典型的“苏格拉底谈话”——向仆人提出一系列诱导式的问题，对他的回答进行细微的纠正，最终使仆人证明了一个数学关系式。苏格拉底提醒门诺，他并没有告诉仆人任何东西，而仆人则完全依靠自己回答了所有的问题。仆人利用“记忆”中的重要结果对这些问题作出了正确的回答。但是并没有人曾教给仆人这些结果，这说明仆人原本就知道它们。也就是说，知识存在于他们永恒的灵魂之中而非存在于身体之中。正因为灵魂是所有知识的居住地，所以他能够想起这些知识。总之，知识是永恒的，如同柏拉图式的，它也是完美的。知识既不可能被生产，也不可能被发现，而只能被回忆。笛卡儿的伟大设想十七世纪。笛卡儿开始他的“创造性思维”的研究，他构造了一个伟大设想，在这个设想中：首先通过数学化把任何问题转化为数学问题；然后把任何数学问题转化为代数问题；再把代数问题转化为解单个的方程。笛卡儿希望在他的有生之年完成他的伟大事业，他的一些成功的努力被记录在后人的纪念性文章《思考的规则》（1952）里。其中，说明了普通人怎样才能象笛卡儿那样思考，利用他的方法，象他那样解决问题。官能心理学和训练理论在19世纪的大部分时间里，在学校课程中起统治地位的是官能心理学和训练理论。按照官能心理学的观点，每个人的大脑是由各种官能（或者说心理功能）所组成的，这些官能包括感觉、记忆、想象、理解、直觉、推理等，不同的官能位于大脑的不同部位，而且可以通过针对性的训练来发展或者强化某个特殊的官能。在这种理论的支配下，学校的任务就是发展学生的各种基本技能，而其中，数学，特别是高水平的数学，则是发展学生推理技能的主要手段。在这一阶段，数学课程中的问题解决主要以常规问题为主，不考虑对数学结构的理解，而一味地推行训练与练习。教材中的习题部分的普遍形式是：先给出一道例题及一条相应的解题法则，然后提供一系列的类似问题进行练习。20世纪中期对于问题解决来说，1945年是标志性的一年。在这一年里，关于问题解决的经典著作《创造性思维》（Max.Wertheimer）和《数学领域的发明心理学》(JacquesHadmard)的英文版首次发行。而最重要的是，波利亚的《怎样解题》也问世于这一年。这本书的出版，无论对波利亚还是对问题解决都是一个转折点：对作者本人来说，这本书成了他的关于数学思维本质的一系列重要著作的第一本，而数学思维则成了他此后工作的核心，并相继出版了《数学与猜想》（1954），《数学的发现》（第一卷，1962；第二卷，1965）；而对于问题解决来说，这本书的影响也是巨大的。波利亚的两个例子前n个自然数的平方和n个平面最多可以将空间分成几个部分？?3212222n波利亚的解题四步骤弄清题意制订计划实现计划回顾20世纪80年代的研究热潮1977年，美国全国数学督导委员会（NCSM，1977）宣布：“学习数学的根本目的是学会问题解决”。1980年，全国数学教师协会在《行动的议程》中提出：“问题解决应该成为80年代学校数学教育的核心”。这一口号很快得到了世界各国数学教育界的普遍响应，并由此掀起了一股问题解决研究的热潮。这股热潮一直延续到九十年代，在美国关于数学教育的一些主要刊物1991年所发表的论文中，问题解决占据了首要的位置，约占全部论文的五分之一。问题解决的四维超立方体模型（切片）解题教学问题解题理论/应用封闭/开放常规/非常规知识与经验表征与探索控制与调节情感与信念题组训练变式教学专家模式学徒式教学小组合作研究性学习…关于数学问题的研究题数学问题研究数学习题研究数学家的工作奥加涅相的题系统戴再平的习题理论关于数学解题的研究解题方法解题过程解题能力解题策略解题思想方法解题技巧逻辑过程心理过程能力类型波利亚方法论证题术施恩菲尔德奥加涅相心理学中国克鲁切茨基能力因素解题关于解题者的研究解题者差异分析个体的解题背景实际的解题过程针对性解题教学知识经验认知因素元认知因素情感因素优生中等生差生常规/非常规题封闭/开放题理论/应用题题型教学策略专项训练小组合作学习（专家）模型课题活动案例分析教学实验问题解决的心理历程（一）认知课题认知课题是解决问题的起始环节和基础（二）表征课题通过对课题的认知和理解，在对课题进行编码的基础上，在头脑中形成课题的条件与问题的初步印象，即为课题表征。课题表征既是个体对面临的任务、环境信息以另一种形式在心理活动中的表现和记载，也是个体进行问题解决时所加工的对象。它可以反映在解题过程和策略的选择上。课题表征的水平对问题解决有重要影响问题解决的心理历程（三）联想与匹配（模式识别）解决问题依赖于过去的知识经验。在获得某种表征信息后，就以该表征作为一种提取线索，通过联想，激活头脑中的已有经验，获取有关的信息，并将内外信息进行比较、匹配。若匹配成功，课题即被视作已有经验系统的一个实例或同例，产生与原经验系统中的问题解决一致的或相平行的解法。在匹配过程中，若已有经验不能提供现成的实例或同例，则需通过联想激活有关经验生成一个可与之匹配的新的实例或同例。若匹配失败，则将重新回溯到起始阶段，逐一进行检查，检查感觉信息中选用的信息是否可靠（即审题是否正确），对课题的初步理解（课题表征）是否有误，与长时记忆中信息建立的联系是否适宜（即联想是否恰当），然后再一次进行匹配。如此反复进行，逐步缩小检查的范围直到匹配成功，问题才得到解决。问题解决的心理历程（四）反思结果反思结果包含两层意思。一是对获得结果的整个思维过程进行检查。二是反思从该课题可得出的经验和教训。反思的有效方法一般有：（1）找出问题解决过程中的主要困难及关键，搞清楚自己是怎样寻找思路的。（2）对解题方法重新评价，找到最优解决方法。（3）思考解决该课题的过程中，是否有某种技巧值得吸取，是否有某种技巧尔后在类似的场合中用得上。（4）弄清楚当前的课题中可以得到哪些结论或吸取什么教训。（5）概括出课题的一般结构、特点，总结出运用该课题解法的条件范围，以便把该课题的解法推广到同一类型的所有题美国2000年课标中的问题问题：一个矩形长和宽的比是4：3，它的面积是300平方英寸，它的长和宽是多少？解法一：长宽面积4312864812910816121922015300解法二：300÷12=25，所以每个正方形的面积为25，边长为5。弗赖登塔尔介绍的教学问题问题：一件T恤与三瓶饮料总价30元，两件T恤与两瓶饮料总价44元，求T恤、饮料的单价。（1）TUUU30（2）TTUU44法一：TUUUTUUU=60→UUUU=16→U=4法二：TU=22→UU=8→U=4法三：从（2）到（1）少14元，再到UUUU又少14元，即16元。一个常见的数学教学问题求和100991431321211归纳问题（1）如下图所示的长方形由6个相同的小方格组成，现在将其中的部分小方格涂上黑色，其余小方格仍保持白色，要求任何两个相邻的小方格都至少有一个被涂上黑色，那么共有不同的涂色方法种。(所有小方格均被涂上黑色也允许。只要有一个编号的小方格的颜色不同，就被认为是不同的涂色方法)123456归纳问题（2）如下图所示的长方形由9个相同的小方格组成，现在将其中的部分小方格涂上黑色，其余小方格仍保持白色，要求任何两个相邻的小方格都至少有一个被涂上黑色，那么共有不同的涂色方法种。(所有小方格均被涂上黑色也允许。只要有一个编号的小方格的颜色不同，就被认为是不同的涂色方法)123456789归纳问题（3）如图，一只小蜜蜂从1号蜂房到8号蜂房，以途经哪几个蜂房区分，共有多少种不同的路径。（蜜蜂需总体保持向右的方向，即每次只能向右、右上或右下行进一格）12345678归纳问题（4）青蛙公子在练习跳台阶。台阶共有8级，青蛙公子每一步只能往上跳一级或二级台阶。若以每一步跳后的落脚点为哪几个台阶来区分，青蛙公子从最下面跳到第8级台阶的顶上共有种不同的跳法。完全数毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572-497）完全数：正因数之和等于该数本身（因数包括1但不包括该数自身），6=1+2+3，28=1+2+4+7+14，496，8128，33550336（1538年），8589869056（一个梅森素数对应一个完全数，至2005年共发现42个完全数）亲和数亲和数：两个数中任意一个数除了它自身以外的所有正因数的和恰好等于另一个数。最小的一对是220和284。220=22×5×11，284=22×711+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=2841+2+4+71+142=220哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想（1742年）：每一个不小于6的偶数都是两个奇素数的和，每一个不小于9的奇数都是三个奇素数的和。德国数学家哥德巴赫（Goldbach，1690-1764）1966年陈景润证明了“1+2”：每一个不小于6的偶数都可以表示成一个奇素数与不超过两个奇素数乘积的和。斐波那契数列1228年《算经》修订版中载有如下的“兔子问题”：某人在一处有围墙的地方养了一对兔子，假定每对兔子每月生一对小兔，而小兔出生后两个月就能生育。问从这对兔子（假定养的时候是小兔）开始，一年内能繁殖成多少对兔子？其结果是著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，……归纳问题（5）悟空和八戒在玩变戏法。原有一只1层布做的袋子和袋子里装着的一些桃子。戏法规则是：袋子里装的桃子等于或超过1000个时，1次变化就使3个桃子和袋子的1层布消失；袋子里装的桃子少于1000个时，1次变化就增加5个桃子和袋子的1层布。若袋子的每层布均消失，则袋子也不存在了，桃子堆放在草地上。现在，有一只1层布的袋子内装着84个桃子，那么经过若干次变化，袋子变没后，堆放在草地上的共有只桃子。周期问题（1）今天是星期四，从明天起的第1天是星期五，第二天是星期六，第天是星期几？10010费马小定理P为素数，a与p互质，则ap-1≡1(modp)P为素数，a为任意整数，则ap≡p(modp)周期问题（2）整数32008除以11的余数是。周期问题（3）下面这串数字从第5个数开始，每个数都等于它前面的3个数之和：2，0，0，8，8，16，32，56，104，…这串数中第2008个数除以6的余数是。一个基本结论递归数列：an=f(a1,a2,……an-1)值域是有限数集的递归数列必为周期数列。周期问题（4）某段铁路共铺设2008根枕木，维修工人从一端开始向另一端依次按1～5进行编号，后来又从另一端开始依次按1～6进行编号。两次编号之和恰好等于6的枕木共有根。整除和同余问题被3，9整除的整数特点。被4，25整除的整数特点。被8，125整除的整数特点。被11整除的整数特点。被7，13整除的整数特点。整除和同余问题（1）有一个六位数，各个数位上的数字互不相同且都不是0，如果这个六位数能被11整除，那么将这个六位数的六个数字重新排列，至少还能排出个能被11整除的六位数。整除和同余问题（2）老师在黑板上写了一个自然数。第一个同学说：“这个数是2的倍数。”第二个同学说：“这个数是3的倍数。”第三个同学说：“这个数是4的倍数。”……第十四个同学说：“这个数是15的倍数。”最后，老师说：“在所有14个陈述中，只有两个连续的陈述是错误的。”老师写出的自然数最小是。整除和同余问题（3）整数A=37865422×41059362×31678451的各位数字之和为B，B的各位数字之和为C，C的各位数字之和为D。那么D=。整除和同余问题（4）整数A=44444444的各位数字之和为B，B的各位数字之和为C，C的各位数字之和为D。那么D=。整除和同余问题（5）有9个小朋友围成一圈，按顺时针方向依次编为1～9号。现在按如下的方法给他们发