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ThunderPage11.任一个三位数连续写两次得到一个六位数.试证：这个六位数能同时被7、11、13整除.2.证明：任何两个自然数的和、差、积中，至少有一个数能被3整除.3.某个七位数2000□□□能同时被1、2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么最后三位是什么？4.在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。5.求能被26整除的所有六位数(x1991y)。6.两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？7.已知两个自然数的积是5766，它们的最大公约数是31.求这两个自然数。8.已知两个自然数的和是54，并且它们的最小公倍数与最大公约数之间的差为114，求这两个数。9.将一块长3.57米、宽1.05米、高0.84米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块.问当正方体的边长是多少时，用料最省且小木块的体积总和最大？（不计锯时的损耗，锯完后木料不许有剩余）10.写出小于20的三个自然数，使它们的最大公约数是1，但其中任意两个数都不互质。数的整除参考答案：1.提示：该数能被1001整除2.略3.8，8，04.8650205.819910、119912、719914和619918排大小:在数学小组活动的时候，张老师出示4张卡片，每张卡片上各写着一个分数，这4个分数是：张老师说：“谁能迅速、正确地把它们从小到大排列起来？”分析与解这是一道比较分数大小的题目。一般情况下，对于分母不同的分数，可以通分或把分数化成小数后再比较它们的大小。但是不难看出，这几个分数，无论是通分或化成小数，都是很麻烦的。如果你认真观察这几个分数，就可以发现它们有这样一个共同的特点，即每个分数的分子都比分母少2。这样就可以找到一个新的比较方法：ThunderPage2（注：上面倒数第二个不等式，因为分子相同，分母越大，这个分数就越小）小学组第60题。石家庄张硕、商世平提供。推荐理由：估算能力要求较高，这在竞赛中十分重要。在数30，3，0.3和0.03中，最接近算式计算结果的数是哪一个？被除数约为300的5次方；除数约为30乘400的4次方．约等于８１０／２５６，更接近于３。故答案为３。2004乘以自然数a得到一个平方数，求a的最小值。解答：一个平方数的相同质因数的个数一定是偶数。2004*a=2*2*3*167*a其中质数2有偶数个质数3和167有奇数个所以a=3*167=501个求一个能被11整除的，首位数字是7，其余各位数字各不相同的最小六位数。一个数如果奇数位上数的和减去偶数位上数的和的差，能被11整除，这个数就能被11整除，701239符合条件。题目来自学生家长送我的一本书，白皮的，全名《2007培训交流练习册(内部使用)》，“华杯赛”组委会办公室2007年出品。以下几个题目我在做的过程中发现不错，摘录出来，和大家共享。ThunderPage31。小学组第53题。福州郑应文供题。推荐理由：最笨的办法也能解决，但如果方法恰当，整个过程就很节省。证明：任意3个自然数，通过适当的四则运算，一定可以得到末位为0的数。2。小学组66题。都江堰陈子红提供。推荐理由：逻辑思维能力要求较高，很有意思。缺点：有现成的结论，希望大家不要去套那个结论。求一个6位数，它乘以2、3、4、5、6后仍是由原六位数的六个数字组成的六位数。第一题:看看这种方法考虑mod10只讨论个位数:1,2,3,4,5,6,7,8,9,0首先排除5和0,即:个位数一定不能是5和0,因为其它两个数不能有偶数,也不能同时是奇数,这两种情况与5合作肯定会出0的.现在还剩下:1,2,3,4,6,7,8,9也可以写成1,2,3,4，-4,-3,-2,-1考虑代数和，例如加-3想当于减3，减-3想当于加3，问题相当于在1,2,3,4这四个数中任取三个都可以形成0或个位数为0的,这个显然成立，所以上述命题得到证明.第二题：142587首先假设所求六位数表示为abcdef根据题意可知a,b,c,c,d,e,f是互不相等的6个数字，且都不为0，其中最高位a=1。由abcdef*5的结果末位不为0得a,b,c,c,d,e中有一个为5，并且f是奇数。但f不为5（因为abcde5乘以2，4，6结果末位都是0）。那么f=3或7或9。在分别乘以1，2，3，4，5，6看看末位数字：3*3，6，9，2，5，8（6个不同数字，这还没算1）7*7，4，1，8，5，2（包括1有6个不同数字）9*9，8，7，6，5，4（6个不同数字，这还没算1）所以f=7。且这6个数字为1，2，4，5，7，8因为1bcde7乘以2是2****4，而乘以3是4****1，所以b=4。即14cde7。那么14cde7乘以2是28cde4，所以c=2。即142de7。那么只有两中情况：142587（舍弃）；因为142587*3=427761或142857（正确）。所以142857是唯一的解。证明：任意3个自然数，通过适当的四则运算，一定可以得到末位为0的数。ThunderPage4我把题目的情况减少到讨论32种情况，如果以下32种情况一旦成立那么题目就证明了：而这32种很快就知道是可以的：他们分别是：1（24、26、48、68）2（13、17、39、79）3（24、26、48、68）4（13、17、39、79）5（24、26、48、68）6（13、17、39、79）9（24、26、48、68）8（13、17、39、79）理由：考虑这三个数的各位（设各位分别为，a,b,c)一、当其中的2个或者3个相等时：只要相等的相乘再乘第三个末尾就出0二、当a,b,c都不相同时：（1）有a=0时，a*b*c的末尾一定为0（2）有a=5时，另外2个数字有3种情况：偶偶奇奇偶奇偶偶时：5*偶偶末尾一定0；奇奇时：5*（奇+奇）末尾一定0偶奇时：5*（偶*奇）末尾定为0（3）无0和5时候：那么个位只可能是（1379）或者（2468）（a）全奇数：共C（4，2）=6种可能，任意三个中必有2个之和等于10，再乘第三个末尾一定0；全偶数的情况跟全奇数一样的。（b）（奇偶偶）和（偶奇奇）的情况：1（24、26、48、68）2（13、17、39、79）3（24、26、48、68）4（13、17、39、79）5（24、26、48、68）6（13、17、39、79）9（24、26、48、68）8（13、17、39、79）就是一开始我给出来的。本来奇偶偶还有2，8跟4，6情况（因为和为10就没必要了）；偶奇奇还有1，9和3，7情况和也为10也没必要综合上面的情况：命题成立题目：一个九位数，由1-9九个数字组成（不能重复），要求前N（N为1-9的整数）位数组成的N位数能够被N整除，求此九位数。解答：1。确定偶数位上的数字必为偶数，因此奇数位上的数字必为奇数；第五位是5。2。因为前三位数组成的三位数是奇数，乘以10（构成四位数）之后无法被4整除，因此第四位不能够是4或者8，即只能在2和6之间作选择。ThunderPage5????同样道理，前七位数组成的七位数是奇数，乘以10（构成八位数）之后无法被8整除，因此第八位不能够是8。3。因为前三位数组成的三位数能够被3整除，乘以1000（构成六位数）之后能够被6整除，所以仅考虑由第四、五、六位数组成的三位数是否能够被6整除即可，得出该三位数为258或者654。此时，前六位数组成的六位数是偶数，乘以100（构成八位数）之后能够被8整除，因此第七、八位数组成的两位数必须能够被8整除。下面分情况进行讨论：3-1。第四、五、六位分别为2、5、8：此时，第七、八位数组成的两位数只能是16或者96，即第八位是6，第七位是1或者9。因此，第二位是4，前三位组成的三位数只能是147或者741，即前七位组成的七位数是1472589或者7412589，二者均无法被7整除，无法得出正确结果。3-2。第四、五、六位分别为6、5、4：此时，第八位是2，第二位是8；第七、八位数组成的两位数只能是32或者72，即第七位是3或者7。4。前三位数目前有六种可能：183、189、381、789、981、987。由于仅3816547能够被7整除，故得到最终答案。答案：381654729。要把奇形怪状、大小不一的东西转移是一件麻烦的事，但把它们集中在一个邮包里寄走就省事多了．这种用邮包运东西的方法就称为整体思维．学习数学也不例外，有些题按照常规方法求得解比较麻烦，这时我们可以将某一条件（或问题）看着一个整体，这样往往可以收到事半功倍的效果，近年的中会考题屡见不鲜．１、利用整体思维，简化运算过程有些数学题，根据题目的特点，避开繁冗的运算，利用整体代入，就能算得又快又准确，出奇制胜．例１已知：ｘ２＋ｘ－１＝０，求代数式２ｘ３＋４ｘ２＋３的值．分析：此题若先求出ｘ２＋ｘ－１＝０的根再直接代入，计算过程相当繁杂，但把所求的代数式变形，运用整体代入法，则妙趣横生．解１：∵ｘ２＋ｘ－１＝０∴ｘ２＋ｘ＝１∴２ｘ３＋４ｘ２＋３＝２ｘ（ｘ２＋ｘ）＋２ｘ２＋３＝２（ｘ２＋ｘ）＋３＝５解２：∵ｘ２＋ｘ－１＝０∴ｘ２＋ｘ＋１＝２∴ｘ３－１＝２（ｘ－１），即ｘ３＝２ｘ－１∴２ｘ３＋４ｘ２＋３＝２（２ｘ－１）＋４ｘ２＋３＝４（ｘ２＋ｘ－１）＋５＝５点评：要想准确、迅速的解答化简（或计算）求值题，必须认真审题，对于任何一个具体的问题都必须在真正理解题意，弄清题目要考查的对象时才能目标明确，有的放矢的去解答它．ThunderPage6例２把２０以内的质数分别填入□中（每个质数只用一次）Ａ＝□＋□＋□＋□＋□＋□＋□□，使Ａ是整数，Ａ最大是多少？分析：此题如果把８个质数轮流放一个在分母上，其余７个填到分子□中，逐一计算，再作比较，那就很复杂了．式中的分子是７个质数之各，先从整体上考虑这８个质数之和２＋３＋５＋７＋１１＋１３＋１７＋１９＝７７，再考虑Ａ与这８个质数之和有什么关系？解：设分母的质数为ｘ，则Ａ＝７７－ｘｘ＝７７ｘ－１要使Ａ是整数，ｘ只能是７７的质因数，故ｘ只能是７或１１，要使Ａ最大，则ｘ应取７，这时Ａ的最大值是１０．点评：本题中分子、分母的关系特殊，分子上各数又是只作一种运算，所以就应采用比较特殊的方法，避开繁杂的计算，从而轻松愉快的求解它．２、利用整体思维，发现解题方法有些数学题初看起来，无法下手，但如果认真分析题目结构，利用整体思维，发现解题方法．例３分解因式：（ｘ２＋５ｘ－３）（ｘ２＋５ｘ＋１）－２１分析：若把二次三项式ｘ２＋５ｘ－３与ｘ２＋５ｘ＋１相乘，则将得到一个四次多项式，这时再分解因式就十分困难，但若把ｘ２＋５ｘ－３（或ｘ２＋５ｘ）视为一个整体，即把ｘ２＋５ｘ－３看作一个新的变元ｔ，原式就变形为关于ｔ的二次多项式，问题就迎刃而解了．解：设ｘ２＋５ｘ－３＝ｔ，则ｘ２＋５ｘ＋１＝ｔ＋４原式＝ｔ（ｔ＋４）－２１＝ｔ２＋４ｔ－２１＝（ｔ＋７）（ｔ－３）再将ｔ＝ｘ２＋５ｘ－３代入，得原式＝（ｘ２＋５ｘ－３＋７）（ｘ２＋５ｘ－３－３）＝（ｘ２＋５ｘ＋４）（ｘ２＋５ｘ－６）＝（ｘ＋１）（ｘ＋４）（ｘ＋６）（ｘ－１）点评：因式分解的方法很多，对某些多项式的因式分解，如果前一项的两个因式中只是常数项不同，则可将它们中的相同部分作为一个整体，用换元法降次，简化运算．例４有甲乙丙三种货物，若购甲３件，乙７件，丙１件共需３．１５元；若购甲４件、乙１０件、丙１件共需４．２０元．问甲、乙、丙各１件共需几元？分析：设甲、乙、丙三种货物的单价分别为ｘ元、ｙ元、ｚ元，根据题意得：３ｘ＋７ｙ＋ｚ＝３．１５①４ｘ＋１０ｙ＋ｚ＝４．２０②要求的是ｘ＋ｙ＋ｚ＝？③已知条件是三元一次不定方程组，如果分别求出ｘ、ｙ、ｚ再代入③，根本解决不了．若把ｘ＋ｙ＋ｚ看为一个整体，问题就容易多了．将方程组变形为：２（ｘ＋３ｙ）＋（ｘ＋ｙ＋ｚ）＝３．１５２（ｘ＋３ｙ）＋（ｘ＋ｙ＋ｚ）＝４．２０解之得：ｘ＋ｙ＋ｚ＝１．０５即购甲、乙、丙１件共需１．０５元．解（略）点评：在求解某些数学问题时，把一个较复杂的式子当作一个整体，根据其本身结构特征作整