小学数学难题

小学数学难题解法大全第五部分典型难题讲析（七之五）简单几何问题（五）简单几何问题1.几何图形的计数【点与线的计数】例1如图5.45，每相邻的三个圆点组成一个小三角形，问：图中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多？（全国第二届“华杯赛”决赛试题）讲析：可用“分组对应法”来计数。将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。第一排三角形有1个，其下行线有2点；第二排三角形有3个，其下行线有3点；第三排三角形有5个，其下行线有4点；以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。所以是小三角形个数多。例2直线m上有4个点，直线n上有5个点。以这些点为顶点可以组成多少个三角形？（如图5.46）（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）讲析：本题只要数出各直线上有多少条线段，问题就好解决了。直线n上有5个点，这5点共可以组成4＋3+2＋1=10（条）线段。以这些线段分别为底边，m上的点为顶点，共可以组成4×10=40（个）三角形。同理，m上4个点可以组成6条线段。以它们为底边，以n上的点为顶点可以组成6×5=30（个）三角形。所以，一共可以组成70个三角形。【长方形与三角形的计数】例1图5.47中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点，以其中不在一条直线上的3点为顶点，可以构成三角形。在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？（全国第三届“华杯赛”复赛试题）为3的三角形，或者高为2，底为3的三角形，都符合要求。①底边长为2，高为3的三角形有2×4×4=32（个）；②高为2，底边长为3的三角形有8×2=16（个）。所以，包括图中阴影部分三角形共有48个。例2图5.48中共有______个三角形。（《现代小学数学》）邀请赛试题）讲析：以AB边上的线段为底边，以C为顶点共有三角形6个；以AB边上的线段为底边，分别以G、H、F为顶点共有三角形3个；以BD边上的线段为底边，以C为顶点的三角形共有6个。所以，一共有15个三角形。例3图5.49中共有______个正方形。（《现代小学数学》邀请赛试题）讲析：可先来看看图5.50的两个图中，各含有多少个正方形。图5.50（1）中，正方形个数是6×3＋5×2＋4×1=32（个）；图5.50（2）中，正方形个数是4×4+3×3+2×2＋1×1=30（个）如果把图5.49中的图形，分成5×6和4×11两个长方形，则：5×6的长方形中共有正方形5×6+4×5＋3×4＋2×3＋1×2=70（个）；4×11的长方形中共有正方形4×11+3×10+2×9＋1×8=100（个）。两个长方形相交部分4×5的长方形中含有正方形4×5+3×4＋2×3＋1×2=40（个）。所以，原图中共有正方形70＋100-40=130（个）。例4平面上有16个点，排成一个正方形。每行、每列上相邻两点的距离都相等[如图5.51（1）]，每个点上钉上钉子。以这些点为顶点，用线将它们围起来，一共可围成______个正方形。（《小学生科普报》奥林匹克通讯赛试题）讲析：能围成图5.51（2）的正方形共14（个）；能围成图5.51（3）的正方形共2（个）；能围成图5.51（4）的正方形共4（个）。所以，一共可围成正方形20个。【立体图形的计数】例1用125块体积相等的黑、白两种正方体，黑白相间地拼成一个大正方体（如图5.52）。那么，露在表面上的黑色正方体的个数是_______。（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：本题要注意不能重复计数。八个顶点上各有一个黑色正方体，共8个；每条棱的中间有一个黑色正方体，共12个；除上面两种情况之外，每个面有5个黑色正方体，共5×6=30（个）。所以，总共有50个黑色正方体露在表面上。例2把1个棱长为3厘米的正方体分割成若干个小正方体，这些小正方体的棱长必须是整数。如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么，最少可以分割成______个小正方体。（北京市第九届“迎春杯’小学数学竞赛试题）讲析：若分成｜×××｜的小正方体，则共可分成27个。但是分割时，要求正方体尽可能地少，也就是说能分成大正方体的，尽可能地分。则在开始的时候，可分出一个2×2×2的正方体（如图5.53），余下的都只能分成1×1×1的正方体了。所以，最少可分成20个小正方体。2.平面图形的计算【周长的计算】例1有9个同样大小的小长方形，拼成一个大长方形（如图5.54）的面积是45厘米2，求这个大长方形的周长。（第四届《小学生数学报》邀请赛决赛试题）讲析：设每个小长方形的长是a厘米，宽是b厘米。于是有a×b=45÷9＝5；又有：4a=5b。可求得b=2，a=2.5。所以大长方形的周长为6a＋7b=29（厘米）。例2图5.55中图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个如图（3）所示的小长方形，斜线区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多6厘米，问：图（1），图（2）中画斜线的区域的周长哪个大？大多少？（全国第四届“华杯赛”决赛试题）讲析：图5.55（1）中画斜线区域的周长恰好等于大长方形的周长，图5.55（2）中画斜线区域的周长明显比大长方形周长小。二者相差2·AB。从图5.55（2）的竖直方向看，AB＝a－CD图5.55（2）中大长方形的长是a＋2b，宽是2b＋CD，所以，（a+2b）-（2b＋CD）=a-CD=6（厘米）故：图5.55（1）中画斜线区域的周长比图5.55（2）中画斜线区域的周长大，大12厘米。【面积的计算】例1如图5.56，长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三角形ABC的面积是______。（北京市第十届“迎春杯”小学数学竞赛试题）讲析：连结AE（如图5.57），则三角形AEC的面积是16÷2-4=4。因为△ACF与△AEC等高，且面积相等。所以，CF=CE。同理，△ABE的面积是16÷2-3=5，则BD∶BE=3∶5。即BE=从而，△ABC的面积是16-（3＋4+2.5）=6.5。例2如图5．58，在等边三角形ABC中，AF=3FB，FH垂直于BC，已知阴影部分的面积为1平方厘米，这个等边三角形的面积是多少平方厘米？（1992年武汉市小学数学竞赛试题）讲析：如图5.59，连接△ABC各边中点，则△ABC被分成了大小相等的四个小三角形。在△DBG中，再连接各边中点，得出将△DBG又分成了四个很小的三角形。经观察，容易得出△ABC的面积为（1×2）×4×4=32（平方厘米）。例3三条边长分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形如图5.60（1），将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合如图5.60（2）。那么，图5.60（2）中阴影部分（即未被盖住部分）的面积是______平方厘米。（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）讲析：如图5.60（2），设EC等于a厘米，那么DE也为a厘米。△ABC的面积等于△ABE的面积加上△AEC的面积。例4如图5.61，ABCD是一个梯形，已知三角形ABD的面积是12平方厘米，三角形AOD的面积比三角形BOC的面积少12平方厘米，那么梯形ABCD的面积是______平方厘米。（广州市小学数学竞赛试题）讲析：可设△AOD的面积为S1。则，△BOC的面积为S1＋12。于是有：S△ABO=S△ABD-S△AOD＝12-S1，S△ABC=S△ABO+S△BOC=（12-S1）＋（S1＋12）=24（平方厘米）。所以，梯形ABCD的面积是24+12=36（平方厘米）。例5梯形ABCD被两条对角线分成了四个三角形S1、S2、S3、S4。已知S1=2厘米2，S2=6厘米2。求梯形ABCD的面积。（小学数学奥林匹克通讯赛决赛试题）讲析：三角形S1和S2都是等高三角形，它们的面积比为2∶6=1∶3；则：DO∶OB=1∶3。△ADB和△ADC是同底等高三角形，所以，S1=S3=2厘米2。三角形S4和S3也是等高三角形，其底边之比为1∶3，所以S4∶S3=1∶所以，梯形ABCD的面积为例6正方形边长为20厘米（如图5.63），已知DD′=EE′，CE=6厘米。则阴影部分三角形的面积最大值是______平方厘米。（海口市小学数学竞赛试题）讲析：E′点在BE段滑动，D′点在DC段滑动。设DD′长a厘米。D′C=20-a，E′C=a＋6。又因为D′C＋E′C=（20-a）＋（a＋6）=26。运用等周长的长方形面积最大原理，两个数的和一定（等于26），要把这个和分成两个数，使这两个数的积最大，则当20-a=a＋6=13时，即a=7=84.5（平方厘米）。例7图5.64是一个正方形，图中所标数字的单位是厘米。问：阴影部分的面积是多少平方厘米？（全国第四届“华杯赛”决赛试题）讲析：如图5.65，连接AC，所分成的四个小三角形分别用S1、S2、S3、S4表示。容易看出S2和S3是关于OC为对称轴的对称图形。所以S2=S3。从而不难得出S1、S2、S3、S4四个小三角形面积相等，即每个小三角例8一个正方形（如图5.66），被分成四个长方形，它们的面积在图中标出（单位：平方米）。图中阴影部分是一个正方形。那么，它的面积是______。（1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：可将四个长方形分别用A、B、C、D表示（如图5.67），阴影部分是B中的一部分。大正方形的面积为1平方米，所以它的边长为1米。因为长方形C和D的宽相等，所以它们长的比等于面积比。于是得C的米。例9把大的正三角形每边8等分，组成图5.68所示的三角形网。如果每个小三角形面积是1，那么图中粗线围成的三角形面积是______。（1988年北京市奥林匹克邀请赛试题）讲析：一般地，关于格点多边形的面积，有下面的公式：这里，格子面积等于小正方形或平行四边形面积，也就是小三角形面积的2倍。题中，格子面积为1×2=2，内部格点数为12，边上格点数为4。所以，粗线围成的面积是3.立体图形的计算【表面积的计算】例1一个正方体木块，棱长1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大小不等的长方体60块（如图5.69）。那么，这60块长方体的表面积的和是平方米。（1988年北京小学数学奥林匹克邀请赛试题）讲析：不管每次锯的长方体大小如何，横着锯2次一共增加了4个正方形面；前后竖直方向锯3次共增加了6个正方形面；左右竖直方向锯4次共增加了8个正方形面。原来大正方体有6个正方形面，所以一共有24个正方形面。所以，60块长方体的表面积之和是（1×1）×24＝24（平方米）。例2图5.70是由19个边长都是2厘米的正方体重叠而成的。求这个立体图形的外表面积。（北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题）讲析：如果按每一层有多少个正方体，然后再数出每层共有多少个外表面正方形，则很麻烦。于是，我们可采用按不同的方向来观察的方法去计算。俯视，看到9个小正方形面；正视，看到10个小正方形面；侧视，看到8个小正方形面。所以，这个立体图形的表面积是（2×2）×[（9＋10＋8）×2]=216（平方厘米）。【体积的计算】例1一个正方体的纸盒中恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱体，如图5.71，纸盒的容积有多大？（π取3.14）（全国第四届“华杯赛”复赛试题）讲析：因圆柱体的高、底面直径以及正方体的棱长都相等。故可设正方即：正方体纸盒的容积是800立方厘米。例2在一个棱长4厘米的正方体的上面、右面、前面这三个面的中心分别挖一个边长1厘米的正方形小孔（如图5.72所示），并通过对面，求打孔后剩下部分的体积。（北京市第二届“迎春杯”小学数学竞赛试题）。讲析：打完孔之后，在大正方体正中央就有一个1×1×1的空心小正方体。三个孔的体积是（1×1×4）×3-（1×1×1）×2=10（立方厘米）。所以，打孔后剩下部分的体积是4×4×4—10=54（立方厘米）。例3一个长、宽、高分别是21厘米、15厘米、12厘米的长方体，从它的上面尽可能大地切下一个正方体，然后从剩余部分中再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多