4单元与插值函数2

Chap.4单元与插值函数•用以构造单元插值函数规范化形式的两类自然坐标的建立方法和特点。•构造单元插值函数的两类方法（广义Lagrange插值函数法和变结点插值函数法）的步骤和特点。•阶谱单元的基本概念和特点，以及它的插值函数的构造方法和意义。•用以构造单元插值函数规范化形式的两类自然坐标的建立方法和特点。•构造单元插值函数的两类方法（广义Lagrange插值函数法和变结点插值函数法）的步骤和特点。•阶谱单元的基本概念和特点，以及它的插值函数的构造方法和意义。本章重点和应掌握的内容本章重点和应掌握的内容第4章关键概念自然坐标面积坐标体积坐标Lagrange单元Serendipity单元阶谱单元广义Lagrange法变结点法第4章复习题1.从几何形状和连续性要求上区别,有限元法中各有哪几种类型的单元?2.有限元的插值函数为什么通常采用坐标的幂函数?3.什么是自然坐标?为什么通常要在自然坐标内建立插值函数?4.如何定义面积坐标和体积坐标?采用它们有什么方便之处和应注意之处?5.什么是构造单元插值函数的广义Lagrange法?用它构造插值函数的具体步骤是什么?6.什么是构造单元插值函数的变结点法?用它构造插值函数的具体步骤是什么?7.比较上述两种方法的优缺点,如何根据单元的具体情况选择采用它们?8.什么是Lagrange单元?什么是Serendipity单元?比较两种单元的各自特点.9.什么是阶谱单元?它的结点变量和插值函数相对通用的标准型单元有何好处?10.如何在有限元分析中采用阶谱单元?相对于通用的标准型单元有何好处?§§4.14.1概述概述问题：利用广义坐标，建立有限单元法的插值函数方法繁琐，形成的单元矩阵复杂。必须注意：插值函数的构成不取决于求解的微分方程式，插值函数构造方法仅取决于：几何图形（单元形状）、结点数量与位置以及在单元结点处规定的因变量的数量。Chap.4单元与插值函数高次三角形单元可以借助高次三角形单元可以借助pascalpascal三角形三角形((杨辉三角杨辉三角))系统的求解。系统的求解。1）二次单元（平面问题：6个结点，12个自由度)利用利用66个结点坐标个结点坐标xxii,y,yii((i=1,2i=1,2……6)6)求解广义坐标。求解广义坐标。Chap.4单元与插值函数§§4.24.2三角形单元三角形单元[]T1211,,~ββββ=[]22yxxyyx1~=φ223223432234543223451xyxxyyxxyxyyxxyxyxyyxxyxyxyxyy2）三次单元（三角形)1010个结点个结点**2=202=20自由度自由度xxii,y,yii((i=1,2i=1,2……10)10)即广义坐标的个数为即广义坐标的个数为2020计算量大、繁琐。计算量大、繁琐。Chap.4单元与插值函数[]T2011,,~ββββ=φ⎡⎤=⎣⎦2232231~xyxyxyxxyxyy223223432234543223451xyxxyyxxyxyyxxyxyxyyxxyxyxyxyy1.面积坐标（三角形单元）面积坐标的定义：三角形内任一点P,可表示为：其中1.1.面积坐标（三角形单元）面积坐标（三角形单元）面积坐标的定义：三角形内任一点面积坐标的定义：三角形内任一点P,P,可表示为：可表示为：其中其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=AA,AA,AAPmji的面积表示PjmAiΔ的面积表示PmiAjΔ的面积表示PijAmΔChap.4单元与插值函数令：令：即：即：的高的高AAAALiiiΔΔ==AALjj=AALmm=[]mjiL,L,LP=称为面积坐标mjiL,L,LChap.4单元与插值函数2.面积坐标的性质1)与j-m边平行线上的三角形内点有相同的值Li2)角点坐标为3)形心的坐标为4)每边的方程为：5)三个坐标不是独立的，只有两个独立的坐标。2.2.面积坐标的性质面积坐标的性质1)1)与与jj--mm边平行线上的三角形内点有相同的值边平行线上的三角形内点有相同的值LLii2)2)角点坐标为角点坐标为3)3)形心的坐标为形心的坐标为4)4)每边的方程为：每边的方程为：5)5)三个坐标不是独立的，只有两个独立的坐标。三个坐标不是独立的，只有两个独立的坐标。Chap.4单元与插值函数)1,0,0(m),0,1,0(j),0,0,1(i)31,31,31(0Lmji=−边：0Limj=−边：0Ljim=−边：1LLLmji=++3.面积坐标与直角坐标的转换关系3.3.面积坐标与直角坐标的转换关系面积坐标与直角坐标的转换关系Chap.4单元与插值函数mmjjiiyx1yx1yx121A=)ycxba(A21AALiiiii++==mmjjiyxyxa=miiy1y1b−=mjix1x1c=)ycxba(21yx1yx1yx121Aiiimmjji++==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧yx1cbacbacbaA21LLLmmmjjjiiimji接上：∴接上：接上：∴∴Chap.4单元与插值函数mmjjiimmjjiiLyLyLyyLxLxLxx++=++=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧mjimjimjiLLLyyyxxx111yx1⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧yx1cbacbacbaA21LLLmmmjjjiiimjimmjjiyxyxa=miiy1y1b−=mjix1x1c=由于以上两种坐标变换是线性变换：所以，面积坐标表示的多项式直角坐标中的同阶多项式。由于以上两种坐标变换是线性变换：由于以上两种坐标变换是线性变换：所以，所以，面积坐标表示的多项式面积坐标表示的多项式直角坐标中的直角坐标中的同阶多项式。同阶多项式。Chap.4单元与插值函数4.4.面积坐标的微积分计算面积坐标的微积分计算1)1)导数计算（复合函数求导）导数计算（复合函数求导）同理：同理：Chap.4单元与插值函数)LbLbLb(A21xLLxLLxLLxmmjjiimmjjii∂∂+∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂)LcLcLc(A21ymmjjii∂∂+∂∂+∂∂=∂∂4.4.面积坐标的微积分计算面积坐标的微积分计算2)2)积分计算积分计算面积积分：面积积分：例：例：Chap.4单元与插值函数A2)!2(!!!dxdyLLLmjAi+++=∫∫γβαγβαγβα3AA2)!2001(!0!0!1dxdyLAi=+++=∫∫6AA2)!2002(!0!0!2dxdyLA2i=+++=∫∫ji12AA2)!2011(!0!1!1dxdyLLjAi≠=+++=∫∫如，均质等厚单元的自重问题如，均质等厚单元的自重问题Chap.4单元与插值函数⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∫∫tA310tdxdyN0tdxdy0NNPPPeeiiiiyixi~ρρρΩΩρ线积分（三角形的某一条边线积分（三角形的某一条边ii--jj边上，边长为边上，边长为））注注：此处不能有：此处不能有，，∵∵在在ii--jj边上，边上，Chap.4单元与插值函数l)!1ba(!b!adsLLlbjai++=∫0Lm=mL5.5.用面积坐标给出单元插值函数（三角形高次单元）用面积坐标给出单元插值函数（三角形高次单元）1)1)线性单元：（三结点三角形单元）线性单元：（三结点三角形单元）Chap.4单元与插值函数3,2,1iLNii==2)2)研究一个每边有研究一个每边有kk个结点（等间距）的高次单元个结点（等间距）的高次单元a)a)单元中结点的总数为单元中结点的总数为且插值函数的次数等于且插值函数的次数等于kk--11对二次单元有对二次单元有kk--11＝＝22和和n=6n=6..由图类推：由图类推：PP为为(0,1,(0,1,……kk--1)1)Chap.4单元与插值函数1...)1k(k)ik(n1k0i++−+=−=∑−=1s,0s,1kps1k0p==−=−b)b)插值函数有插值函数有例：例：n=3,n=3,即单元结点数等于即单元结点数等于33，一次三角形单元，，一次三角形单元，对于结点对于结点11：：同理：同理：Chap.4单元与插值函数)SS)...(SS)(SS()SL)...(SL)(SL(N2k1k11k01k2ki1i0ii−−−−−−−−−−−=1S,0S10==1101011L1LSSSLN==−−=3322LNLN==例例当当n=6n=6时，每边有时，每边有33个结点，个结点，k=3k=3同理有：同理有：Chap.4单元与插值函数1,21,0210===SSS)1L2(L2121L1LSSSLSSSLN1111121102011−=−=−−−−=)1L2(LN)1L2(LN333222−=−=21214LL40210L0210LN=−−−−=215215LL4N,LL4N==一一..LagrangeLagrange插值多项式：插值多项式：1.1.nn个结点构造个结点构造nn--11次次LagrangeLagrange插值多项式插值多项式注：注：1)1)结点结点ii的插值函数的插值函数,2),2)ξξii为第个为第个ii结点坐标结点坐标,3),3)ξξ为自然坐标为自然坐标即：即：为结点当为结点当nn--11次插值函数。次插值函数。i=1,2i=1,2……nnChap.4单元与插值函数§§4.34.3自然坐标内单元插值函数当构造（自然坐标内单元插值函数当构造（CC00））∏≠=+−+−−−−=−−−−−−−−−−=nik1kkikni1ii1ii2i1in1i1i21)1n(i)()())...()()...()(())...()()...()(()(lξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξ)(l)1n(iξ−2.2.的性质的性质i=1,2i=1,2……nn1)n1)n--11次插值函数次插值函数,,共有共有nn个个2)2)3)3)Chap.4单元与插值函数)(l)1n(iξ−⎩⎨⎧≠==−ji0ji1)(lijj)1n(iδξ1)(l)1n(in1i=−=∑ξ3.3.构造一维单元插值函数：构造一维单元插值函数：a.Lagrangea.Lagrange线性插值线性插值((n=2)n=2)或记为：或记为：Chap.4单元与插值函数)1(21)1(21)1(21)()()(l0121211ξξξξξξξξξ+=+=−=−−=)1(21)1(21)1(21)()()(l0212112ξξξξξξξξξ+=+=+=−−=)1(21)(1ξξξiil+=Chap.4单元与插值函数11()(1)2iilξξξ=+即：即：111()(1)2lξξ=−121()(1)2lξξ=+b.b.二次二次LagrangeLagrange插值插值((n=3)n=3)Chap.4单元与插值函数)1(21)1(21))(())(()(l1131213221ξξξξξξξξξξξξξξξ+=−−=−−−−=)1(21)1(21)(l3323ξξξξξξξ+=+=)1()(l222ξξ−=二二..二维、三维二维、三维LagrangeLagrange单元族：单元族：1.1.二维情况二维情况单元结点：单元结点：ξξ方向方向n+1n+1个点个点nn阶插值函数阶插值函数ηη方向方向m+1m+1个点个点mm阶插值函数阶插值函数1)1)插值函数：（一般情况）插值函数：（一般情况）很明显，有：很明显，有：可证明：可证明：Chap.4单元与插值函数)(lnIξ)(lmJη)(l)(lNmJnIIJηξ=1),(NIJ1m1J1n1I=∑∑+=+=ηξJsIrsmJrnIsrIJ)(l)(l),(Nδδηξηξ==常用当有：一次单元、二次单元常用当有：一次单元、二次单元2).2).一次单元一次单元44结点单元（矩形）结点单元（矩形）双线性双线性LagrangeLagrange这里插值函数以结点编号，而不是两个方向。原这里插值函数以