大学固体物理习题

第1页（共9页）一、简述题玻恩-冯卡门边界条件格林艾森常数7个晶系布洛赫定理立方晶系的所有对称操作一维、二维、三维情况下的电子态密度。维格纳-赛茨元胞电离能价带导带石墨各化学键类型色散关系初基元胞一维、二维、三维情况下的声子态密度。能带德拜模型爱因斯坦模型14种点阵第一布里渊区近自由电子近似有效质量紧束缚近似亲和能绝热近似第2页（共9页）二、证明题1、证明一维单原子链所有的独立模式构成正交完备集。证：完备性自己补充2、有N个相同原子组成的面积为S的二维晶格，证明在低温极限比热正比与2T。证明：在k到kdk间的独立振动模式对应于平面中半径n到ndn间圆环的面积2ndn，且25222Lndnkdkkdk232sdv（233220//222220333212121mDDBBxBBBBkTkTxDDdskTskTkTkTsdxdxEEveveve20,()vsETETCTT3时，第3页（共9页）3、证明在倒易空间中当k落于一倒格矢hK的垂直平分面上时，发生布拉格反射。证明：如图所示当k落于一倒格矢的垂直平分面上时，有，2sinsin2hKk，又22hhd==KnK，得布拉格反射公式：2sindn。4、证明在晶体中不存在5次旋转轴。证明：对于AB如果绕A转θ将B转到B’或者绕B将A转到A’点。转动θ角是晶体的一个对称操作，所以A’和B’也是晶体中的结点。所以有B'A'nBA（n取整数）由几何关系''2cos()BAABAB(12cos)AB由此可见n=1-2cos由于1cos1，所以n只能取-1,0,1,2,3对应的θ分别为0（2），26，24，23，22。三、计算题ABA’B’θθ第4页（共9页）1、求边长为a二维正方晶格的倒点阵，并画出其第一、第二布里渊区。解：二维正方点阵基矢123aaiaajak其倒点阵基矢为231232()22aabiabjabk，倒点阵为边长2a的正方点阵。其布里渊区如图所示，红色为第一布里渊区，绿色为第二布里渊区。2、对于2H，从气体的测量得到Lennard—Jones参数为65010,2.96.JA计算fcc结构的2H的结合能[以KJ/mol单位)，每个氢分子可当做球形来处理．结合能的实验值为0.751kJ／mo1，试与计算值比较．解：以2H为基团，组成fcc结构的晶体，如略去动能，分子间按Lennard—Jones势相互作用，则晶体的总相互作用能为：1261262.ijijijUNPPRR61214.45392;12.13188,ijijjiPP16235010,2.96,6.02210/.ergANmol12628162.962.962602210/501012.1314.452.55/.3.163.16UUmolergKJmol0将R代入得到平衡时的晶体总能量为。3、设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有20()qAq，求解其态密度。解：依据3()2,()()2qqVdsqAqfq，并带入上边结果有第5页（共9页）1/21/20031/2223/20114222VAVAA。4、用紧束缚近似计算面心立方晶格最近邻近似下s态电子能带以及k=0附近的有效质量。解：001iEkEJJesskRR面心立方最近邻有十二个原子，其Rs位置在220202022aaaaaakji将这些Rs代入上式并简化可得：2cos2cos2cos2cos2cos2cos4100akakakakakakJJEkExzzyyx在k＝0附近，xk，yk，zk，均很小，利用21cos2xx，（x1,则得2222221002211221122112211221122114akakakakakakJJEkExzzyyx故222210024zyxkkkaJJEkE由于aJaJkEmmiii12221222112281其余0ijm5、已知一维晶格中电子的能带可写成kakamakE2cos81cos8722，式中a是晶格常数，m是电子的质量，求（1）能带的宽度，（2）在带顶和带底的电子的有效质量。第6页（共9页）解：能带宽度为minmaxEEE，由极值条件0dkkdE，得0cossin21sin2sin41sinkakakakaka上式的唯一解是0sinka的解，此式在第一布里渊区内的解为ak或0当k＝0时，kE取极小值minE，且有00minEE当ak时，kE取极大值maxE，且有22max2maaEE由以上的可得能带宽度为22minmax2maEEE（2）带顶和带底电子的有效质量分别为mkakamkEmakakak322cos21cos122212200201coscos222kkmmkakamEk6、计算晶格常数为a，质量为m，恢复系数为的二维点阵，其原子的振动方向垂直于晶格平面，求其色散关系。解：仅考虑最近邻原子的作用有2,1,1,,,1,1,2(2)(2)lmlmlmlmlmlmlmdumuuuuuudt设坐标为(l,m)原子的运方程为().xyiqlaqmatlmuAe带入得2(2)(2)yyxxiqaiqaiqaiqameeee色散关系222coscosxyqaqam第7页（共9页）7、设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势为arbrerU2，b为待定常数，平衡间距mr100103，求线膨胀系数。解：由书上（3.114）式知，线膨胀系数0243rfgkB其中：02221rdrUdf，033!31rdrUdg由平衡条件091002020rbredrdUr8029reb302110302429022rerbref，402120402352990661rerbreg由于mr80103，CGSEe1010806.4KergkB/10381.116KekrB/1046.116135208、求原子数为N晶格常数为a的一维单原子链的声子态密度。解：一维单原子链的色散关系为：12sin2qqam。214cos22dqaqaqadqmm。代入222122442LNaNdqdqamm。9、某简单立方晶体相邻原子间相互作用能可以写为mnrr，试求晶体的结合能W以及体弹性模量B。解：晶体的内能函数为2mnNUrrr第8页（共9页）平衡位置011000m+nrdUrmn-=drrr，有10nmnrm。结合能00012mmnmnNmnWUrNrrnm。体弹性模量00022022rVrUdrUBVVVdVr，带入3VNr，有B=13Nr02æèççöø÷÷2i-N2mar0m+2m-n()éëêêùûúúiNr03=-118mar0m+3m-n()=mn9V0ia21-mnæèçöø÷nbmaæèçöø÷mm-n=mn9V0U0。10、立方晶体有三个弹性模量11C，12C和44C。铝的1021110.8210CNm，102442.8510CNm，铝沿100方向传播的弹性纵波的速度11lC，横波速度44tC，Al的密度332.7010kgm。求德拜模型中铝的振动模式密度g。的质量，求（1）能带的宽度，（2）在带顶和带底的电子的有效质量。解：德拜模型中，振动模式密度为2233,2sVgVD其中，1236DsNVV，第9页（共9页）33311123sltVVV332211331144122.075103msCC所以，313.6410sVms代入D中，1236DsNVV112233131665.5610AlssAlAlNMVVradsVMM故，22332sVgV122122232.075103.1571023014VV其中，1315.5610Drads。