大学导数的应用

第3章微分中值定理与导数的应用3.1.1罗尔定理定理3.1如果函数()yfx满足：(1)在闭区间[,]ab上连续；(2)在开区间(,)ab内可导；(3)()()fafb．那么，在(,)ab内至少存在一点，使得()0f．这就是罗尔(Rolle)定理．图这个定理的几何解释如图所示，如果连续曲线()yfx在开区间(,)ab内的每一点处都存在不垂直于x轴的切线，并且两个端点A、B处的纵坐标相等，即连结两端点的直线AB平行于x轴，则在此曲线上至少存在一点(())Cf,，使得曲线()yfx在点C处的切线与x轴平行．．3.1.2拉格朗日中值定理定理3.2如果函数()yfx满足：(1)在闭区间[,]ab上连续；(2)在开区间(,)ab内可导．那么，在(,)ab内，至少存在一点，使得()()()fbfafba．（3-1）也可以写成()()()()fbfafba．这就是拉格朗日(Lagrange)中值定理．在此定理中，如果区间[,]ab的两个端点处的函数值相等，就变成了罗尔定理．也就是说，罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况．拉格朗日定理的几何解释如图3-2所示，若()yfx是闭区间[,]ab上的连续曲线弧第2章导数的应用69段AB，连接点(,())Aafa和点(,())Bbfb的弦AB的斜率为()()fbfaba，而弧段AB上某点(,())Cf的斜率为()f．定理3.2的结论表明：在曲线弧段AB上至少存在一点(())Cf,，使得曲线在点C处的切线与曲线的两个端点连线AB平行．图3-2拉格朗日定理有两个推论：推论1如果在区间(,)ab内，函数()yfx的导数()fx恒等于零，那么在区间(,)ab内，函数()yfx是一个常数．证明在区间(,)ab内任取两点1212,()xxxx，在12[,]xx上，用拉格朗日中值定理，有2121()()()()fxfxfxx12()xx．由于函数()yfx的导数()fx恒等于零，所以21()()fxfx．这说明在区间(,)ab内，函数()yfx的在任何两点处的函数值都相等．故在区间(,)ab内，函数()yfx是一个常数．推论2如果在区间(,)ab内，()()fxgx，则在区间(,)ab内，()fx与()gx只相差一个常数，即()()fxgxC(C为一常数)．证令()()()hxfxgx，则'()'()'()0hxfxgx，由推论1知，()hx为一常数，于是有()()fxgxC(C为常数)．．*3.1.3柯西中值定理定理3.3设函数()fx与函数()gx满足：(1)在闭区间[,]ab上连续；(2)在开区间(,)ab内可导；(3)在区间(,)ab内()0gx．那么，在(,)ab内，至少存在一点，使得()()()()()()fbfafgbgag．（3-2）第2章导数的应用70这就是柯西(Cauchy)中值定理．在此定理中，若()gxx，则其就变成了拉格朗日定理，说明拉格朗日定理是柯西定理的特殊情况．3.2洛必达法则重点：洛必达法则的应用。难点：洛必达法则的应用。中值定理的一个重要应用是计算函数的极限.在第一章求极限时，我们经常遇到形如当0xx(或x)时，函数()()fxgx的分子、分母都趋近于零或都趋近于无穷大的情况.对于这种函数是不能直接利用商的极限运算法则去求其极限的．极限0()()lim()xxxfxgx可能存在，也可能不存在．通常把这种极限叫做未定式，分别简记为“00”或“”型．下面介绍求这类极限的一种简便且重要的方法洛必达(L'Hospital)法则．对于“00”型的极限，有下面的法则：法则1如果函数()fx与函数()gx满足：(1)00lim()lim()0xxxxfxgx；(2)函数()fx与()gx在点0x的邻域内均可导，且()0gx；(3)0()lim()xxfxgx存在(或为无穷大)．那么00()()limlim()()xxxxfxfxgxgx．．对于“”型的极限，有下面法则：法则2如果函数()fx与函数()gx满足：(1)00lim()lim()xxxxfxgx；(2)函数()fx与()gx在点0x的邻域内均可导，且()0gx；(3)0()lim()xxfxgx存在(或为无穷大)．那么00()()limlim()()xxxxfxfxgxgx．第2章导数的应用71使用洛必达法则必须注意以下两点：（1）洛必达法则只适用于0,0未定式，其他未定式须先化成这两种类型之一，然后再用该法则；（2）洛必达法则的条件是充分的，但不是必要的，因此，该法则失效但极限仍有可能存在.有些极限虽然是未定式，但使用洛必达法则无法计算出其极限值，这时应考虑用其它方法．例如求21limxxx，两次使用洛必达法则后，又还原成原来的形式，因而洛必达法则对它失效，事实上2211limlim11xxxxx．3.3函数的单调性与极值3.3.1函数的单调性函数的单调性是函数的一个重要性态，它反映了函数在某个区间随自变量的增大而增大（或减少）的一个特征.但是，利用单调性的定义来讨论函数的单调性往往是比较困难的.本节利用导数符号来研究函数的单调性．由图3-3可以看出，当函数()yfx在[,]ab上是单调增加时，其曲线上任一点的切线的倾斜角都是锐角，因此它们的斜率都是正的，由导数的几何意义知道，此时，曲线上任一点的导数都是正值，即()fx＞0．由图3-4可以看出，当函数()yfx在[,]ab上是单调减少时，其曲线上每一点的切线的倾斜角都是钝角，因此它们的斜率都是负的，此时，曲线上任一点的导数都是负值，即()fx＜0．图3-3图3-4定理3.4设函数()yfx在(,)ab内可导，则(1)如果在(,)ab内()0fx，那么函数()yfx在(,)ab内单调增加；(2)如果在(,)ab内()0fx，那么函数()yfx在(,)ab内单调减少．注在区间内个别点处导数等于零，不影响函数的单调性．如幂函数3yx，其导数23yx在原点处为0，但它在其定义域(,)内是单调增加的．第2章导数的应用723.3.2函数的极值１．极值的概念如图3-5所示，函数在点1x的函数值比它左右近旁的函数值都大，而在点2x的函数值比它左右近旁的函数值都小，对于这种特殊的点和它对应的函数值，我们给出如下定义：定义3.1设函数()fx在区间(,)ab内有定义，0x是(,)ab内的一个点．(1)如果对于点0x近旁的任一点0()xxx，都有0()()fxfx，那么称0()fx为函数()fx的一个极大值，点0x称为()fx的一个极大值点．(2)如果对于点0x近旁的任一点0()xxx，都有0()()fxfx，那么称0()fx为函数()fx的一个极小值，点0x称为()fx的一个极小值点．函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为函数的极值点．图3-5如图3-5中的1x和3x是函数()fx的极大值点，1()fx和3()fx是函数()fx极大值；2x和4x是函数()fx的极小值点，2()fx和4()fx是函数()fx的极小值．注意(1)极值只是一个局部概念，它仅是与极值点邻近的函数值比较而言较大或较小的，而不是在整个区间上的最大值或最小值．函数的极值点一定出现在区间的内部，在区间的端点处不能取得极值；(2)函数的极大值与极小值可能有很多个，极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小；(3)函数的极值可能取在导数不存在的点．２．函数极值的判定从图3-5可以看出，曲线在点1x、2x、3x、4x取得极值处的切线都是水平的，即在极值点处函数()fx的导数等于零．对此，我们给出函数存在极值的必要条件：定理3.5如果函数()fx在点0x处可导且取得极值，那么0()0fx．使得函数()fx的导数等于零的点(即方程'()0fx的实根)，叫做函数()fx的驻点．定理3.5说明，可导函数的极值点必定是它的驻点，但是，函数的驻点不一定是它的极值点．例如点0x是函数3yx的驻点，但不是极值点．所以定理3.5还不能解决所有求函数极值的问题．但是，定理3.5提供了寻求可导函数极值点的范围，即从驻点中去寻找．还要指出连续但不可导点也可能是其极值点，如()||fxx，在0x处连续，但不可导，而0x是该函数的极小点．第2章导数的应用73判断驻点是否是极值点，我们有如下定理：定理3.6设函数()fx在点0x的近旁可导，且0()0fx．(1)如果当0xx时，()0fx；当0xx时，()0fx，那么0x是极大值点，0()fx是函数()fx的极大值；(2)如果当0xx时，()0fx；当0xx时，()0fx，那么0x是极小值点，0()fx是函数()fx的极小值．(3)如果在点0x的左右两侧，()fx同号，那么0x不是极值点，函数()fx在点0x处没有极值．图3-6分别显示了以上三种情形：(1)(2)(3)图3-6根据定理3.5和定理3.6，可得到求函数()fx极值点和极值的步骤如下：(1)求出函数的定义域；(2)求出函数的导数'()fx；(3)令()0fx，求出函数()fx在定义域内的全部驻点；(4)用所有驻点和导数不存在的点把定义域分成若干个部分区间，列表考察每个部分区间内'()fx的符号，确定极值点；(5)求出各极值点处的函数值，即得函数()fx的全部极值．1．闭区间上连续函数的最值设函数()yfx在闭区间,ab上连续，由闭区间上连续函数的性质知道，函数()yfx在闭区间,ab上一定有最大值与最小值．最大值与最小值可能取在区间内部，也可能取在区间的端点处，如果取在区间内部，那么，它们一定取在函数的驻点处或者导数不存在的点处．函数的极值是局部概念，在一个区间内可能有很多个极值，但函数的最值是整体概念，在一个区间上只有一个最大值和一个最小值．由以上分析知，求函数在闭区间,ab上的最大值与最小值的步骤为：(1)求出()fx在区间(,)ab内的所有驻点，导数不存在的点，并计算各点的函数值；(2)求出端点处的函数值()fa和()fb；(3)比较以上所有函数值，其中最大的就是函数在,ab上的最大值，最小的就是函数在,ab上的最小值．第2章导数的应用743.4函数图形的描绘341曲线的凹凸与拐点研究函数的单调性与极值，对于了解函数的性态，描绘函数的图形起到了重要作用．但是仅依赖于这些知识，还不能比较准确地描绘出函数的图形．例如函数2yx与yx在[0,)上的图形(图3-10)，其曲线都是单调上升的，但他们的弯曲方向却不同，这就是所谓的凹与凸的区别．曲线2yx上任一点的切线均位于曲线下方，形状是凹的，而曲线yx上任一点的切线均位于曲线上方，形状是凸的．图3-10一般地，从图3-11可以看出，在向下凸的曲线弧段ABC上，任一点处的切线都在曲线的下方；在向上凸的曲线弧段CDE上，任一点处的切线都在曲线的上方．对于此，我们给出下面的定义：定义3.2如果在某区间内，曲线弧段上任一点处的切线都在曲线的下方，那么称此曲线弧段为凹曲线；曲线弧段上任一点处的切线都在曲线的上方，那么称此曲线弧段为凸曲线．从图3-11中还可以看出，当曲线弧段是凹的时候，其切线的斜率是逐渐增加的，即函数的导数是单调增加的；当曲线弧段是凸的时候，其切线的斜率是逐渐减少的，即函数的导数是单调减少的．根据函数单调性的判定方法，有如下定理：图3-11定理3.7设函数()fx在区间(,)ab内具有二阶导数．(1)如果当(,)xab时，恒有()0fx，则曲线()fx在区间(,)ab内是凹的；第2章导数的应用75(2)如果当(,)xab时，恒有()0fx，则曲线()fx在区间(,)ab内是凸的．定义3.3连续曲线上凸的曲线与凹的曲线的分界点叫做曲线的拐点．3.4.2曲线的渐近线先看我们熟