大学物理_机械振动和机械波.

第二篇机械振动和机械波教学基本要求一掌握描述简谐运动的各个物理量（特别是相位）的物理意义及各量间的关系.二掌握描述简谐运动的旋转矢量法，并会用于简谐运动规律的讨论和分析.三掌握简谐运动的基本特征，能建立一维简谐运动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐运动的运动方程，并理解其物理意义.四理解同方向、同频率简谐运动的合成规律，了解拍的特点.五了解阻尼振动、受迫振动和共振的发生条件及规律.本章重点相位概念的理解及掌握简谐振动的基本规律。同方向同频率简谐振动的合成。本章难点相位概念的理解。任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动.机械振动物体围绕一固定位置往复运动.其运动形式有直线、平面和空间振动.周期和非周期振动例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动等.引言简谐振动最简单、最基本的振动.谐振子作简谐振动的物体.简谐振动复杂振动合成分解kl0xmoAA1弹簧振子00Fx§4-1简谐振动一简谐振动的特征方程平衡位置makxF0dd222xtxmk2令xa2)sin(ddtAtxv)cos(dd222tAtxa积分常数，根据初始条件确定)cos(tAxxxFmo2单摆lmoA)cos(mtlg2令Fmg转动正向sin,5时tmamgsinmldtdmlml220sinlg02oC*3复摆(物理摆)lmglM22ddtImgl0dd222tImgl2令)cos(mt)5(P（点为质心）C转动正向动力学判据运动学判据tx图tv图ta图TAA2A2AxvatttAAoooTT)cos(tAx0取)2πcos(tA)sin(tAv)πcos(2tA)cos(2tAa二谐振动的速度和加速度简谐运动的描述和特征xa24）加速度与位移成正比而方向相反0dd222xtx2）简谐运动的动力学描述)sin(tAv)cos(tAx3）简谐运动的运动学描述mk弹簧振子lg单摆kxF1）物体受线性回复力作用平衡位置0xImgl复摆)cos(tAx1振幅maxxA2周期、频率kmTπ2弹簧振子周期π2T周期π21T频率Tπ2π2圆频率])(cos[TtA周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关注意tx图AAxT2Tto三描述简谐振动的物理量(三要素)1）存在一一对应的关系;),(vxt3相位(位相,周相)ttx曲线AAxT2Tto)sin(tAv)cos(tAx简谐运动中，和之间不存在一一对应的关系.xvvvv1）存在一一对应的关系;),(vxt3相位(位相,周相)t物理意义：可据以描述物体在任一时刻的运动状态月相:新月,娥眉月,上弦月,满月,下弦月,残月等娥眉月上弦月下弦月满月)cos(tAx1）存在一一对应的关系;),(vxtπ2~02）相位在内变化，质点无相同的运动状态；3相位(位相,周相)t3）初相位描述质点初始时刻的运动状态.)0(t)(π2nn相差为整数质点运动状态全同.（周期性）π]20[π]π[(取或)物理意义：可据以描述物体在任一时刻的运动状态.)cos(tAx22020vxA00tanxv四常数和的确定A000vvxxt初始条件cos0Axsin0Av对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定.)sin(tAv)cos(tAxcos0A2π0sin0Av2π0sin取0,0,0vxt已知求讨论xvo)2πcos(tAxAAxT2Tto例4-1一轻弹簧,下挂质量为10g的重物时,伸长4.9cm.用它和质量80g小球构成弹簧振子.将小球由平衡位置向下拉1.0cm后,给向上初速度v=5.0cm/s.求振动周期及振动表达式.解:取向下为x轴正向.15s振动方程为x=0.0141cos(5t+π/4)(SI)例4-2如图所示，一边长为L的立方体木块浮于静水中，浸入水中部分的高度为b。今用手将木块压下去，放手让其开始运动。若忽略水对木块的黏性阻力，并且水面开阔，不因木块运动而使水面高度变化，证明木块作谐振动。bXmg证明：浮F以水面为原点建立坐标OXx022xbgdtxd0222xdtxd解决简谐运动方程问题的一般步骤:1)找到振动平衡位置,此时合力为零,选平衡位置为原点,建立坐标系2)设振子离开原点x处,分析受力情况.3)应用牛顿定律.4)根据初始条件确定A和.5)写出振动表达式.另外一个方法:能量法)(sin21212222ktAmmEv)(cos2121222ptkAkxE线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒以弹簧振子为例)sin()cos(tAtAxvkxF22pk21AkAEEEmk/2（振幅的动力学意义）§4-2谐振动的能量简谐运动能量图txtv221kAE0tAxcostAsinvv,xtoT4T2T43T能量oTttkAE22pcos21tAmE222ksin21能量守恒简谐振动方程推导常量222121kxmEv0)2121(dd22kxmtv0ddddtxkxtmvv0dd22xmktx例4-3质量为的物体，以振幅作简谐运动，其最大加速度为，求：kg10.0m100.122sm0.4（1）振动的周期；（2）通过平衡位置的动能；（3）总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？解（1）s314.0T（2）（3）max,kEEJ100.23（4）J100.23max,kEcm707.0x解：设棒长为2R,质量为m，在棒扭动时,其质心沿上下运动。因扭动角度很小，可近似认为细棒在水平面内转动。扭动角度为时,细棒在水平面内转动角度为，'OORl'OO例4-4一匀质细杆AB的两端,用长度都为l且不计质量的细绳悬挂起来,当棒以微小角度绕中心轴扭动时，求证其运动周期为：。glT3/2OOABlcpmghE2)(21dtdIEk0322lgdtd)cos1(lhc思考:如何利用转动定律求解?例4-5劲度系数为k、原长为l、质量为m的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为M的物体，在光滑水平面内作直线运动。求解其运动。lxMXsdsO解：平衡时O点为坐标原点。物体运动到x处时，弹簧固定端位移为零，位于M一端位移为x。当物体于x处时,弹簧元ds的质量,位移为速度为lmdsdm/lsx/dtdxls0322xmMkdtxdxoAcos0Ax当时0t0x§4-3谐振动的旋转矢量投影表示法xoAttt)cos(tAx时以为原点的旋转矢量在轴上的投影点的运动为简谐运动.xAo)cos(tAx以为原点的旋转矢量在轴上的投影点的运动为简谐运动.xAoAmv)2πcos(tAv)cos(2tAa2nAa2πtmvvxy0At)cos(tAxnaa（旋转矢量旋转一周所需的时间）π2T用旋转矢量图画简谐运动的图txAAx2AtoabxAA0讨论相位差：表示两个相位之差.1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间.)()(12tt)cos(1tAx)cos(2tAx12tttat3πTTt61π23πv2Abt0xto同步2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异.（解决振动合成问题）)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt12xto为其它超前落后txoπ反相3)关于旋转矢量法的理解:旋转矢量本身并不做简谐运动,只是用其投影点的运动来表示谐振动,各物理量直观.在旋转矢量法中,相位表现为角度,处理方便,但不是角度.相位的物理含义在于可据以描述物体在任一时刻的运动状态.例4-6如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数，物体的质量.（1）把物体从平衡位置向右拉到处停下后再释放，求简谐运动方程；1mN72.0kg20mm05.0xm05.0x10sm30.0v（3）如果物体在处时速度不等于零，而是具有向右的初速度，求其运动方程.2A（2）求物体从初位置运动到第一次经过处时的速度；m/xo0.05（1）时，物体所处的位置和所受的力；s0.1to08.004.004.008.0m/xvx处，向轴负方向运动（如图）.试求例4-7一质量为的物体作简谐运动，其振幅为，周期为，起始时刻物体在kg01.0m08.0s4m04.0Ox（2）由起始位置运动到处所需要的最短时间.m04.0x例4-8一质点在X轴上作简谐运动,选取该质点向右运动通过A点时作为计时起点,经2s后质点第一次经过B点,再经过4s后第二次经过B点,A和B处的速率相同,且AB=12cm,求振动方程.法二:旋转矢量法法一:解析法11A1xx0一两个同方向同频率简谐运动的合成21xxx22112211coscossinsintanAAAA)cos(212212221AAAAA)cos(tAx)cos(111tAx)cos(222tAxAx2x2A2两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动§4-4谐振动的合成xxtooπ212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT1）相位差π212k),210(，，k)cos(212212221AAAAA讨论xxtoo21AAA2π)cos()(12tAAx)cos(212212221AAAAAT2A21AA2）相位差π)12(12k),10(，ktAxcos11)πcos(22tAx3）一般情况2121AAAAA21AAA2）相位差1）相位差21AAAπ212k)10(，，k相互加强相互削弱π)12(12k)10(，，k三两个同方向不同频率简谐运动的合成)cos(1111tAx)cos(2222tAx两个同方向的谐振动,角频率分别为和,且略大于,1212t时刻两分振动的旋转矢量之间的夹角为:)()(1212t与时间有关频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.单位时间内合振动振幅大小变化的次数,称为拍频121221T拍频等于两个分振动的频率之差角频率振幅maCkxv0dddd22kxtxCtxm0dd2dd2022xtxtx一阻尼振动)cos(tAext220220π2π2TvCFr阻尼力mk0mC2固有角频率阻尼系数阻力系数§4-5阻尼振动受迫振动共振otx三种阻尼的比较阻尼振动位移-时间曲线AAtOx)0(220)cos(tAext0dddd22kxtxCtxm220b）过阻尼220a）欠阻尼220c）临界阻尼tAeTabctAet