大学物理上,质点运动学1-3坐标系的运用

第1章质点运动学1.3坐标系的运用11.3坐标系的运用第1章质点运动学1.3坐标系的运用2一、自然坐标系ˆ——切向单位矢量ˆ——法向单位矢量nˆˆn运动方程：s=s(t)s轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。速度方向为切向坐标方向；指向曲率中心的方向为法向坐标方向（与速度的方向垂直）。PO.dtds速率：在已知运动轨道上任取一参照点O，由质点与参考点之间轨迹的长度s来表示质点的位置。ˆˆdtds速度：S为弧坐标。第1章质点运动学1.3坐标系的运用3例：一质点作匀速率圆周运动，半径为r，角速度为。求：质点的运动学方程。1）用直角坐标、位矢表示；2）用自然坐标表示。以圆心O为原点。建立直角坐标系Oxy，O点为初始位置，sin,costrytrxtrs用位矢表示为：用自然坐标表示为：xytωxys解：),(yx'OrPOjyixr+=质点的运动学方程为：jtωritωrsin+cos=1）2）设t时刻质点位于P（x,y），第1章质点运动学1.3坐标系的运用4加速度由两项组成，分别反映了速度大小变化和方向变化。一般曲线运动的加速度τυτdtdsυˆ=ˆ=dtddtdˆˆdtda第一项，叫切向加速度，方向：τˆτaP)(tQL)(tt大小：ˆdtddtda写成：22dtsd（沿切向）AB曲率圆速度：第1章质点运动学1.3坐标系的运用5)(tn)(ttnP)(tτQLO)(ttτθ第二项，叫法向加速度，)(ˆ)(ˆˆtτttττdtddtdˆˆdtdadtdanˆ切向单位矢量的时间变化率：tdtdtˆlimˆ0)(ˆtτ)(ˆttττˆθ0t当时ndtdˆndθτdˆˆˆˆdθττd,ˆ//ˆnτddθ写成：第1章质点运动学1.3坐标系的运用6ndtddtdanˆˆndtdˆˆ2naaanˆˆndtdsdsdˆddsnˆ2总加速度：法向加速度：为曲率半径。ρP)(tQLO)(ttθ大小：方向：nˆ（沿法向）2na第1章质点运动学1.3坐标系的运用71）一般曲线运动的法向加速度指向瞬时曲率中心；2）在曲线运动中，加速度的方向总是指向曲线凹的一侧。大小：22naaandtdˆˆ2naaanˆˆ加速度：aan1tan方向：naτaaP•说明：第1章质点运动学1.3坐标系的运用81）质点运动时，如果同时有切向加速度和法向加速度，这就是一般的曲线运动；讨论2）如果只有切向加速度，没有法向加速度，3）如果只有法向加速度，没有切向加速度，ndtdˆˆ2naaanˆˆ则质点作变速率直线运动；则质点作匀速率曲线运动。第1章质点运动学1.3坐标系的运用9大小：2na方向：沿半径指向圆心。曲线运动的加速度小结：nanˆ2法向加速度：总加速度的大小：22aaanˆdtda大小：方向：沿轨道切线方向。dtda切向加速度：aan1tan方向：ndtdˆˆ2naaanˆˆ第1章质点运动学1.3坐标系的运用10例：一汽车在半径R=200m的圆弧形公路上行驶，其运动学方程为s=20t-0.2t2(SI)。求：汽车在t=1s时的速度和加速度大小。tdtds4.020在自然坐标系中，,4.0dtdaτRtRan22)4.020(22222)4.020(4.0Rtaaanτm/s,6.19(1)2m/s44.1(1)a解：t=1s时：第1章质点运动学1.3坐标系的运用11解：jtidtrd)1015(5j)tt(itr251552)1015(25t210(32)1(32)dtadttt=1s时)/(102smjdtda22tnaaa)(12mavn例：已知质点在水平面内运动，运动方程为：，求：t=1s时的切向加速度、法向加速度和轨道曲率半径。)()515(52mjttitr)/(252sma2)23(15t)/(252sm第1章质点运动学1.3坐标系的运用12二圆周运动(CircularMotion）的角量描述角坐标：θxyorAB（约定：逆时针为正）角位移：θΔ运动方程：)(tθθ1、角坐标与角位移dtθdtθωtΔΔlim0Δ角速度2、角速度(AngularVelocity)第1章质点运动学1.3坐标系的运用13rdtθrddtdsυ即：00dlimlimdttsrrtttvxyorAB角量与线量的关系：xOdsdrθrsΔΔs第1章质点运动学1.3坐标系的运用14角加速度：ddtr3、角加速度(AngularAcceleration)方向：角速度矢量的方向垂直于质点运动的平面，其指向由右手螺旋定则确定。角速度矢量可以得出，质点的线速度等于角速度与质点位矢的矢量积：rrP22dtd第1章质点运动学1.3坐标系的运用15圆周运动的角量与线量的关系：ωrυra22ωrrυanωrdtθdrdtdsυ===rdtdrdtdarra22n第1章质点运动学1.3坐标系的运用16例：质点作半径为R的圆周运动，其速率满足（k为常数），求：切向加速度、法向加速度和加速度的大小。kRtv解：切向加速度：dtdvat法向加速度：Rvan2kRR)kRt(222Rtk加速度：22ntaaa2222RtkkR第1章质点运动学1.3坐标系的运用17解：1）例：一质点作圆周运动（半径为R），其路程与时间的关系为：，v0和b都是正常数。求：（1）质点在t时刻的速率；（2）t为何值时，质点的切向加速度和法向加速度的大小相等。20/2()SIsvtbtdsvdt0vbttdvadtb2nvaR20()vbtR当tnaa时20()vbtRb0vRbtbavnata2）第1章质点运动学1.3坐标系的运用18匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动nrnaa2n1）匀速率圆周运动：速率和角速度都为常量。v,0=τa2）匀变速率圆周运动：t020021tt)(20202如时,0t00=,=ωωθθ常量第1章质点运动学1.3坐标系的运用19例：质点作半径为Ｒ＝0.1ｍ的圆周运动，运动方程为（rad），求：当t=3s时，质点的角速度、角加速度、切向加速度、法向加速度。123tθ解：)/(122smRtRa)/(36242smRtωRan)/(62sradtdtθdω)/(122sradtdtd当t=3s时，)/(54sradω)/(362srad)/(6.32sma)/(6.2912sman第1章质点运动学1.3坐标系的运用20例：一飞轮受摩擦力矩作用做减速运动，其角加速度与θ成正比，比例系数k0。当t=0,ω=ω0，θ=0。求：1）角速度作为θ的函数表达式；2）最大角位移。dtdkθdωdωdtθdθdωd,ωdωθdθkωdωθdθkωωθ00,)(21212022ωωθk220k解：1）2）当ω=0时，kωθ0max第1章质点运动学1.3坐标系的运用21解：例：已知运动方程为常量，求：xut2/2ygt,ug,tnaa这显然是平抛运动（依据迭加原理）方程在直角坐标系中给出，在自然坐标系中求解xdxvdt222vugtgtydyvdtutdvadt2222gtugt222dugtdt由数学32221()xyxyxy322221()ugugt222nugaugt第1章质点运动学1.3坐标系的运用22其实平抛运动是我们熟悉的，可以利用矢量图求解sincostnagag222222sincosgtugtuugt2222tgtaugt222nguaugtnatagugtθvθ又有可见矢量图解极其简捷，物理意义明确。第1章质点运动学1.3坐标系的运用23小结一、基本物理量——avrr,,,位置矢量kzjyixr位移ABrrr瞬时速度kdtdzjdtdyidtdxdtrdv加速度kdtdvjdtdvidtdvazyxkdtzdjdtydidtxd2222dtvda第1章质点运动学1.3坐标系的运用24二、运动学两类问题ttdtvrrdtavv000,0dxxavv)(22122第1章质点运动学1.3坐标系的运用25大小：2na方向：沿半径指向圆心。三、曲线运动的加速度：nanˆ2法向加速度：总加速度的大小：22aaanˆdtda大小：方向：沿轨道切线方向。dtda切向加速度：aan1tan方向：ndtdˆˆ2naaanˆˆ第1章质点运动学1.3坐标系的运用26四、圆周运动,=dtθdω角速度、角加速度：22==dtθddtωdβ,===βrdtωdrdtdvat切向、法向加速度：22===ωrrvωvan