大学物理上册第1章质点运动学.

重大数理学院赵承均第一篇力学§1.1质点运动的描述一、参照系与坐标系为确定物体在空间的位置而选定的作为参照标准的某物体上固连的框架。为了描述物体在空间的相对位置而在参照系上建立的数学体系。（1）参照物大小是有限的，参照系可理解为全空间的；（2）参照系是物理的，坐标系是数学的。参照系坐标系为确定物体在空间的位置而选定的作为参照标准的物体。参照物referencebodiesreferenceframecoordinatesystem注意重大数理学院赵承均第一篇力学质点位置的描述直角坐标系中其大小：方向余弦其中：222rxyzcos,cos,cosxyzrrr222coscoscos1位矢positionvector自原点o引向质点P所在位置的矢量。·ˆiˆjˆkrectangularcoordinatescosinesofdirectionalanglesˆˆˆrxiyjzk重大数理学院赵承均第一篇力学位矢与时间的函数关系，称为质点的运动学方程。运动学方程其直角坐标系表示rrtˆˆˆrtxtiytjztk二、运动学方程与轨道equationofmotion参数方程xxtyytzztequationsofparameters位矢分量与时间的函数关系，称质点运动学方程的参数方程。重大数理学院赵承均第一篇力学位矢端点描出的曲线，称为质点运动的轨道。轨道轨道方程轨道可由运动学参数方程中消去t得到。,,0fxyzpathequationofpath注意轨道的性质依赖于参照系的选择。常用坐标系还有：极坐标系，柱坐标系，球坐标系，自然坐标系描述位矢各个分量之间函数关系的方程，称为轨道方程。重大数理学院赵承均第一篇力学ˆˆ()cossinrtAtiAtjcossinxAtyAt质点的运动方程为运动方程的参数方程222xyA运动轨道方程轨道：半径为A的圆例：trtxyo重大数理学院赵承均第一篇力学三、位移、速度与加速度位置矢量的增量，称为位移。()()rrttrt在直角坐标系中ˆˆˆrxiyjzk（2）位移与坐标系的选择无关（1）位移是矢量，其大小rt1P2Psrrttrtrttrr位移displacement注意yxzo21rrrro重大数理学院赵承均第一篇力学在一段时间内质点在其轨迹上经过的路径的总长度，称为路程。（1）有限位移rs（2）无限小位移drds注意srrtrtt路程distanceyxzodifferentialdisplacement重大数理学院赵承均第一篇力学瞬时速度00limlimttrdrvvrtdt速率drdsvvdtdt速度的方向：轨道切向并指向质点前进方向。瞬时加速度220limtvdvdrartdtdtrt1P2Prttvtvttvtvttv速度的大小称为速率。yxzoInstantaneousvelocityInstantaneousaccelerationspeed重大数理学院赵承均第一篇力学重大数理学院赵承均第一篇力学加速度ˆˆˆˆˆˆyxzxyzdvdvdvdvaijkaiajakdtdtdtdtˆˆˆˆˆˆxyzdrdxdydzvijkvivjvkdtdtdtdt速度四、分量表示式,,xyzvxvyvz分量式222vvxyz大小cos,cos,cosyxzvvvvvv方向余弦componentexpressions重大数理学院赵承均第一篇力学思考题例题1.求椭圆规尺上M点的轨道方程、速度及加速度。例题2.半径为R的轮子沿直线轨道无滑滚动，设角速度为常值，求轮缘上任一点的运动方程，并求该点的速度。1ooyxMccxyoba,MxyAB重大数理学院赵承均第一篇力学§1.2自然坐标系切向、法向加速度一、自然坐标系曲率半径密切平面在质点运动的瞬间，在质点两侧的轨道上各选取一个邻近的点，与该质点一起构成三角平面。当两点无限向质点靠近时，此平面的极限称为该质点瞬间的密切平面。密切圆半径称为该点瞬间的曲率半径。曲率中心密切圆圆心称为该点瞬间的曲率中心。密切圆该三角形的外接圆的极限称为该点瞬间的密切圆。1.密切平面P'P''P'o重大数理学院赵承均第一篇力学自然坐标选择轨迹上一点O为原点并用由原点至质点位置的弧长s作为质点坐标，任意方向为正。2.自然坐标系重大数理学院赵承均第一篇力学sst运动学方程：速度：ˆˆdrdsvvdtdt加速度：ˆˆˆdvdvdvdavdtdtdtdtˆˆnˆˆn二、切向加速度、法向加速度ˆˆˆddnˆˆddndtdtoˆˆddˆ重大数理学院赵承均第一篇力学ˆˆˆdvdvdvdavdtdtdtdt又：naaa其中：ˆav2ˆˆnvavnndsd显然：切向加速度：第一项反映速度大小随时间的变化率，沿切线方向。法向加速度：第二项反映速度方向随时间的变化率，沿主法线方向。tangentialaccelerationcentripetalacceleration重大数理学院赵承均第一篇力学讨论下列几种运动情况：1.0,0naa匀速直线运动2.0,naCa匀变速直线运动3.Caan,0匀速率圆周（螺旋）运动4.0,0naa变速曲线运动重大数理学院赵承均第一篇力学极坐标系：M-动点O-极点OA-极轴ρ-极半径φ-极角，逆时针为正1.平面极坐标运动学方程：ttˆˆ-径向单位矢量-横向单位矢量pathˆˆ点作平面曲线运动时，亦可用极坐标描述其运动。§1.3圆周运动的角量描述平面极坐标系一、极坐标系AoM重大数理学院赵承均第一篇力学速度：ˆˆˆˆˆddrvdtdtvvvv其中：ˆvˆvvv-径向速度分量-横向速度分量oAMˆvˆvv2.径向速度、横向速度重大数理学院赵承均第一篇力学1.描述圆周运动的角量圆周运动是典型的二维运动的特例，建立平面极坐标系，参考点o，参考轴ox。二、圆周运动的角量描述质点所在位置的矢径与x轴的夹角θ,称为质点对参考点的角位置。角位置角位移AoxBR在某个时间间隔内质点经过的角度称为角位移。在t时刻的角位置为：t在t时刻的角位置为：tt角位移为：ttt单位：弧度rad重大数理学院赵承均第一篇力学当Δt→0时，角位移为元角位移：d在矢量分析里，通常把元角位移当作矢量看待，写成：ˆddn其中：d为元角位移的大小；ˆn为元角位移的方向。按照物理学惯例，规定元角位移的方向与质点角运动的方向成右手螺旋。运动方向运动方向ˆnˆn重大数理学院赵承均第一篇力学角速度在单位时间间隔内质点经过的角度称为角速度。ddt显然，角速度的方向与元角位移的方向相同。单位：弧度Rad/s角加速度在单位时间间隔内质点角速度的改变称为角加速度。22dddtdt显然，角加速度的方向与角速度的改变方向相同。单位：弧度Rad/s2angularvelocityangularacceleration重大数理学院赵承均第一篇力学角量：描述转动，如角位移、角速度、角加速度、角动量、力矩等。角量、线量关系线量：描述平动，如位移、速度、加速度、动量、力等。线量位移速度加速度动量（平动）动能平动惯量m角量I角位移角速度角加速度角动量（转动）动能转动惯量rdrvdt22dradtpmv212tEmvddt22ddtJI212rEI表1：线量、角量概念对称讨论重大数理学院赵承均第一篇力学线量、角量在描述物体相应运动的时候，几乎所有的定律、守恒率的数学形式也有相似性，满足对称法则。线量力平动功冲量动量定理牛二定律角量力矩转动功冲量矩角动量定理转动定律表2：线量、角量运算规则对称FtdWFdrtdIFdtFmaMrFrdWMdrdIMdtMIdpFdtdJMdt重大数理学院赵承均第一篇力学思考题例题1.已知螺旋曲线上M点的轨道方程是,求任意时刻的速度大小以及加速度变化情况。2,0sktk例题2.已知M点的轨道是一般曲线，加速度为常矢量,如图所示。问：1、质点作何种运动？2、能否举出实例？3、有加速度恒定的圆周运动吗？重大数理学院赵承均第一篇力学例3：一质点作半径为R的圆周运动，其速率满足，k为常数，试求：切向加速度、法向加速度和加速度的大小。vkRt解：切向加速度dvakRdt法向加速度加速度2222nkRtvakRtrR222222241naaakRkRtkRkt重大数理学院赵承均第一篇力学（1）加速度a为一常量：（2）物体沿x轴作直线运动；（3）初始条件t=0时：由于是一维运动，由加速度定义：运动公式,ooxxvv常见的几种运动1.匀变速直线运动补充aConstantdvdvaadtdtdvadt重大数理学院赵承均第一篇力学两边积分：（1）由速度定义：两边积分：0ovtvdvadtovvatovvatdrdxvvdtdtdxvdt00oxttoxdxvdtvatdt重大数理学院赵承均第一篇力学由（1）、（2）式：三个公式只有两个公式独立。三个公式只适用于匀变速直线运动。212ooxxvtat（2）消t有：ovvat212ooxxvtat222oovvaxx注意（3）重大数理学院赵承均第一篇力学运动叠加原理物体同时参与几种运动时，各运动之间互不干扰，相互矢量叠加。2.竖直上抛竖直向上的匀速直线运动+自由落体3.竖直下抛竖直向下的匀速直线运动+自由落体运动方程212oyvtgt运动方程212oyvtgt重大数理学院赵承均第一篇力学4.平抛水平方向上的匀速直线运动+自由落体运动方程21ˆˆ2ortvtigtjoxvt212ygtovovt212gtroyx重大数理学院赵承均第一篇力学运动方程5.斜上抛ovovt212gtroyx斜上方向上的匀速直线运动+自由落体21ˆˆcossin2oortvtivtgtjcosoxvt21cos2oyvtgt重大数理学院赵承均第一篇力学同一物体的运动，在不同参考系中，对其描述并不相同，即运动描述具有相对性。例如：一只行进的船升旗船相对对岸的位矢:ro旗帜相对船的位矢:'r旗帜相对岸的位矢:rrrr旗岸船岸旗船'orrr即：即相对位矢即牵连位矢即绝对位矢§1.4相对运动ro'rrrelativity相对性absolutevectorentangledvectorrelativevector重大数理学院赵承均第一篇力学质点相对于地球参照系的速度等于它相对于运动参照系的位矢与运动参照系相对于地球参照系的位矢的矢量和。'vvvo'oaaa由此可得位移、速度和加速度的变换式：'rrroGalileo速度变换21rrrdrvdtdvadtGalileo加速度变换Galileo位移变换重大数理学院赵承均第一篇力学例1.当一列火车以36km/h的速率向东行驶时,相对地面匀速竖直下落雨滴在列车的窗子上形成的雨迹与竖直方向成30°角。求：(1)雨滴相对于地面的水平分速度？相对于列车的水平分速度？(2)雨滴相对于地面的速率如何？相对于列车的速率如何？解：思考题（1）根据Galileo速度变换式'ovvv0,36/10/oyoxvvkmhms'10/xx