大学物理下册作业题

9－7点电荷如图分布，试求P点的电场强度.分析依照电场叠加原理，P点的电场强度等于各点电荷单独存在时在P点激发电场强度的矢量和.由于电荷量为q的一对点电荷在P点激发的电场强度大小相等、方向相反而相互抵消，P点的电场强度就等于电荷量为2.0q的点电荷在该点单独激发的场强度.解根据上述分析2020π1)2/(2π41aqaqEP题9-7图9－8若电荷Q均匀地分布在长为L的细棒上.求证：(1)在棒的延长线，且离棒中心为r处的电场强度为2204π1LrQεE(2)在棒的垂直平分线上，离棒为r处的电场强度为2204π21LrrQεE若棒为无限长(即L→∞)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较.题9-8图分析这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元dx，其电荷为dq＝Qdx/L，它在点P的电场强度为rrqεeE20dπ41d整个带电体在点P的电场强度EEd接着针对具体问题来处理这个矢量积分.(1)若点P在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P的电场强度方向相同，LEiEd(2)若点P在棒的垂直平分线上，如图(a)所示，则电场强度E沿x轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P的电场强度就是LyEEjjEdsind证(1)延长线上一点P的电场强度LrqE20π2d，利用几何关系r′＝r－x统一积分变量，则220022204π12/12/1π4dπ41LrQεLrLrLεQxrLxQεEL/-L/P电场强度的方向沿x轴.(2)根据以上分析，中垂线上一点P的电场强度E的方向沿y轴，大小为ErεqαELdπ4dsin20利用几何关系sinα＝r/r′，22xrr统一积分变量，则2202/32222041π2dπ41LrrQrxLxrQEL/-L/当棒长L→∞时，若棒单位长度所带电荷λ为常量，则P点电场强度rελLrLQrεEl0220π2/41/π21lim此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图(b)］.这说明只要满足r2/L2＜＜1，带电长直细棒可视为无限长带电直线.9－14设在半径为R的球体内电荷均匀分布，电荷体密度为,求带电球内外的电场强度分布.分析电荷均匀分布在球体内呈球对称，带电球激发的电场也呈球对称性.根据静电场是有源场，电场强度应该沿径向球对称分布.因此可以利用高斯定理求得均匀带电球内外的电场分布.以带电球的球心为中心作同心球面为高斯面，依照高斯定理有sQErSE0i2π4d上式中iQ是高斯面内的电荷量，分别求出处于带电球内外的高斯面内的电荷量，即可求得带电球内外的电场强度分布.解依照上述分析，由高斯定理可得Rr时，302π34π4rEr假设球体带正电荷，电场强度方向沿径向朝外.考虑到电场强度的方向，带电球体内的电场强度为rE03Rr时，302π34π4REr考虑到电场强度沿径向朝外，带电球体外的电场强度为rerRE20339－15两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2(R2＞R1)，单位长度上的电荷为λ.求离轴线为r处的电场强度：(1)r＜R1，(2)R1＜r＜R2，(3)r＞R2.题9-15图分析电荷分布在无限长同轴圆柱面上，电场强度也必定沿轴对称分布，取同轴圆柱面为高斯面，只有侧面的电场强度通量不为零，且rLEdπ2SE，求出不同半径高斯面内的电荷q.即可解得各区域电场的分布.解作同轴圆柱面为高斯面，根据高斯定理0/π2εqrLEr＜R1，0q01ER1＜r＜R2，LλqrελE02π2r＞R2，0q03E在带电面附近，电场强度大小不连续，如图（b）所示，电场强度有一跃变000π2π2ΔεσrLεLλrελE9－19电荷面密度分别为＋σ和－σ的两块“无限大”均匀带电的平行平板，如图(a)放置，取坐标原点为零电势点，求空间各点的电势分布并画出电势随位置坐标x变化的关系曲线.题9-19图分析由于“无限大”均匀带电的平行平板电荷分布在“无限”空间，不能采用点电荷电势叠加的方法求电势分布：应该首先由“无限大”均匀带电平板的电场强度叠加求电场强度的分布，然后依照电势的定义式求电势分布.解由“无限大”均匀带电平板的电场强度i02εσ，叠加求得电场强度的分布，axaxaax000iE电势等于移动单位正电荷到零电势点电场力所作的功axaxεσVxd00lEaxaεσVdd00a-axlElEaxaVdd00aaxlElE电势变化曲线如图(b)所示.9－21一半径为R的无限长带电细棒，其内部的电荷均匀分布，电荷的体密度为ρ.现取棒表面为零电势，求空间电势分布并画出分布曲线.题9-21图分析无限长均匀带电细棒电荷分布呈轴对称，其电场和电势的分布也呈轴对称.选取同轴柱面为高斯面，利用高斯定理VVd1d0SE可求得电场分布E(r)，再根据电势差的定义lEdbabarVV并取棒表面为零电势(Vb＝0)，即可得空间任意点a的电势.解取高度为l、半径为r且与带电棒同轴的圆柱面为高斯面，由高斯定理当r≤R时02/ππ2ερlrrlE得02εrρrE当r≥R时02/ππ2ερlRrlE得rεRρrE022取棒表面为零电势，空间电势的分布有当r≤R时22004d2rRερrεrρrVRr当r≥R时rRεRρrrεRρrVRrln2d20202如图所示是电势V随空间位置r的分布曲线.9－22一圆盘半径R＝3.00×10－2m.圆盘均匀带电，电荷面密度σ＝2.00×10－5C·m－2.(1)求轴线上的电势分布；(2)根据电场强度与电势梯度的关系求电场分布；(3)计算离盘心30.0cm处的电势和电场强度.题9-22图分析将圆盘分割为一组不同半径的同心带电细圆环，利用带电细环轴线上一点的电势公式，将不同半径的带电圆环在轴线上一点的电势积分相加，即可求得带电圆盘在轴线上的电势分布，再根据电场强度与电势之间的微分关系式可求得电场强度的分布.解(1)如图所示，圆盘上半径为r的带电细圆环在轴线上任一点P激发的电势220dπ2π41dxrrrσεV由电势叠加，轴线上任一点P的电势的xxRεσxrrrεσVR22002202d2(1)(2)轴线上任一点的电场强度为iiE22012ddxRxεσxV(2)电场强度方向沿x轴方向.(3)将场点至盘心的距离x＝30.0cm分别代入式(1)和式(2)，得V6911V-1mV6075E当x＞＞R时，圆盘也可以视为点电荷，其电荷为C1065.5π82σRq.依照点电荷电场中电势和电场强度的计算公式，有V1695π40xεqV1-20mV5649π4xεqE由此可见，当x＞＞R时，可以忽略圆盘的几何形状，而将带电的圆盘当作点电荷来处理.在本题中作这样的近似处理，E和V的误差分别不超过0.3％和0.8％，这已足以满足一般的测量精度.9－25在一次典型的闪电中，两个放电点间的电势差约为109Ｖ，被迁移的电荷约为30C.(1)如果释放出来的能量都用来使0℃的冰融化成0℃的水，则可溶解多少冰？(冰的融化热L＝3.34×105J·kg)(2)假设每一个家庭一年消耗的能量为3000kW·h，则可为多少个家庭提供一年的能量消耗？解(1)若闪电中释放出来的全部能量为冰所吸收，故可融化冰的质量kg1098.8Δ4LqULEm即可融化约90吨冰.(2)一个家庭一年消耗的能量为J1008.1hkW0003100E8.2Δ00EqUEEn一次闪电在极短的时间内释放出来的能量约可维持3个家庭一年消耗的电能.10－8一导体球半径为R１，外罩一半径为R2的同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为Q，而内球的电势为V０．求此系统的电势和电场的分布．分析若200π4RεQV，内球电势等于外球壳的电势，则外球壳内必定为等势体，电场强度处处为零，内球不带电．若200π4RεQV，内球电势不等于外球壳电势，则外球壳内电场强度不为零，内球带电．一般情况下，假设内导体球带电q，导体达到静电平衡时电荷的分布如图所示．依照电荷的这一分布，利用高斯定理可求得电场分布．并由ppVlEd或电势叠加求出电势的分布．最后将电场强度和电势用已知量V0、Q、R１、R2表示．题10-8图解根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布呈球对称．取同心球面为高斯面，由高斯定理02/π4dεqrErrESE，根据不同半径的高斯面内的电荷分布，解得各区域内的电场分布为r＜R１时，01rER１＜r＜R2时，202π4rεqrEr＞R2时，202π4rεqQrE由电场强度与电势的积分关系，可得各相应区域内的电势分布．r＜R１时，20103211π4π4dddd2211RQRqVRRRRrrlElElElER１＜r＜R2时，200322π4π4ddd22RQrqVRRrrlElElEr＞R2时，rqQVr03π4dlE3也可以从球面电势的叠加求电势的分布：在导体球内（r＜R１）20101π4π4RεQRεqV在导体球和球壳之间（R１＜r＜R2）2002π4π4RεQrεqV在球壳外（r＞R2）为rqQV03π4由题意102001π4π4RεQRεqVV得QRRVRq21010π4于是可求得各处的电场强度和电势的分布：r＜R１时，01E；01VVR１＜r＜R2时，22012012π4rRεQRrVRE；rRQRrrVRV201012π4)(r＞R2时，220122013π4)(rRQRRrVRE；rRQRRrVRV2012013π4)(10－11电容式计算机键盘的每一个键下面连接一小块金属片，金属片与底板上的另一块金属片间保持一定空气间隙，构成一小电容器（如图）.当按下按键时电容发生变化，通过与之相连的电子线路向计算机发出该键相应的代码信号.假设金属片面积为50.0mm2，两金属片之间的距离是0.600mm.如果电路能检测出的电容变化量是0.250pF，试问按键需要按下多大的距离才能给出必要的信号？题10-11图分析按下按键时两金属片之间的距离变小，电容增大，由电容的变化量可以求得按键按下的最小距离：解按下按键时电容的变化量为0011ΔddSεC按键按下的最小距离为mm152.0ΔΔΔ00200minSCdCdddd10－14人体的某些细胞壁两侧带有等量的异号电荷.设某细胞壁厚为5.2×10－9m，两表面所带面电荷密度为±5.2×10－3C／m2，内表面为正电荷．如果细胞壁物质的相对电容率为6.0，求（1）细胞壁内的电场强度；（2）细胞壁两表面间的电势差．解（1）细胞壁内的电场强度V/m108.960rεεσE；方向指向细胞外．（2）细胞壁两表面间的电势差V101.52EdU．10－17如图，有一个空气平板电容器，极板面积为S，间距为d．现将该电容器接在端电压为U的电源上充电，当（1）充足电后；（2）然后平行插入一块面积相同、厚度为δ（δ＜d）、相对电容率为εｒ的电介质板；（3）将上述电介质换为同样大小的导体板．分别求电容器的电容C，极板上的电荷Q和极板间的电场强度E．题10-17图分析电源对电容器充电，电容器极板间的电势差等于电源端电压U．插入电介质后，由于介质界面出现极化电荷，极化电荷在介质中激发的电场与原电容器极板上自由电荷激发的电场方向相反，介质内的电场减弱