大学物理作业(1-5)

1—4一质点的运动学方程为2tx，21ty(S1)。试求：(1)质点的轨迹方程：(2)在2ts时，质点的速度和加速度。[解](1)由质点的运动方程2tx(1)21ty(2)消去参数t，可得质点的轨迹方程2(1)yx(2)由(1)、(2)对时间t求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度tdtdxvx212tdtdyvy所以221xyvvttvijij(3)222dtxdax222dtyday所以22aij(4)把t=2s代入式(3)、(4)，可得该时刻质点的速度和加速度。42vij22aij1—6质点的运动学方程为222ttrij(S1)，试求：(1)质点的轨道方程；(2)t＝2s时质点的速度和加速度。[解](1)由质点的运动方程，可得22,2xtyt消去参数t，可得轨道方程2124yx(2)由速度、加速度定义式，有d/d22ttvrij22d/d2tarj将t=2s代入上两式，得24vij，2aj1—10在重力和空气阻力的作用下，某物体下落的加速度为Bvga，g为重力加速度，B为与物体的质量、形状及媒质有关的常数。设t=0时物体的初速度为零。(1)试求物体的速度随时间变化的关系式；(2)当加速度为零时的速度(称为收尾速度)值为多大?[解](1)由dtdva/得dtBvgdv两边积分，得00vtdvdtgBv)1(BteBgv(2)当a=0时有a=g-Bv=0由此得收尾速率v=g/B1—12一艘正以速率0v匀速行驶的舰艇，在发动机关闭之后匀减速行驶。其加速度的大小与速度的平方成正比，即2kva，k为正常数。试求舰艇在关闭发动机后行驶了x距离时速度的大小。[解]dxdvvdtdxdxdvdtdvadvavdx对上式两边积分vvvvxkvdvdvavdx000化简得0ln1vvkx所以kxevv01—17火车在曲率半径R＝400m的圆弧轨道上行驶。已知火车的切向加速度2.0at2sm，求火车的瞬时速率为sm10时的法向加速度和加速度。[解]火车的法向加速度222sm25.040010Rvan方向指向曲率中心火车的总加速度22222sm32.02.025.0tnaaa设加速度a与速度v之间的夹角为，则041282.025.0arctgarctg0tnaa1—18一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置342t。(1)在t=2s时，它的法向加速度和切向加速度各是多少?(2)切向加速度的大小恰是总加速度大小的一半时，值为多少?(3)何时切向加速度与法向加速度大小相等?[解]质点的角速度212d/dtt质点的线速度222.11210.0ttRv质点的法向加速度an，切向加速度at为42224.1410.0)12(ttRan(1)tdtdvat4.2/(2)(1)把t=2s代入(1)式和(2)式，得此时)m/s(8.424.2)m/s(103.224.142224tnaa(2)质点的总加速度2/1622)136(4.2ttaaatn由aat21得1364.25.04.26ttt解得336t，t=0.66s所以)rad(15.3423t(3)当tnaa即tt4.24.144时有316t，t=0.55(s)附加题目：湖中一小船，岸边的人用跨过高处的定滑轮的绳子拉船靠岸(如图所示)。当收绳速度为v时，试问：(1)船的运动速度u比v大还是小?(2)若v＝常量。船能否作匀速运动?如果不能，其加速度为何值?[解](1)由图知222hsL两边对t求导数，并注意到h为常数，得dtdssdtdLL22又dtdsudtdLv/,/所以Lv=su(1)即u/v=L/s1因此船的速率u大于收绳速率v。(2)将(1)式两边对t求导，并考虑到v是常量dtdusdtdsudtdLv所以savu22即32222//)(svhsvua2—3质量为m的子弹以速率0v水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系；(2)子弹射入沙土的最大深度。[解]设任意时刻子弹的速度为v，子弹进入沙土的最大深度为s，由题意知，子弹所受的阻力f=-kv(1)由牛顿第二定律tvmmafdd即:tvmkvdd所以tmkvvdd对等式两边积分tvvtmkvv0dd0得tmkvv0ln因此tmkevv0(2)由牛顿第二定律xvmvtxxvmtvmmafdddddddd即xvmvkvdd所以vxmkdd对上式两边积分000ddvsvxmk得到0vsmk即kmvs02—3质量为m的小球，在水中受到的浮力为F，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f＝kv(k为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v与时间的关系为mktekFmgv1[证明]任意时刻t小球的受力如图所示，取向下为y轴的正方向，开始沉降处为坐标原点由牛顿第二定律tvmmafFmgdd即tvmmakvFmgdd整理得mtkvFmgvdd对上式两边积分tvmtkvFmgv00ddmgFfy0得mktFmgkvFmgln即mktekFmgv12—5跳伞运动员与装备的质量共为m，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kvF。求跳伞员的运动速率v随时间t变化的规律和极限速率Tv。[解]设运动员在任一时刻的速率为v，有牛顿第二定律tvmkvmgdd2整理得mtkvmgvdd2对上式两边积分200ddvtvtmmgkv得mtvkmgvkmgln整理得Tkgmtkgmtkgmtkgmtveekmgeev11112222设极限速率为Tv，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。此时2Tkvmg即kmgvT3—6一质量为1m与另一质量为2m的质点间有万有引力作用。试求使两质点间的距离由1x增加到dxx1时所需要作的功。[解]万有引力122ˆmmGrFr两质点间的距离由x增加到dxx1时，万有引力所作的功为1111121221111xdxdxxmmAdGdrGmmrxdxFr故外力所作的功：121111AAGmmxxd3—7设两粒子之间的相互作用力为排斥力，其变化规律为3fkr，k为常数。若取无穷远处为零势能参考位置，试求两粒子相距为r时的势能。[解]由势能的定义知r处的势能Ep为:rrrpdrrkfdrrdfE322221rkrkr3—8设地球的质量为M，万有引力恒量为0G，一质量为m的宇宙飞船返回地球时，可认为它是在地球引力场中运动(此时飞船的发动机已关闭)。求它从距地心1R下降到2R处时所增加的动能。[解]由动能定理(或者根据机械能守恒定律)，宇宙飞船动能的增量等于万有引力对飞船所作的功，即：2100022112012()[()]()RkRMmMmMmEAGdrGGRRrMmRRGRR4-5．如图所示，质量为M＝1.5kg的物体，用一根长为l＝1.25m的细绳悬挂在天花板上．今有一质量为m＝10g的子弹以v0＝500m/s的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子弹的速度大小v＝30m/s，设穿透时间极短．求：(1)子弹刚穿出时绳中张力的大小；(2)子弹在穿透过程中所受的冲量．解（1）由于穿透时间极短,可认为穿透过程在瞬间完成。此过程系统在水平方向满足动量守恒。0mvMVmv30()1010(50030)3.13/1.5mvvVmsM对M进行受力分析有223.131.59.81.526.51.25VTMgMNl(2)子弹在穿透过程中所受的冲量：301010(30500)4.7IpmvmvNs上式中负号表示冲量方向与0v方向相反。4-8如图所示，砂子从h＝0.8m处下落到以0v3sm的速率沿水平向右运动的传输带上，若每秒钟落下100kg的砂子，求传输带对砂子作用力的大小和方向。[解]如图所示，设t时间内落下的砂子的质量为m，则m的动量改变水平方向：0xxFtpmv0300xmFvNt竖直方向：()02yyxFmgtpmvmgh02yyxFtpmvmgh2396ymFghNt或者2400(10)ymFghNgt300396Fij497FN方法二：01mpvv显然有ghv2120212021vvmmvmvp根据动量定理tFp所以2020212vghtmvvtmtpFN49738.08.9210024—146月22日，地球处于远日点，到太阳的距离为111052.1m，轨道速度为sm1093.24。6个月后，地球处于近日点，到太阳的距离为111047.1m。求：(1)在近日点地球的轨道速度；(2)在近日点和远日点时地球的角速度。[解]设在近日点附近地球的轨道速度为1v，轨道半径为1r，角速度为1；在远日点地球的轨道速度为2v，轨道半径为2r，角速度为2。(1)取地球为研究对象，其对太阳中心的角动量守恒。2211vrmvrm地地所以sm1003.31047.11093.21052.14114111221rvrv(2)srad1006.21047.11003.37114111rvsrad1093.11053.11093.27114222rv4—17有两个质量都等于50kg的滑冰运动员，沿着相距1.5m的两条平行线相向运动，速率皆为10sm。当两人相距为1.5m时，恰好伸直手臂相互握住手。求：(1)两人握住手以后绕中心旋转的角速度；(2)若两人通过弯曲手臂而靠近到相距为1.0m时，角速度变为多大?[解]取两人组成的系统为研究对象，系统对两人距离中点的角动量守恒(1)设两人质量均为m，到转轴的距离为1r，握住手以后绕中心角速度为1，则有：22111111rmvrmvrmrm)rad/s(3.1375.0/10/11rv(2)设两人相距1.0米时，角速度为2，此时系统对转轴的转动惯量为2J，两人到转轴的距离为2r，则222211112222rmrmrmrm)rad/s(9.295.0/3.1375.0/22221212rr4—21如图所示，在水平光滑平面上有一轻弹簧，一端固定，另一端系一质量为m的滑块。弹簧原长为0L，倔强系数为k。当t＝0时，弹簧长度为0L。滑块得一水平速度0v，方向与弹簧轴线垂直。t时刻弹簧长度为L。求t时刻滑块的速度v的大小和方向(用角表示)。[解]因为弹簧和小球在光滑水平面上运动，所以若把弹簧和小球作为一个系统，则系统的机械能守恒，即20220)(212121LLkmvmv(1)小球在水平面上所受弹簧拉力通过固定点，则小球对固定点角动量守恒，即vmrL恒量故sin00LmvmvL(2)由(1)式得2020)(LLmkvv代入(2)式得202000)(sinargLLmkvLvL5-5有一质量为m1、长为l的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为的水平桌面上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动.另有一水平运动的质量为m2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A相撞，设碰撞时间极