大学物理第12章课后习题

1第十二章静电场中的导体和电介质12-1将一个带正电的带电体A从远处移到一个不带电的导体B附近，则导体B的电势将如何变化.答：电场中通常以无穷远处的电势为零电势参考点。导体B离A很远时，其电势为零。A带正电，所以其电场中各点的电势均为正值。因此B靠近A后，处于带电体A的电场中时，B的电势为正，因而B处的电势升高。12-2如附图所示，一导体球半径为R1，外罩一半径为R2的同心薄球壳，外球壳所带总电荷为Q，而内球的电势为U0，求此系统的电势和电场分布。解：根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布呈球对称．设内球壳带电量为q取同心球面为高斯面，由高斯定理02/π4dεqrErrESE，根据不同半径的高斯面内的电荷分布，解得各区域内的电场分布为r＜R１时，01rER１＜r＜R2时，202π4rεqrEr＞R2时，202π4rεqQrE由电场强度与电势的积分关系，可得各相应区域内的电势分布．r＜R１时，20103211π4π4dddd2211RQRqURRRRrrlElElElER１＜r＜R2时，200322π4π4ddd22RQrqURRrrlElElEr＞R2时，rQqUr03π4dlE32由题意得201001π4π4RQRqUU代入电场、电势的分布得r＜R１时，01E；01UUR１＜r＜R2时，22012012π4rRQRrURE；rRQRrrURU201012π4)(r＞R2时，220122013π4)(rRQRRrURE；rRQRRrURU2012013π4)(12-3证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等且符号相同。证:如图所示，设两导体A、B的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1，2，3，4(1)则取与平面垂直且底面分别在A、B内部的闭合柱面为高斯面时，有0)(d32SSEs∴203说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反；(2)在A内部任取一点P，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即0222204030201又∵203∴143说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同．12-4将带电量为Q的导体板A从远处移至不带电的导体板B附近，如附图所示，两导体板的几何形状完全相同，面积均为S，移近后两导体板的距离为d(d远远小于S).(1)忽略边缘效应，求两导体板间的电势差；（2）若将B接地，结果又将如何？解:（１）如图(b)所示，依照题意，由电荷守恒可得QSσσ21QSσσ43有静电平衡条件，得041σσ032σσ解得SQσσσσ24321两导体板间电场强度为SεQE02；方向为A指向B．两导体板间的电势差为SεQdUAB02（2）如图(c)所示，导体板B接地后电势为零．041σσ4SQσσ32两导体板间电场强度为SεQE0；方向为A指向B．两导体板间的电势差为：SεQdUAB012-5如图所示，由两块相距为0.50mm的薄金属板A，B构成的空气平板电容器，被屏蔽在一个金属盒K内，金属盒上，下两壁与A、B分别相距0.25mm，金属板面积为30×40mm2，求：(1)被屏蔽后的电容器电容变为原来的几倍；(2)若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰，问此时的电容又为原来的几倍。解：(1)薄金属板A和B与金属盒一起构成三个电容器,其等效电路图如图(b)所示，AB间总电容为由于金属板面积很大,各电容器都可当作平行板电容器处理.根据对称性和间隔关系得C2=C3=2C1所以总电容为C=2C1（2）当电容器一个引脚,例如B脚,与屏蔽盒相碰时,则BK间电容不存在,只有两个电容器并联,总电容为C=C1+C2=3C1.12-6有一个平板电容器，充电后极板上电荷面密为250105.4mC，现将两极板与电源断开，然后再把相对电容率为0.2r的电介质插入两极板之间，此时电介质中的D、E和P各为多少？解：由介质中的高斯定理：0dDSq0DΔSS23123CCCCCCABKABC1C2K(c)ABC1C2C3K(b)5-5-204.510CmD6102.510rDEVmεε5200(1)2.310rPED-εECmD,E,P的方向相同，垂直向下12-7一平行板电容器面积为S，两板间距离为d，中间充满均匀电介质，已知当一板带自由电荷Q时，整块电介质的总偶极矩为P，求电容器中的电场强度。解：由dSCr0SQdCQUr0所以SQEr0(1)而由SdPP得SdPP(2)极化强度：1r0EP(3)由(1)、(2)、(3)得SdPQE012-8有一个空气平板电容器，极板面积为S，间距为d．现将该电容器接在端电压为U的电源上充电，当（1）充足电后；（2）然后平行插入一块面积相同、厚度为δ（δ＜d）、相对电容率为εｒ的电介质板；（3）将上述电介质换为同样大小的导体板．分别求电容器的电容C，极板上的电荷Q和极板间的电场强度E．解：（1）空气平板电容器的电容dSεC00充电后，极板上的电荷和极板间的电场强度为UdSεQ006dUE/0（2）插入电介质后，电容器的电容C1为δdεδSεεδSεεQδdSεQQCrrr0001/故有δdεδSUεεUCCrr011介质内电场强度δdεδUSεεQErr011空气中电场强度δdεδUεSεQErr011（3）插入导体达到静电平衡后，导体为等势体，其电容和极板上的电荷分别为δdSεC02UδdSεQ02导体中电场强度02E空气中电场强度δdUE2无论是插入介质还是插入导体，由于电容器的导体极板与电源相连，在维持电势差不变的同时都从电源获得了电荷，自由电荷分布的变化同样使得介质内的电场强度不再等于E0/εｒ。12.9一空气平板电容器，空气层厚1.5cm，两极间电压为40kV，该电容器会被击穿吗？现将一厚度为0.30cm的玻璃板插入此电容器，并与两极平行，若该玻璃的相对电容率为7.0，击穿电场强度为10MVm1。则此时电容器会被击穿吗？解：未插入玻璃时，电容器内的电场强度为16mV107.2dUE7因空气的击穿电场强度Eb=3.0106Vm－1，bEE故电容器不会被击穿插人玻璃后，由习题12-8可知，空气间隙中的电场强度16rrmV102.3dVE此时，因bEE，空气层被击穿。击穿后40kV电压全部加在玻璃板两侧，此时玻璃板内的电场强度17mV103.1VE由于玻璃的击穿电场强度Eb=10MVm1，故bEE，玻璃也将相继被击穿，电容器完全被击穿。12.10一平行板空气电容器，极板面积为S，极板间距为d，充电至带电Q后与电源断开，然后用外力缓缓地把两极板间距拉开到2d。求：（1）电容器能量的改变；（2）此过程中外力所作的功，并讨论此过程中的功能转换关系。解：（1）极板间的电场为均匀场，且电场强度保持不变，因此，电场的能量密度为20220e221SQEw在外力作用下极板间距从d被拉开到2d。电场占有空间的体积，也由V增加到2V，此时电场能量增加。SdQVwW02ee2（2）两导体极板带等量异号电荷，外力F将其缓缓拉开时，应有F=F则外力所作的功为SdQQEdA02e2rF外力克服静电引力所作的功等于静电场能量的增加。12-11在半径为1R的金属球之外包有一层外半径为2R的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为r，金属球带电Q．试求：(1)电介质内、外的场强；8(2)电介质层内、外的电势；(3)金属球的电势．解:利用有介质时的高斯定理qSDSd(1)介质内)(21RrR场强303π4,π4rrQErrQDr内;介质外)(2Rr场强303π4,π4rrQErQrD外(2)介质外)(2Rr电势rQEU0rπ4rd外介质内)(21RrR电势2020π4)11(π4RQRrqr)11(π420RrQrr(3)金属球的电势rdrd221RRREEU外内222020π44πdrRRRrrQdrrQ)11(π4210RRQrr12-12如图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为r的电介质．试求：在rdrdrrEEU外内9有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值．解:如题图所示，充满电介质部分场强为2E，真空部分场强为1E，自由电荷面密度分别为2与1由0dqSD得22D，11D而202EDr,101EDd21UEE∴rDD121212-13两个同轴的圆柱面，长度均为l，半径分别为1R和2R(2R＞1R)，且l2R-1R，两柱面之间充有介电常数的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷Q和-Q时，求：(1)在半径r处(1R＜r＜2R，厚度为dr，长为l的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量；(2)电介质中的总电场能量；(3)圆柱形电容器的电容．解:取半径为r的同轴圆柱面)(S则rlDSDSπ2d)(当)(21RrR时，Qq∴rlQDπ2(1)电场能量密度22222π82lrQDw薄壳中rlrQrlrlrQwWπ4ddπ2π8dd22222(2)电介质中总电场能量10211222lnπ4π4ddRRVRRlQrlrQWW(3)电容：∵CQW22∴)/ln(π22122RRlWQC