大学物理第14章作业题

14－5设Ｓ′系以速率v＝0.60c相对于Ｓ系沿xx′轴运动，且在t＝t′＝0时，x＝x′＝0.(1)若有一事件，在Ｓ系中发生于t＝2.0×10－7ｓ，x＝50m处，该事件在Ｓ′系中发生于何时刻？(2)如有另一事件发生于Ｓ系中t＝3.0×10-7ｓ，x＝10m处，在Ｓ′系中测得这两个事件的时间间隔为多少？分析在相对论中，可用一组时空坐标(x，y，z，t)表示一个事件.因此，本题可直接利用洛伦兹变换把两事件从Ｓ系变换到Ｓ′系中.解(1)由洛伦兹变换可得Ｓ′系的观察者测得第一事件发生的时刻为s1025.1/1721211cxctt2vv(2)同理，第二个事件发生的时刻为s105.3/1722222cxctt2vv所以，在Ｓ′系中两事件的时间间隔为s1025.2Δ712ttt14－6设有两个参考系Ｓ和Ｓ′，它们的原点在t＝0和t′＝0时重合在一起.有一事件，在Ｓ′系中发生在t′＝8.0×10－8s，x′＝60m，y′＝0，z′＝0处若Ｓ′系相对于Ｓ系以速率v＝0.6c沿xx′轴运动，问该事件在Ｓ系中的时空坐标各为多少？分析本题可直接由洛伦兹逆变换将该事件从Ｓ′系转换到Ｓ系.解由洛伦兹逆变换得该事件在Ｓ系的时空坐标分别为m93/12ctxx2vvy＝y′＝0z＝z′＝0s105.2/1722cxctt2vv14－7一列火车长0.30km(火车上观察者测得)，以100km·h-1的速度行驶，地面上观察者发现有两个闪电同时击中火车的前后两端.问火车上的观察者测得两闪电击中火车前后两端的时间间隔为多少？分析首先应确定参考系，如设地面为Ｓ系，火车为Ｓ′系，把两闪电击中火车前后端视为两个事件(即两组不同的时空坐标).地面观察者看到两闪电同时击中，即两闪电在Ｓ系中的时间间隔Δt＝t2－t1＝0.火车的长度是相对火车静止的观察者测得的长度(注：物体长度在不指明观察者的情况下，均指相对其静止参考系测得的长度)，即两事件在Ｓ′系中的空间间隔Δx′＝x′2－x′1＝0.30×103m.Ｓ′系相对Ｓ系的速度即为火车速度(对初学者来说，完成上述基本分析是十分必要的).由洛伦兹变换可得两事件时间间隔之间的关系式为21221212/1cxxctttt2vv(1)21221212/1cxxctttt2vv(2)将已知条件代入式(1)可直接解得结果.也可利用式(2)求解，此时应注意，式中12xx为地面观察者测得两事件的空间间隔，即Ｓ系中测得的火车长度，而不是火车原长.根据相对论，运动物体(火车)有长度收缩效应，即21212/1cxxxx2v.考虑这一关系方可利用式(2)求解.解1根据分析，由式(1)可得火车(Ｓ′系)上的观察者测得两闪电击中火车前后端的时间间隔为s26.91412212xxcttv负号说明火车上的观察者测得闪电先击中车头x′2处.解2根据分析，把关系式21212/1cxxxx2v代入式(2)亦可得与解1相同的结果.相比之下解1较简便，这是因为解1中直接利用了12xx＝0.30km这一已知条件.14－8在惯性系Ｓ中，某事件A发生在x1处，经过2.0×10－6ｓ后，另一事件B发生在x2处，已知x2－x1＝300m.问：(1)能否找到一个相对Ｓ系作匀速直线运动的参考系Ｓ′，在Ｓ′系中，两事件发生在同一地点？(2)在Ｓ′系中，上述两事件的时间间隔为多少？分析在相对论中，从不同惯性系测得两事件的空间间隔和时间间隔有可能是不同的.它与两惯性系之间的相对速度有关.设惯性系Ｓ′以速度v相对Ｓ系沿x轴正向运动，因在Ｓ系中两事件的时空坐标已知，由洛伦兹时空变换式，可得2121212/1cttxxxx2vv(1)2121212/1cxxtttt22vcv(2)两事件在Ｓ′系中发生在同一地点，即x′2－x′1＝0，代入式(1)可求出v值以此作匀速直线运动的Ｓ′系，即为所寻找的参考系.然后由式(2)可得两事件在Ｓ′系中的时间间隔.对于本题第二问，也可从相对论时间延缓效应来分析.因为如果两事件在Ｓ′系中发生在同一地点，则Δt′为固有时间间隔(原时)，由时间延缓效应关系式2/1ΔΔctt2v可直接求得结果.解(1)令x′2－x′1＝0，由式(1)可得cttx50.0sm1050.11-81212xv(2)将v值代入式(2)，可得s1073.1/1/162122121212cttcxxtttt222vvcv这表明在Ｓ′系中事件A先发生.14－9设在正负电子对撞机中，电子和正电子以速度0.90c相向飞行，它们之间的相对速度为多少？分析设对撞机为Ｓ系，沿x轴正向飞行的正电子为Ｓ′系.Ｓ′系相对Ｓ系的速度v＝0.90c，则另一电子相对Ｓ系速度ux＝－0.90c，该电子相对Ｓ′系(即沿x轴正向飞行的电子)的速度u′x即为题中所求的相对速度.在明确题目所述已知条件及所求量的物理含义后，即可利用洛伦兹速度变换式进行求解.解按分析中所选参考系，电子相对Ｓ′系的速度为cucuuuxxxx994.012v式中负号表示该电子沿x′轴负向飞行，正好与正电子相向飞行.讨论若按照伽利略速度变换，它们之间的相对速度为多少？14－11设在宇航飞船中的观察者测得脱离它而去的航天器相对它的速度为1.2×108m·ｓ-1i.同时，航天器发射一枚空间火箭，航天器中的观察者测得此火箭相对它的速度为1.0×108m·ｓ-1i.问：(1)此火箭相对宇航飞船的速度为多少？(2)如果以激光光束来替代空间火箭，此激光光束相对宇航飞船的速度又为多少？请将上述结果与伽利略速度变换所得结果相比较，并理解光速是运动体的极限速度.分析该题仍是相对论速度变换问题.(2)中用激光束来替代火箭，其区别在于激光束是以光速c相对航天器运动，因此其速度变换结果应该与光速不变原理相一致.解设宇航飞船为Ｓ系，航天器为Ｓ′系，则Ｓ′系相对Ｓ系的速度v＝1.2×108m·ｓ－1，空间火箭相对航天器的速度为u′x＝1.0×108m·ｓ－1，激光束相对航天器的速度为光速c.由洛伦兹变换可得：(1)空间火箭相对Ｓ系的速度为1-82sm1094.11xxxucuuvv(2)激光束相对Ｓ系的速度为ccccux21vv即激光束相对宇航飞船的速度仍为光速c，这是光速不变原理所预料的.如用伽利略变换，则有ux＝c＋v＞c.这表明对伽利略变换而言，运动物体没有极限速度，但对相对论的洛伦兹变换来说，光速是运动物体的极限速度.14－16有一固有长度为l0的棒在Ｓ系中沿x轴放置，并以速率u沿xx′轴运动.若有一Ｓ′系以速率v相对Ｓ系沿xx′轴运动，试问从Ｓ′系测得此棒的长度为多少？分析当棒相对观察者(为Ｓ′系)存在相对运动时，观察者测得棒的长度要比棒的固有长度l0短，即220/1cull.式中u′是棒相对观察者的速度，而不要误认为一定是Ｓ′系和Ｓ系之间的相对速度v.在本题中，棒并非静止于Ｓ系，因而Ｓ′系与Ｓ系之间的相对速度v并不是棒与Ｓ′系之间的相对速度u′.所以本题应首先根据洛伦兹速度变换式求u′，再代入长度收缩公式求l.解根据分析，有21cuuuvv(1)220/1cull(2)解上述两式，可得2/1222202vvcucucll14－18一固有长度为4.0m的物体，若以速率0.60c沿x轴相对某惯性系运动，试问从该惯性系来测量，此物体的长度为多少？解由洛伦兹长度收缩公式m2.3/120cll2v14－20若一电子的总能量为5.0MeV，求该电子的静能、动能、动量和速率.分析粒子静能E0是指粒子在相对静止的参考系中的能量，200cmE，式中为粒子在相对静止的参考系中的质量.就确定粒子来说，E0和m0均为常数(对于电子，有m0＝9.1×10－31ｋｇ，E0＝0.512MeV).本题中由于电子总能量E＞E0，因此，该电子相对观察者所在的参考系还应具有动能，也就具有相应的动量和速率.由相对论动能定义、动量与能量关系式以及质能关系式，即可解出结果.解电子静能为MeV512.0200cmE电子动能为EK＝E－E0＝4.488MeV由20222EcpE，得电子动量为1-212/1202smkg1066.21EEcp由2/12201cEEv可得电子速率为cEEEc995.02/12202v14－21一被加速器加速的电子，其能量为3.00×109eV.试问：(1)这个电子的质量是其静质量的多少倍？(2)这个电子的速率为多少？解(1)由相对论质能关系2mcE和200cmE可得电子的动质量m与静质量m0之比为320001086.5cmEEEmm(2)由相对论质速关系式2/12201cmmv可解得ccmm999999985.012/120v可见此时的电子速率已十分接近光速了.14－22在电子偶的湮没过程中，一个电子和一个正电子相碰撞而消失，并产生电磁辐射.假定正负电子在湮没前均静止，由此估算辐射的总能量E.分析在相对论中，粒子的相互作用过程仍满足能量守恒定律，因此辐射总能量应等于电子偶湮没前两电子总能之和.按题意电子偶湮没前的总能只是它们的静能之和.解由分析可知，辐射总能量为MeV1.02J1064.121320cmE14－23若把能量0.50×106eV给予电子，让电子垂直于磁场运动，其运动径迹是半径为2.0cm的圆.问：(1)该磁场的磁感强度B有多大？(2)这电子的动质量为静质量的多少倍？分析(1)电子在匀强磁场中作匀速圆周运动时，其向心力为洛伦兹力F＝evB，在轨道半径R确定时，B＝B(p)，即磁感强度是电子动量的函数.又由相对论的动能公式和动量与能量的关系可知电子动量p＝p(E0,EK)，题中给予电子的能量即电子的动能EK，在电子静能20cmE已知的情况下，由上述关系可解得结果.(2)由相对论的质能关系可得动质量和静质量之比.本题中电子的动能EK＝0.50MeV与静能E0＝0.512MeV接近，已不能用经典力学的方法计算电子的动量或速度，而必须用相对论力学.事实上当EK＝0.50E0时，用经典力学处理已出现不可忽略的误差.解(1)根据分析，有E＝E0+EK(1)22202cpEE(2)RvmvB2e(3)联立求解上述三式，可得eRcEEEBkk002(2)由相对论质能关系，可得98.11000EEEEmmk本题也可以先求得电子速率v和电子动质量m，但求解过程较繁.