大学物理第二十一章

2020年1月3日王业伍[e-mail]浙江大学物理系大学物理甲第二十一章量子力学简介2020/1/32量子力学：描写微观粒子运动规律的学科，是近代物理学的重要基础。在量子力学基础上发展出很多新的学科,例如量子场论、量子色动力学、量子味动力学和超弦理论。2020/1/33本课时教学基本要求1、正确理解实物粒子的波动性和德布罗意假设。2、理解不确定性关系;掌握用不确定性关系解题的方法。3、理解波函数及其统计解释.2020/1/34一、德布罗意假设德布罗意出身于法国世袭贵族家庭，受其哥哥、实验物理学家莫里斯(Maurice)的影响，对于普朗克和爱因斯坦有关量子理论的工作产生了兴趣，放弃了研究法国历史的计划，投在法国物理学家朗之万的门下研究物理学。德布罗意提出人们在对光的研究上是过于忽略了光的粒子性，而对粒子的研究上是否发生了相反的错误呢？是否忽略了粒子所具有的波动性？21-1实物粒子的波动性§21-1实物粒子的波动性2020/1/351924年，年青的法国物理学家路易•德布罗意在光的波粒二象性的启示下，提出了微观粒子也应具有波粒二象性的假设。德布罗意的这一假设随后被电子衍射实验所证实，为此他获得了1929年诺贝尔物理学奖。爱因斯坦、德拜、薛定谔。2020/1/36德布罗意波（物质波）一切实物粒子，如电子、原子、分子等也具有波动性，与粒子运动相联系着的能量E和动量p也应该和光子一样，对应于某一确定的频率和波长的波，对于质量为m、运动速度为v的粒子，也应有关系hmphmcEv2由此可以得到实物粒子的波长和频率21-1实物粒子的波动性2201c/mhmhphvvv22202/1chcmhmchEv与实物粒子的运动相联系的波称为德布罗意波粒子的运动速度并不是和粒子相联系的德布罗意波的波速。2020/1/3721-1实物粒子的波动性电子的德布罗意波长：eUvmEk2021动量为eUmEmmEmmpkk00000222v动能mU.Uemhph9010225112电子被电压U加速后，若速度远小于光速，1.0001.225UVnm10000.0387UVnm2020/1/3821-1实物粒子的波动性2020/1/39二、德布罗意波的实验验证1926年，美国物理学家戴维逊和革末将电子束投射到镍单晶体表面，发现了电子衍射的现象，用波的理论计算证明了德布罗意公式的正确性。电子晶体衍射实验示意图21-1实物粒子的波动性阴极K发出电子经U加速后，通过光阑B成一细的平行电子射线，投射到镍单晶体上，反射后经D收集，电流强度I由G测出。角和U可变，角不变时，可得U~I的曲线关系或U不变时测出角和I的关系。2020/1/310调节U所得曲线如图，可以看出，只有当电压U为某些特定值时，电流才有极大值。把电子看作类似X射线的波，在晶体上衍射时，只有当入射的波长满足布拉格公式时，反射方向才能观察到电子流的极大。),2,1,0(sin2kkd21-1实物粒子的波动性I0510152025电子衍射实验中电子流强度与电压的关系U2020/1/311电子的德布罗意波长电子经U电场加速，Uemhph120由布拉格公式),2,1,0(12sin20kUemhkd当电压U满足上式时，电子流强度I有最大值。由此计算所得的U与实验结果完全相符，证明德布罗意假设的正确性。ad单晶体表面电子束在晶面上反射21-1实物粒子的波动性I0510152025U2020/1/31221-1实物粒子的波动性0000652/509050091.0nmdad单晶体表面电子束在晶面上反射I0510152025Unmk165.0,1expnmmUUemh167.010225.1129054VexpU),2,1,0(sin2kkd第一极大2020/1/313德布罗意曾预言：一束电子穿过非常小的孔可能产生衍射现象。1927年发现电子的J.J.汤姆孙之子G.P.汤姆孙完成了专门为证明电子波动性的电子衍射实验，所得衍射图样与X射线衍射图样完全相同。接着，1929年埃斯特曼用氦原子束和氢分子束进行了衍射实验，1936年冯哈尔巴恩和普赖斯沃克获得了中子的衍射实验结果。这些实验结果都明确地显示了微观粒子具有与光波相同的波动性。21-1实物粒子的波动性2020/1/314由以上实验结果可得出结论，自然界中一切微观粒子，不管它们的静止质量是否为零，是否带电，都具有“波粒二象性”，其波动性和粒子性是它们的本质在不同方面的表现。因圆孔衍射，显微镜的最小分辨本领受限于波长，微观粒子的波长短，利用微观粒子的波动性，1931年鲁斯卡设计了第一台电子显微镜，其最小分辨率大于光学显微镜。1985年获诺贝尔物理学奖。21-1实物粒子的波动性1999年维也纳研究组证明大到像富勒烯(C60,碳六十)这样的大分子都有波动性的衍射图。2020/1/315例计算质量m=0.010kg，速度v=300m/s的子弹的德布罗意波长，并与由150V电势差加速的电子的德布罗意波长比较。解求子弹的德布罗意波长，把所给数据代入德布罗意公式，注意到子弹的速度远小于光速)m(1021.230001.01063.63434vmhph电子被150V电压加速后的波长：21-1实物粒子的波动性nmU.Uemhph2251120nm.VU66701502020/1/316可以看出，对于宏观物体，普朗克常量h是个非常小的量，宏观物体的德布罗意波长是如此之小，以致不能观察到它的波动性。而对于微观粒子，其德布罗意波长相对要大得多，电子的德布罗意波长已接近原子的大小，因此，在原子范围内，电子明显地表现出波动性。21-1实物粒子的波动性2020/1/31721-2不确定性关系§21-2不确定性关系电子的双缝干涉实验1、子弹双缝实验2020/1/31821-2不确定性关系§21-2不确定性关系2、水波双缝实验2020/1/31921-2不确定性关系§21-2不确定性关系3、电子双缝实验（思想实验，ThoughtExperiment）2020/1/32021-2不确定性关系§21-2不确定性关系4、电子双缝实验（1970电子双棱镜实验）2020/1/32121-2不确定性关系§21-2不确定性关系追踪电子2020/1/322一、位置和动量的不确定关系在经典力学中，物体的运动状态可由位置和动量（速度）等来描述，它们可以同时被确定。对于微观粒子，其波长与粒子的尺度可比拟，粒子的位置和动量不能同时确定，这就是位置和动量的不确定关系。21-2不确定性关系§21-2不确定性关系2020/1/32321-2不确定性关系1927年德国物理学家海森伯(Heisenberg)指出，对于微观粒子要同时测出位置和动量，其精度有一定的限制。若微观粒子坐标的不确定量是x，动量的不确定度是px，则两者的乘积总是大于某一数值：24hpxx海森伯不确定关系表示微观粒子的位置和动量不能同时具有确定的值，给出了同时测定一个微观粒子位置和动量的精度的极限，无论测量仪器精度如何，测量结果都不可能超过这一极限，因此也称为测不准关系。与测量方法无关!与认识局限性无关!海森伯不确定关系2ypy2zpz21-2不确定性关系2020/1/324德国物理学家，量子力学的创立者之一，“哥本哈根学派”的代表性人物。1932年由于在建立量子力学理论过程中的杰出贡献而获得诺贝尔物理学奖。他独立于薛定谔提出了量子力学的另外一种表述方式-矩阵力学，被证明和薛定谔的波动力学完全等价。德国物理学家W.K.Heisenberg2020/1/325设电子束沿y轴通过宽度为a的狭缝衍射。电子通过狭缝的坐标不确定范围是x~a。大多数电子都落在中央衍射明条纹内，电子达第一衍射极小处的动量为p，所以动量在x方向的不确定范围为px=psin1。pypxpxy电子束狭缝a衍射屏121-2不确定性关系2020/1/326由衍射理论asin1=和德布罗意关系=h/ppypxpxy电子束狭缝a衍射屏1xphphax11sinsin得到hpxx若考虑次级衍射，则px更大hpxx21-2不确定性关系这与经过严格推导的不确定关系在物理含意上是完全相同的，它表明缝宽a越小，x的测定越准确，则衍射主极大的范围就越大，衍射现象越显著，动量的不确定范围也就越大，微观粒子的位置和动量不能同时被精确地确定。1sinppx2020/1/32721-2不确定性关系24hpxx海森伯不确定关系(严格推导)xxph做数量级估算时也可以用:严禁使用xxp2xhxp2020/1/328例原子的线度约为1010m，求原子中电子速度的不确定量，分析这时电子能否看成经典力学中的粒子。电视显像管中的电子受到约1万伏的加速电压作用，速度可达到107m/s的数量级，若电子束的直径为1.0104m，此时电子横向速度的不确定量为多少？能否用经典力学处理？解原子中电子位置的不确定范围就是原子的线度，即x1010m。由不确定性关系，电子速度的不确定量为)m/s(108.510101.914.341063.625103134xmmpxxv21-2不确定性关系2020/1/329由玻尔理论可以估算出氢原子中电子速率约为106m/s，显然原子中电子在任一时刻都没有完全确定的位置和速度，故不能看作经典粒子，表现出波动性。在显像管中，由题意知电子横向位置的不确定量x=1.0104m，则由不确定关系得)m/s(58.0100.1101.914.341063.6243134xmxv由于这时电子速度约为107m/s，有vvx，完全可以忽略，波动性不起什么实际作用，因此电子运动仍可用经典力学来处理，表现出粒子性。21-2不确定性关系例题解析21.42020/1/330二、能量和时间的不确定关系21-2不确定性关系2tE若粒子在某状态的寿命是Δt，则该状态的能量是不确定的，能级宽度ΔE和寿命Δt满足用上述关系可以解释谱线宽度。原子在激发态的典型的平均寿命t=10-8s，则原子激发态的能级自然宽度为)eV(103.328tE2020/1/331还可以有其它形式的不确定关系，凡满足这一关系的两个量称为正则共轭量。这一关系是建立在波粒二象性基础上的普遍原则，是物质本身固有特性决定的，它更真实地揭示了微观体系的运动规律。由于普朗克常数h是一个极小的量，所以对于宏观物体，其坐标和动量的不确定量相对很小，说明物体的波动性可以忽略，仍可用经典力学的方法处理。21-2不确定性关系2BAA,B为一对共轭量2020/1/33221-3波函数及其统计解释物质波的存在已经得到了证实，如何描述微观粒子的运动状态？奥地利物理学家E.Schrödinger提出可用一个波函数(r,t)来描述物质波，称为物质波的波函数。§21-3波函数及其统计解释奥地利物理学家E.Schrödinger2020/1/333一.波函数的引入：（与平面机械波类比）在经典物理学中，一个频率为、波长为、沿x方向传播的平面简谐波（如机械波、电磁波）的波动方程可以表示为0(,)cos2()xyxtyt写成复数形式：0(,)exp(2())xyxtyit0[cos2()sin2()]xxyytit而只取其实数部分:2020/1/334)(0)(20)(20eee),(EtpxiEtpxhixtiΨΨΨtxΨ这就是一维自由粒子物质波的波函数。由德布罗意关系E=h和p=h/，将用能量E表示，用动量p表示，可得到25-3薛定谔方程对于沿x方向运动的自由粒子（不受