大学物理课程第5章刚体的定轴转动.

教材:自编教材《大学物理Ⅰ讲义》2013年春季学期开始制作:红河学院理学院ZhuQiaoZhong第5章刚体的定轴转动Manufacture:ZhuQiaoZhong2第5章刚体的定轴转动1.刚体的平动连接刚体中任意两点的线段在运动中始终保持平行。一、刚体运动的基本形式：平动和转动特点:刚体上所有点的运动轨迹、都相同,可用质点运动来描述。avr、、1.刚体是理想模型。2.在外力的作用下,其上任意两点均不发生相对位移。刚体：受力时不形变的物体。§5.1刚体运动的描述Manufacture:ZhuQiaoZhong3第5章刚体的定轴转动刚体上各点都绕同一转轴作半径不同的圆周运动，在相同时间内转过相同的角度。2.刚体的定轴转动特点：（1）刚体上各点在垂直转轴的平面内作圆周运动；（2）刚体上各点的均相同。Δ、、Manufacture:ZhuQiaoZhong4第5章刚体的定轴转动3.刚体的一般运动随质心的平动绕质心的转动+Manufacture:ZhuQiaoZhong5第5章刚体的定轴转动转动平面：与转轴Oz相垂直的平面1.角坐标二、刚体定轴转动的描述xOΔ转动平面参考方向z规定：位矢沿参考轴逆时针转动时为正。的单位：rad（弧度）运动方程：)(t2.角位移θ3.角速度dtdθωdtdθtθωt0limω的单位：rad/sω的方向：满足右旋法则00zz刚体定轴转动的方向可以用ω的正负表示。Manufacture:ZhuQiaoZhong6第5章刚体的定轴转动22dtθddtdωβ4.角加速度vrsxO转动平面参考方向zdtdωtωt0lim方向加速：β与ω同向减速：β与ω反向22rωrvardtrωddtdvant:)(:法向加速度切向加速度22ntaaantereraˆˆ2Manufacture:ZhuQiaoZhong7第5章刚体的定轴转动2rararvrsnt线量与角量的关系rvvrarvt2比较222121202202202000ttttxavvttattvxtatvv刚体定轴匀变速转动质点匀变速直线运动Manufacture:ZhuQiaoZhong8第5章刚体的定轴转动例5.1一飞轮半径为0.2m、转速为150r/min，因受制动而均匀减速，经30s停止转动。试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后t=6s时飞轮的角速度；（3）t=6s时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度。解：根据题意知飞轮做匀减速转动，据题给条件可求得β设t=0时，rad/sπrω51500min/,00飞轮的角加速度2063050rad/sπrad/sπtωω飞轮在30s内转过的角度rad756π2π522202π)()(飞轮在30s内转过的圈数r537π2π75π2.N（1）Manufacture:ZhuQiaoZhong9第5章刚体的定轴转动（2）t=6s时，飞轮的角速度srad4srad66π50/π/)π(t（3）t=6s时，飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度分别为2252420m/s.πm/s.rωv221050620m/s.m/sπ.rβat)(222631420m/s.π.rωan)(Manufacture:ZhuQiaoZhong10第5章刚体的定轴转动§5.2力矩一力对点的力矩支点FFxyzrMPOFrM大小：sinrFM方向：满足右旋定则单位：NmManufacture:ZhuQiaoZhong11第5章刚体的定轴转动在直角坐标系中FxyzrMPOkFjFiFFkzjyixrzyxˆˆˆˆˆˆzyxFFFzyxkjiFrMˆˆˆkyFxFjxFzFizFyFFrMxyzyyzˆ)(ˆ)(ˆ)(xyzzxyyzxyFxFMxFzFMzFyFM力对各坐标轴的力矩二力对轴的力矩一般地，力对Oz轴的力矩:cossincosrFMMzManufacture:ZhuQiaoZhong12第5章刚体的定轴转动若:inFFFFF21则:FrM)(21nFFFrnFrFrFr21nMMM21即:iiMFrM合力对某点的力矩等于各分力对同一点的力矩的矢量和。同理：合力对某轴的力矩等于各分力对同一轴的力矩的矢量和。三合力的力矩Manufacture:ZhuQiaoZhong13第5章刚体的定轴转动四、力矩作的功在转动平面内，设多个外力作用于刚体，第i个力作用于任意点C，位矢与的夹角为φi，dt时间内刚体转过,角。点C的位移为。iFirdldiFoxzCiFiridθld所作的元功为：iFdrFdrFdlFldFdAiiiiiiisincoscosdMdAzzM如果刚体在力矩的持续作用下绕定轴从，力矩的所作的功为：2121dMAz力矩的瞬时功率可以表示为：zzMdtdMdtdAPManufacture:ZhuQiaoZhong14第5章刚体的定轴转动一、刚体定轴转动动能：§5.3刚体的定轴转动0zω△miiriv考虑i体元Δmi，距轴iriirvi体元的动能：2222121iiiiikirmvmE所有体元的动能求和：2122)(2121iniiiiikrmvmE定义刚体对转轴的转动惯量J21iniirmJ∴221JEkJ由刚体对轴的质点分布决定Manufacture:ZhuQiaoZhong15第5章刚体的定轴转动1.J的定义（1）质点2mrJ二、刚体的转动惯量（2）质点系2iirmJ（3）质量连续分布的刚体dmrJ2dVrdSrdlr222质量连续、均匀分布的刚体，质量分布三种类型：分布类型质量密度质元的质量表示形式线分布所取线元dl的质量为：面分布所取面元dS的质量为：体分布所取体元dV的质量为：lmdldmSmdSdmVmdVdmManufacture:ZhuQiaoZhong16第5章刚体的定轴转动（1）刚体的质量及其分布。3.决定J的三个因素2.J的单位：（2）转轴的位置。结论：4.J的意义：刚体转动惯性大小的量度。同一刚体对不同转轴的转动惯量不同，凡是提到转动惯量，必须指明它是对哪个轴的才有意义。2mkgManufacture:ZhuQiaoZhong17第5章刚体的定轴转动飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？竿子长些还是短些较安全？Manufacture:ZhuQiaoZhong18第5章刚体的定轴转动圆环转轴通过中心并与环面垂直圆环转轴沿环的直径圆柱体转轴沿几何轴圆柱体转轴通过中心并与几何轴垂直细棒转轴通过中心并与棒垂直细棒转轴通过端点并与棒垂直几种常见形状刚体的转动惯量2mrJ221mrJ221mrJlr2212141mlmrJ2121mlJ231mlJManufacture:ZhuQiaoZhong19第5章刚体的定轴转动薄圆盘转轴通过中心并与盘面垂直薄圆盘转轴沿着直径球体转轴通过球心球体转轴沿着切线221mrJ241mrJ252mrJ257mrJ2rManufacture:ZhuQiaoZhong20第5章刚体的定轴转动1.平行轴定理2mdJJcd计算刚体转动惯量的两个定理mcdd2.垂直轴定理yxzJJJOxzyManufacture:ZhuQiaoZhong21第5章刚体的定轴转动解：（1）先求细棒对转轴的转动惯量然后再求转动动能。例5.2一根质量为m=1.0kg、长为l=1.0m的均匀细棒，绕与棒相互垂直的转轴以角速度ω=63rad/s在旋转，求以下两种情形下的转动惯量和转动动能。（1）转轴过质心；（2）转轴位于细棒的端点。mdozxxdxl取质元：dxlmdm22222121mldxlmxdmrJll)(.JJEk22107121mdozxxdxl（2）mldxlmxdmrJl202231)(108.62122JJEk也可运用“平行轴定理”求JManufacture:ZhuQiaoZhong22第5章刚体的定轴转动Rdrr例5.3求质量为m、半径为R的均质薄圆盘对通过盘心并垂直于盘面的轴的转动惯量。解：如图所示，取半径为r、宽为dr的圆环面元dS，其质量为πrdrσdm2盘的质量分布均匀，盘的质量面密度为2Rm圆盘对oz轴的转动惯量为20302212mRdrrπσdmrJRRz思考：（1）飞轮的质量为什么大都分布于轮缘?（2）如果均质薄圆盘的转轴过圆心且与盘面平行，你能利用垂直轴定理求得其转动惯量吗？Manufacture:ZhuQiaoZhong23第5章刚体的定轴转动例5-4如图示，质量为m，长为l的均质细杆最初水平静止。设轴光滑，当细杆自然下摆至摆角为θ时，角速度多大？解：当细杆下摆至摆角为θ时，细杆的质心C下移ω0Cθmgθl/4sin4l视细杆与地球为一系统，在细杆下摆过程中，只有重力作功，所以机械能守恒。取细杆最初水平面为零势能面，有sin42102lmgJ细杆的J可由平行轴定理求得：222204874121mllmmlmdJJc)(以上两式联解即得lg7sin62lg7sin62Manufacture:ZhuQiaoZhong24第5章刚体的定轴转动根据质点系功能原理，外力和非保守内力对系统所作的总功等于系统机械能的增量。三动能定理这一原理也适用于刚体，但刚体内质点间距保持不变，一切内力的功均为0。对于定轴转动的刚体而言，外力的功总表现为外力矩所作的功，系统的机械能则表现为刚体的转动动能，所以有：21222121JJEAk定轴转动刚体的动能定理：对于定轴转动的刚体，外力矩所作的功等于刚体转动动能的增量。Manufacture:ZhuQiaoZhong25第5章刚体的定轴转动1.导出：四转动定律kzdEdAdMdAdJJddMz)21(2dtdJdtdMzJMz在定轴转动中，刚体相对于某特定转轴的Jβ，等于作用于刚体的外力相对于同一转轴的合力矩。Manufacture:ZhuQiaoZhong26第5章刚体的定轴转动2.转动定律的描述：(1)转动定律是瞬时作用定理（表示式中各量均须同时对同一刚体、对同一转轴而言）(2)由Mz=Jβ知：在相同的外力矩作用下，J越大，则β越小，即刚体的转动状态越难改变；反之，J越小β越大，即刚体的转动状态越容易改变。∴J是描述刚体定轴转动的惯量大小的量，是刚体绕某定轴转动时的固有性质，与其转动状态无关。(3)Mz=Jβ只适用于刚体定轴转动过程中，对转轴的转动惯量始终保持不变的情况。Manufacture:ZhuQiaoZhong27第5章刚体的定轴转动例5-5如图所示的阿特武德机，定滑轮是均匀实心圆盘形，质量为m,半径为r，已知m1m2，求m1的加速度。不计滑轮与轴的摩擦，不计线的质量。解：受力分析：注意3.转动定律应用举例21TTm2gT2T1T2rm1gT1m1m2a列方程：JrTTamgmTamTgm)(21222111考虑到：221mrJrammmgmma)(2)(22121Manufacture:ZhuQiaoZhong28