大学线性代数空间直角坐标系向量坐标表示

Chapter1(2)空间直角坐标系向量坐标表示教学要求：1.理解空间直角坐标系，理解向量的表示;2.掌握向量的坐标运算;3.掌握单位向量、方向角与方向余弦、向量的坐标分解式..空间直角坐标系一.运算利用坐标作向量的线性二.向量的模与方向余弦三.空间直角坐标系一x横轴y纵轴z竖轴定点o空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系.即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向.1.坐标系的建立三个坐标面与八个卦限：Ⅶxyozxoy面yoz面zox面ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ2.空间点与有序数组的关系空间的点有序数组),,(zyx113.坐标轴与坐标面上点的坐标的特征)0,0,0(O坐标原点),,(zyxMxyzo)0,0,(xP)0,,0(yQ),0,0(zR)0,,(yxA),,0(zyB),,(zoxC坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点,A,B,C4.关于原点、坐标轴、坐标面对称的点)(IV),(III),(II),(I)(VIII),(VII),(VI),(V)0,0,0(),,(zyx轴oxzyx),,(),,(),,(zyxzyxoy轴),,(),,(zyxzyxoz轴xoyzyx),,(),,(),,(zyxzyxyoz),,(),,(zyxzyxzox),,(zyx),,(zyx),,(zyx5.向量的坐标分解式xyzo),,(zyxMPNQRNMPNOPOMOROQOPkzjyix称为向量的坐标分解式.;,,,,轴上的分向量在分别叫做ozoyoxkzjyix.,,,,轴上的坐标或投影在分别叫做ozoyoxzyx),,(zyxkzjyix.)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(称为基本单位向量其中kji.运算利用坐标作向量的线性二的分解式求设2122221111),,,(),,,(.1MMzyxMzyxMxyzo1M2M)()(111222kzjyixkzjyixkzzjyyixx)()()(121212),,(121212zzyyxx1221OMOMMM)()(.2222111kzjyixkzjyixkzzjyyixx)()()(212121),,(212121zzyyxx)()(222111kzjyixkzjyixkzzjyyixx)()()(212121),,(212121zzyyxx)(111kzjyixkk)()()(111kkzjkyikx),,(111kzkykxSolution.},,{111zzyyxxAM},,{222zzyyxxMB设),,(zyxM为直线上的点，ABMxyzoex1设),,(111zyxA和),,(222zyxB为两已知点，而在AB直线上的点M分有向线段AB为两部分AM、MB，使它们的值的比等于某数)1(，即MBAM，求分点的坐标.由题意知：MBAM},,{111zzyyxx},,,{222zzyyxx1xx)(2xx1yy)(2yy1zz)(2zz,121xxx,121yyy,121zzzM为有向线段AB的定比分点.M为中点时，,221xxx,221yyy.221zzz.向量的模与方向余弦三1.向量的模xyzo),,(zyxMPNQR由右图及勾股定理可知:222OROQOPOM222zyx即为向量的模的坐标表示式.21221221221zzyyxxMM从而有空间两点间距离公式ex2求证以)1,3,4(1M、)2,1,7(2M、)3,2,5(3M三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.Solution:221MM,14)12()31()47(222232MM,6)23()12()75(222213MM,6)31()23()54(22232MM.13MM结论成立.ex3设P在x轴上，它到)3,2,0(1P的距离为到点)1,1,0(2P的距离的两倍，求点P的坐标.Solution.设P点坐标为),0,0,(x因为P在x轴上，1PP22232x,112x2PP22211x,22x1PP,22PP112x222x,1x所求点为).0,0,1(),0,0,1(2.两向量的夹角,),(),(.,,记为的夹角向之间不大于正与的夹角就是指与点交于设向量O.0且,//时当.,;0,若反向若同向类似地，可定义向量与坐标轴以及坐标轴间的夹角.3.向量在轴上的投影空间一点在轴上的投影uAA过点A作轴u的垂直平面，交点A即为点A在轴u上的投影.空间一向量在轴上的投影uAABB已知向量的起点A和终点B在轴u上的投影分别为BA,那么轴u上的有向线段BA的值，称为向量在轴u上的投影.BAuBABAuBABABAABju,0,,Pr反向与同向与关于向量的投影定理1向量AB在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：ABjuPrcos||AB证uABABBABjuPrABjuPrcos||ABu注意：投影为正；投影为负；投影为零；uabc(4)相等向量在同一轴上投影相等；0)1(,22)2(,)3(,2(5)在同一轴上投影相等的两个向量不一定相等.u关于向量的投影定理2两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和..PrPr)(PrjjjAABBCC（可推广到有限多个）u.Pr)(Prjkkj4.向量x,y,z的方向余弦的坐标表示式非零向量的方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.、、,0,0.0xyzo1M2M由投影定理可知cos||Proxjxcos||Proyjycos||Prozjz向量的方向余弦,0222时当zyx,cos222zyxx,cos222zyxy.cos222zyxz向量方向余弦的坐标表示式1coscoscos222方向余弦的特征||}.cos,cos,{cos)cos,cos,cos(ex4求平行于向量kjia676的单位向量的分解式.Solution:所求向量有两个，一个与同向，一个反向a222)6(76||a,11||aa0a,116117116kji或为||aa.116117116kjiSolution.设向量21PP的方向角为、、,3,4,1coscoscos222.21cos,21cos,22cos.),3,0,1(,43,2,.5212121的坐标求的坐标为如果和分别为轴的夹角轴和它与已知设有向量PPyxPPPPex.32,3设2P的坐标为),,(zyx,1cosx21PP21x21,2x0cosy21PP20y22,2y3cosz21PP23z,2,4zz2P的坐标为).2,2,2(),4,2,2(21Solution:pnma34)853(4kji)742(3kji)45(kji,15713kji在x轴上的投影为13xa,在y轴上的分向量为j7..34,45,742,853.6轴上的分向量轴上的投影及在在求向量设yxpnmakjipkjinkjimexTheend