金融工程(5)

12股票指数，是运用统计学中的指数方法编制而成的、反映股市中总体股价或某类股票价格变动和走势情况的一种相对指标。如DJIA、S＆P500、中国沪深300指数。以股票指数作为标的资产的股票指数期货，则是指交易双方约定在将来某一特定时间交收“一定点数的股价指数”的标准化期货合约，通常简称为股指期货。如沪深300指数期货、S＆P500指数期货。3股指期货交易特殊性：（1）现金结算交割；（2）股指期货的合约规模不是固定的，而是按照开立股指期货头寸时的价格点数乘以每个指数点所代表的金额。4股价指数可以近似地看作是支付已知收益率的资产,在无套利的市场条件下:(3.7)注意式（3.7）的例外：在CME交易的以美元标价的日经225指数期货无法使用式（3.7）进行定价。5()()rqTtFSe6以买现货卖期货套现为例:美元日本美国原因在于：该期货的标的资产为在日本大阪证券交易所交易的以日元计价的日经225股价平均数，而该期货是以美元计价的，合约规模为日经225股价平均数乘以5美元，而且该合约实行现金结算，这样我们就无法通过无套利定价方法来定价。指数套利（IndexArbitrage）：当股指期货的实际价格偏离理论价格时，市场就存在着套利机会。“程序交易”（ProgramTrading）7若实际的期货价格高于理论价格，即，投资者可以通过买入该股票指数的成分股并卖出相应的股指期货，期货到期卖出股票交割股指期货进行套利；若实际的期货价格低于理论价格，即，则投资者可以卖空该股票指数的成分股，买入相应的股指期货，期货到期买回股票交割股指期货进行套利。注：套利者常常通过交易一些与股指变动同步的代表性股票进行指数套利。由计算机进行打包交易（程序交易）8()()rqTtGSe()()rqTtGSe1.多头套期保值与空头套期保值股指期货的标的资产是市场股票指数，因此运用股指期货进行套期保值，管理的是股票市场的系统性风险。股指期货的套期保值操作中较多存在交叉套期保值的现象，股指期货的标的资产是特定的市场指数，而被保值对象则可以是市场中特定的股票、股票组合或市场指数组合。92.股指期货的最优套期保值比率一元线性回归方程CAPM10HGrabr)(RHfMfrRrHabG2.股指期货的最优套期保值比率第四章所推导的最小方差套期保值比率适用于股指期货：注意这个式子与CAPM衡量股票系统性风险的β系数的公式极为类似：（5.1）11HHGGn2iMiiMMMRRRRRRR如果：（1）所表示的市场指数组合与我们用于套期保值的股指期货价格变动一致；（2）套期保值期间，被套期保值的股票组合的β系数能很好地代表其真实的系统性风险，则β的确是股指期货最优套期保值比率的一个良好近似。12MR案例：沪深300股指期货套期保值•假设某投资经理管理着一个总价值为40000000元的多样化股票投资组合并长期看好该组合，该组合相对于沪深300指数的β系数为1.22。2012年3月14日，该投资经理认为短期内大盘有下跌的风险，可能会使投资组合遭受损失，决定进行套期保值。13案例：沪深300股指期货套期保值•假定用2012年4月到期深沪300股指期货来为该投资组合未来一个月的价值变动进行套期保值。2012年3月14日该股指期货价格为2627点。•如果运用最小方差套期保值比率并以该投资组合的β系数作为近似，需要卖出的期货合约数目应等于14400000001.2261.92622627300份当前文所述的两个条件满足时，运用β系数进行的股指期货套期保值往往可以使投资者的整体投资组合的系统性风险为零。假设某投资者希望将其原有组合中的部分股票转化为短期国库券，她可以利用股指期货而无需出售股票达到这一效果：保留该部分股票，同时根据β系数出售与该部分股票价值相对应的股指期货空头，就可以创建一个合成的短期国库券（SyntheticT-Bill）。股票多头＋股指期货空头＝短期国库券多头15反过来，投资者同样也可以利用短期国库券的多头和股指期货的多头创建一个合成的股票组合（SyntheticEquityPosition），达到将原有的短期国库券转化为股票组合的目的。163.改变投资组合的系统性风险暴露投资者可以利用股指期货，根据自身的预期和特定的需求改变股票投资组合的β系数，从而调整股票组合的系统性风险与预期收益。设定股票组合的原β系数为，目标β系数为。则套期保值比率就应该为，需要交易的股指期货份数为（5.2）和分别代表股票投资组合的总价值与一份股指期货合约的规模。17***HGVVHVGV当时，意味着投资者希望提高所承担的系统性风险，获取更高的风险收益，应进入股指期货多头，式（5.2）大于零；当时，意味着投资者希望降低所承担的系统性风险，应进入股指期货空头，式（5.2）小于零。显然最优套期保值比率是目标的特例。18***0在实际中，人们常常用（5.3）代替式（5.2）。当前文所述的两个条件不成立时，β系数不是股指期货最优套期保值比率b的一个良好近似，就需要使用式（5.3）进行改善。19*/HGVbV20普通的远期外汇协议是在当前时刻由买卖双方确定未来某一时刻按约定的远期汇率买卖一定金额的某种外汇。我们采用支付已知收益率资产远期合约的定价公式为直接远期外汇协议定价。21可以得到直接远期外汇协议的远期价值为（5.4）远期汇率为（5.5）式（5.5）就是国际金融领域著名的利率平价关系。若,外汇远期贴水；若,外汇远期升水。22frrfrr()()frTtrTtfSeKe()()frrTtFSe远期外汇综合协议的概念远期外汇综合协议是指从未来某个时点起算的远期外汇协议，即当前约定未来某个时点的远期汇率，其实质是远期的远期。交割方式：实物交割现金结算23实际中，实物交割是，双方在当前t时刻约定买方在结算日T时刻按照协议中规定的结算日远期汇率K用第二货币（本币）向卖方买入一定名义金额A的原货币（外币），然后在到期日T*时刻再按合同中规定的到期日远期汇率K*把一定名义金额（在这里假定也为A）的原货币出售给卖方。在这里，所有的汇率均指用第二货币表示的一单位原货币的汇率。为论述方便，我们把原货币简称为外币，把第二货币简称为本币。24远期外汇综合协议的定价远期外汇综合协议多头的现金流为：T时刻：A单位外币减AK本币T*时刻：AK*本币减A单位外币这些现金流的现值即为远期外汇综合协议多头的价值f。（5.6)25*********()()()*()()()()()()()*[][]ffffrTtrTtrTtrTtrrTtrrTtrTtrTtfASeAKeAKeASeAeSeKAeKSe远期汇率就是令合约价值为零的协议价格，因此(5.7)(5.8)从上述讨论中我们可以看到，远期外汇综合协议可以理解为约定的是未来T时刻到T*时刻的远期差价。将F和F*代入ERA价值公式可得甲方的ERA价值为26()()frrTtFSe***()()*frrTtFSe****rTtrTtAeFKAeKF27现金结算：ERA约定的是未来T到T*时刻的远期升贴水WK。买卖双方在T时刻用本币按照真实升贴水幅度W与WK的差异结算外币升贴水变化带来的损益。在任意时刻，合理的升贴水幅度为WF=F*-F对于甲方而言，任意t时刻ERA的价值为对于甲方而言，到期T时刻的结算盈亏为********tKtrTtrTttPVAWWPVAKKFFPVAFKKFAeFKAeKF****rTTTASKAeKF案例：ERA定价•2007年10月10日，伦敦银行同业拆借3个月期美元利率为5.2475%，1年期美元利率为5.0887%，3个月期日元利率为1.0075%，1年期日元利率为1.1487%。•同时，美元对日元的即期汇率为0.0085美元/日元。本金1亿日元的3个月×1年ERA的3个月合同远期汇率为0.008615美元/日元，1年合同远期汇率为0.008865美元/日元。•请问该合约理论上的远期汇率、远期差价和远期价值等于多少？28案例：ERA定价•3个月期理论远期汇率为•1年期理论远期汇率为•3个月×1年理论远期差价为29日元美元/000251.0008591.0008842.0**FFW(0.0524750.010075)0.250.00850.008591/Fe美元日元(0.0508870.011487)1*0.00850.008842/Fe美元日元案例：ERA定价•根据公式（5.9），对于合约甲方而言，该ERA价值为：300.0524750.250.05088710.0085910.0086151182.830.0088650.008842ee亿美元31远期利率协议（FRA）是买卖双方同意从未来某一商定的时刻开始的一定时期内按协议利率借贷一笔数额确定、以具体货币表示的名义本金的协议。(案例5.3）FRA常见的做法是进行现金结算，即结算金额为利差的贴现值。因此，FRA中的本金通常被称为“名义本金”。32注意，FRA的多方为利息支付者，即名义借款人，其订立FRA的目的主要是为了规避利率上升的风险。相应地，FRA的空方则是利息获得者，即名义贷款人，其订立FRA的目的主要是为了规避利率下降的风险。在远期利率协议中，远期价格就是远期利率协议中的理论协议利率，或称为远期利率（ForwardInterestRate），这是金融工程中最重要的概念之一。33远期利率是指现在时刻的将来一定期限的利率，而即期利率是指当前时刻起一定期限的利率。2007.9.12007.10.12007.11.112007.12.12008.1.11×2远期利率2×3远期利率3×4远期利率1个月即期利率2个月即期利率2×4远期利率34远期利率如何决定？远期利率是由一系列即期利率决定的。假设现在时刻为t，T时刻到期的即期利率为r，T*时刻（）到期的即期利率为，则t时刻的期间的远期利率应满足以下等式:（5.11）若式（5.11）不成立，就存在套利空间。*r35Fr*TT*TT***FrTTrTtrTteee***FrTTrTtrTt对（5.11）变形可得：（5.12）这是远期利率的常用计算公式，进一步变形可得（5.13）36***FrTtrTtrTT*******FrTTrTtrTtTtrrrrTTTT如果即期利率期限结构在期间是向上倾斜的，即，则；如果即期利率期限结构在期间是向下倾斜的，即，则。37*TT*TT*rr*Frr*rr*Frr考虑时刻t的两个远期利率协议，它们的名义本金均为A，约定的未来期限均为，第一个FRA的协议利率采用市场远期利率，第二个FRA的协议利率为。显然，这两个FRA之间的唯一不同就是时刻的利息支付。换句话说，t时刻第二个FRA与第一个FRA的价值差异就是时刻不同利息支付的现值（5.14）38*TTFrKr*T*T**(*)(*)KFrTtrTTrTTAeAee由于第一个FRA中的协议利率为理论远期利率，其远期价值应为零。则第二个FRA的价值就等于式（5.14）。式（5.14）适合于任何协议利率为的远期利率协议价值的计算。39Kr40利率期货是指以利率敏感证券作为标的资产的期货合约。人们通常按合约标的期限，将利率期货分为短期利率期货和长期利率期货。41短期利率期货是以（期货合约到期时）期限不超过1年的货币市场利率工具为交易标的的利率期货，其典型代表为在CME交易的3个月欧洲美元期货；长期利率期货是以（