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老师来了网出品-1-源于老师来了网数学教师群全等三角形428878328知识导引1、全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应角相等，对应边相等；（2）全等三角形的对应角的角平分线相等，对应边上的中线、高线分别相等；2、全等三角形的判定方法：（1）定义：能够重合的两个三角形叫做全等三角形；（2）边角边（SAS）：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；（3）角边角（ASA）：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；（4）角角边（AAS）：有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；（5）边边边（SSS）：有三边对应相等的两个三角形全等。3、会用三角形全等的判定定理来证明有关问题，并会进行有关计算。4、全等三角形知识是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点，运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线的位置关系等常见的几何问题。利用全等三角形证明问题时，关键在于从复杂的图形中找到一对基础的三角形，这对基础的三角形从实质上来说，是由三角形全等判定定理中的一对三角形变位而来，也可能是由几对三角形组成，其间的关系互相传递，应熟悉涉及有公共边、公共角的以下几类基本图形：典例精析例1：如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（）A、甲、乙B、甲、丙C、乙、丙D、乙例2：如图，点D，E分别在线段AB，AC上，BE，CD相交于点O，AE＝AD，要使△ABE≌△ACD，需要添加的一个条件是（写出一个条件即可）。老师来了网出品-2-例2—1：如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AC＝AB，，给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN。其中正确的结论是（把你认为所有正确结论的序号都填上）。例3：众所周知，只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你能想办法安排这三个条件，是这两个三角形全等吗？请同学们参照下面的方案（1）、（2）、（3），导出方案（4）。解：设有两边和一角对应相等的两个三角形，方案（1）：若这个角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等；方案（2）：若这个角是直角，则这两个三角形全等；方案（3）：若此角为已知两边的夹角，则这两个三角形全等。那你认为方案（4）可以是什么？例4：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线交BC于点D，求证：AB＋BD＝AC。例4—1：如图，AD∥BC，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AD＋BC＝AB。探究活动例：如图，从等腰Rt△ABC的直角顶点C向中线BD作垂线，交BD于点F，交AB于点E，老师来了网出品-3-连结DE，求证：∠CDF＝∠ADE学力训练A组务实基础1、下列各组图形中，是全等图形的是（）ABCD2、小明不慎将一块三角形玻璃打碎成如图所示的四块（图中所标1，2，3，4），要想配一块与原来大小一样的三角形玻璃，应该带去的是（）A、第1块B、第2块C、第3块D、第4块（第2题图）（第3题图）3、如图，在△ABC中，D，E分别是AC，BC边上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（）A、15°B、20°C、25°D、30°4、如图，△ABC中BC边上的高为1h，△DEF中DE边上的高为2h，下列结论正确的是（）A、1h＞2hB、1h＜2hC、1h＝2hD、无法确定（第4题图）（第5题图）5、如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝90°，AB＝CD，那么图中有全等三角形对。6、如图，G是△AFE的两外角平分线的交点，P是△ABC的两外角平分线的交点，点F，C老师来了网出品-4-在AN上，点B，E在AM上，∠FGE＝66°，那么∠P＝（第6题图）（第8题图）7、下列叙述：①任意一个三角形的高至少有一条在此三角形内部；②以a，b，c为边，且a＋b＞c可以构成一个三角形；③一个三角形的内角度数之比为3：2：1，此三角形为钝角三角形；④两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；⑤两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；⑥三个角对应相等的两个三角形全等。其中正确的有（填上相应的序号）。8、如图，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为点E，交BD于点P，PE＝3cm，则点P到直线AB的距离是9、如图，在△ABC中，AB＝AE，AD＝AC，∠BAD＝∠EAC，BC，DE交于点O，求证：（1）△ABC≌△AED；（2）OB＝OE。10、（1）如图1，以△ABC的边AB，AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判断△ABC与△AEG的面积之间的关系，并说明理由。（2）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石铺成，已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，则这条小路一共占地多少平方米？B组瞄准中考1、（临沂中考）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定正确老师来了网出品-5-的是（）A、AB＝ADB、AC平分∠BCDC、AB＝BDD、△BEC≌△DEC（第1题图）（的3题图）2、（上海中考）下列命题中，真命题是（）A、周长相等的锐角三角形都全等B、周长相等的直角三角形都全等C、周长相等的钝角三角形都全等D、周长相等的等腰直角三角形都全等3、（河南中考）如图，给出下列四组条件：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E。其中能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A、1组B、2组C、3组D、4组4、（曲靖中考）在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD：CD＝3：2，则点D到线段AB的距离为（第4题图）（第5题图）（第6题图）5、（湛江中考）如图，点B、C、F、E在同一直线上，∠1＝∠2，BC＝EF，∠1（填“是”或“不是”）∠2的对顶角，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是（只需写一个）6、（杭州中考）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值为7、（金华中考）如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B，C重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF（不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明。（1）你添加的条件是（2）证明：8、（浙江中考）如图，点D，E分别在AB，AC上。（1）已知BD＝CE，CD＝BE，求证：AB＝AC；老师来了网出品-6-（2）分别将“BD＝CE”记为①，“CD＝BE”记为②，“AB＝AC”记为③，添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2，命题1是命题2的命题，命题2是（选择“真”或“假”填入空格）命题。9、（内江中考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与点A，D重合，连结BE，CE，试猜想线段BE和CE的数量关系及位置关系，并证明你的猜想。10、（西宁中考）八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图），设计了如下方案：①∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA，OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M，N重合，即PM＝PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线；②∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA，OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M，N重合，即PM＝PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线。（1）方案①、方案②是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；（2）方案①PM＝PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB，此方案是否可行？请说明理由。C组冲击金牌1、下列判断正确的是（）老师来了网出品-7-A、有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B、有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等C、有一角好一边对应相等的两个直角三角形全等D、有两角和一边对应相等的两个三角形全等2、如图，点A在DE上，AC＝CE，∠1＝∠2＝∠3，则DE的长等于（）A、CDB、BCC、ABD、AE＋AC（第2题图）（第4题图）3、若两个三角形的两边和其中一边的高分别对应相等，则这两个三角形的第三边所对的角之间的关系为4、如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB于点E，且AE＝21（AB＋AD），则∠ABC＋∠ADC的度数为5、如图，BD，CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB，求证：（1）AP＝AQ；（2）AP⊥AQ。