金融工程10-BSM模型XXXX

Dr.Fan1第13章BSM模型范闽金融工程研究中心Black-Scholes期权定价模型的基本思路•期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源就是标的资产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的影响。•标的资产价格的变化过程是一个随机过程。因此，期权价格变化也是一个相应的随机过程。•金融学家发现，股票价格的变化可以用Ito过程来描述。而数学家Ito发现的Ito引理可以从股票价格的Ito过程推导出衍生证券价格所遵循的随机过程。•在股票价格遵循的随机过程和衍生证券价格遵循的随机过程中，Black-Scholes发现，由于它们都只受到同一种不确定性的影响，如果通过买入和卖空一定数量的衍生证券和标的证券，建立一定的组合，可以消除这个不确定性，从而使整个组合只获得无风险利率。从而得到一个重要的方程：Black-Scholes微分方程。•求解这一方程，就得到了期权价格的解析解。Dr.Fan313.1Black-Scholes模型的假设•标的资产的价格变动符合几何布朗宁运动，其主要特点是：每一个小区间内标的资产的收益率服从正态分布，且不同的两个区间内的收益率相互独立。•期权是欧式期权•卖空的收益可以完全由卖空者支配•没有交易成本或者税务成本•所有证券都是无限可分的•在期权到期之前，股票不支付红利•证券的交易是连续的过程，即标的资产价格的变动是连续的，在一段极短的时间内，标的资产的价格只能有极微小的变动，亦即排除了跳空上涨或跳空下跌的可能性。•无风险利率在各个期限都相等，且是个常数Dr.Fan4Black-Scholes微分方程：基本思路•思路：由于衍生证券价格和标的证券价格都受同一种不确定性（dz）影响，若匹配适当的话，这种不确定性就可以相互抵消。因此布莱克和舒尔斯就建立起一个包括一单位衍生证券空头和若干单位标的证券多头的投资组合。若数量适当的话，标的证券多头盈利（或亏损）总是会与衍生证券空头的亏损（或盈利）相抵消，因此在短时间内该投资组合是无风险的。那么，在无套利机会的情况下，该投资组合在短期内的收益率一定等于无风险利率。•Dr.Fan5股票价格和期权价格服从的随机过程22221()(22dSSdtSdzffffdfSSdtSdzStSS股票价格:（1）期权价格：）Dr.Fan6Black-Scholes微分方程•推导过程–根据（1）和（2），在一个很小的时间间隔里S和f的变化值分别为–为了消除，我们可以构建一个包括一单位衍生证券空头和单位标的证券多头的组合。22221()2SStSzfffffSStSzStSS和zfSDr.Fan7介绍：构造无风险资产组合•组合–期权：空头1份，即-f；–股票：多头份，即•组合价值–也就是说组合的价值变动只跟时间有关，为无风险组合SfSSfSSfftSSftfSSff222221zbSftSSftfSSff222221Dr.Fan8•为什么我们可以构造无风险组合?–股票价格和期权价格的不确定性都来自股票价格波动–任何短时期内,calloption的价格与标的股票价格高度正相关(put则是负相关)–所以,建立一个合适的股票和期权组合时,股票头寸的损益就能够抵消期权头寸的损益,从而构造了一个没有风险的组合.–而这个组合中,股票与期权的比例在图形上就是calloption价格曲线的切线斜率.Dr.Fan9看涨期权价值与股票价格看涨期权价值股票现货价格施权价斜率就是Δc/ΔSDr.Fan10期权价值方程•∏是无风险资产组合–所以–将∏与Δ∏的公式代入，得到：–去掉Δt–Black-ScholesDifferentialEquationtrtSSffrtSSftf)(212222rfSfrSSSftf222221Dr.Fan11•这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程，它事实上适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。•值得强调的是：上述投资组合只是在极短的时间内才是无风险的。会不断地发生变化。fS参数的理解•μ：–几何布朗运动中的期望收益率，短时期内的期望值。–根据资本资产定价原理，μ取决于该证券的系统性风险、无风险利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素，因此的决定本身就较复杂。然而幸运的是，我们将在下文证明，衍生证券的定价与标的资产的预期收益率μ是无关的。–较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于，这是因为较长时间段后的连续复利收益率的期望值是较短时间内收益率几何平均的结果，而较短时间内的收益率则是算术平均的结果。•σ：–是证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益率的年标准差–因此一般从历史的价格数据中计算出样本对数收益率的标准差，再对时间标准化，得到年标准差，即为波动率的估计值。–一般来说，时间越近越好；时间窗口太长也不好；采用交易天数而不采用日历天数。2213.2BSM模型中的收益率•如前述，我们用几何布朗运动描述标的资产价格变动轨迹的原因在于：–投资者感兴趣的不是股票价格S，而是独立于价格的收益率。–投资者不是期望股票价格以一定的绝对价格增长，而是期望股票价格以一定的增长率在增长。–因此需要用百分比收益率代替绝对的股票价格。–几何布朗运动最终隐含的是：股票价格的连续复利收益率（而不是百分比收益率）为正态分布；股票价格为对数正态分布。这比较符合现实。百分比收益率与连续复利收益率•百分比收益率：•连续复利收益率:•百分比收益率的缺陷与连续复利收益率的优点：–有限责任原则：•金融学中常常存在对实际收益率（近似）服从正态分布的隐含假定，但是在有限责任（投资者顶多赔偿全部的投资，不会损失更多）原则下，百分比收益率只在－1和＋∞之间变化，不符合正态分布假定。•对数收益率（－∞，＋∞）：更适合于建立正态分布的金融资产行为模型。–多期收益率问题：•即使假设单期的百分比收益率服从正态分布，多期的百分比收益率是单期百分比收益率的乘积，n个正态分布变量的乘积并非正态分布变量。从而产生悖论。–多期的对数收益率是单期的对数收益率之和，仍然服从正态分布。00TSSSSS或0lnlnTSS百分比收益率与连续复利收益率•如果用百分比表示，例如美元对日元汇率变化收益率、日元对美元汇率变化收益率，两者绝对值不会相等；而且其中一个服从正态分布，另一个就无法服从正态分布；交叉汇率的收益率难以直接计算。•如果用对数收益率表示，两个相互的汇率收益率绝对值正好相等而符号相反；可以满足同时服从正态分布的假设；交叉汇率收益率可以直接相加计算。•连续复利收益率的问题：尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现；但是横截面的收益率加总则不是单个资产收益率的加权平均值，因为对数之和不是和的对数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。•JP摩根银行的RiskMetrics方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均。•实际实现的收益率：课本(13.6)•收益率分布：课本(13.7)Dr.Fan160ln1SSTxT),2(2Tx13.3股票价格波动率及其估计•σ：–是证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益率的年标准差•波动率的计算方法1：从历史数据进行估计–可以从历史的价格数据中计算出样本对数收益率的标准差，再对时间标准化，得到年标准差，即为波动率的估计值。–一般来说，时间越近越好；时间窗口太长也不好；采用交易天数而不采用日历天数。•波动率的计算方法2：隐含波动率，伸引波幅估计标的资产价格的历史波动率•历史波动率就是从标的资产价格的历史数据中计算出价格收益率的标准差。•计算波动率的方法：计算样本均值和标准差的简单方法。•步骤:–(1)从市场上获得标的资产（如股票）在固定时间间隔（如每天、每周或每月等）的价格；–(2)对于每个时间段，求出该时间段末的股价与该时间段初的股价之比的自然对数；–(3)求出这些对数的标准差，再乘以一年中包含的时段数的平方根•具体计算过程：•标准差s的通常估计为：•还需要换算成年波动率：•注：所有参数的定义见课本niSSuiii,,2,1),ln(1211212)()1(111)(11niiniiniiunnunsuuns或252天年常见的如，s关于n的选择•一般来说，数据越多，计算精度越高。•但同时，波动率本身也会随着时间改变而变化，因此过老的历史数据对于预测未来的价格变化，可能不起任何作用。•如何解决？–一种做法是选择90-180天的收盘价数据–或者是将n设定为将应用波动率的期限。•例如，预测两年期的期权估值，就用过去两年的历史数据。【例】以烟台万华为例介绍历史波动率的确定表13-6烟台万华股票历史波动率计算数据日期收盘价Pt(元)收益率ui2005-2-2415.602005-2-2515.57-0.00190.00012005-2-2815.35-0.01420.00042005-3-115.350.00000.00002005-3-215.29-0.00390.00012005-3-315.470.01170.00002005-3-415.570.00640.00002005-3-716.370.05010.00192005-3-816.460.00550.00002005-3-916.960.02990.00052005-3-1016.71-0.01490.0005合计0.06870.0036均值0.0069方差0.0004标准差(日)0.0200标准差(年)0.31752)(uui%69.010%87.611ntiunu收益率均值%75.31252%2252日年%0.29%36.0)(1112niiuun收益率标准差隐含波动率•即根据B/S期权定价公式，将公式中除了波动率以外的参数和市场上的期权报价代入，计算得到的波动率可以看作是市场对未来波动率的预期。•隐含波动率的计算一般需要通过计算机完成。Dr.Fan2413.4BSM模型与风险中性定价原理•从BS微分方程中我们可以发现：衍生证券的价值决定公式中出现的变量为标的证券当前市价（S）、时间（t）、证券价格的波动率（σ）和无风险利率r，它们全都是客观变量，独立于主观变量——风险收益偏好。而受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。•由此我们可以利用BS公式得到的结论，作出一个可以大大简化我们的工作的风险中性假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。Dr.Fan25风险中性定价原理•所谓风险中性，即无论实际风险如何，投资者都只要求无风险利率回报。•风险中性假设的结果：我们进入了一个风险中性世界–所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率–所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。•尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱克——舒尔斯微分方程而作出的人为假定，但BS发现，通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。也就是说，我们在风险中性世界中得到的期权结论，适合于现实世界。Dr.Fan26AnExample•假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。•由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市价。若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。•为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空头和Δ单位的标的股票多头组成的组合。若3个月后该股票价格等于11元时，该组合价值等于（11Δ－0.5）元；若3个月后该股票价格等于9元