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尹老师奥数教程---小升初培优班应用题综合百分数专题本讲主要是较复杂的利润问题【例1】“新新”商贸服务公司，为客户出售货物收取销售额的3％作为服务费，代客户购买物品收取商品定价的2％作为服务费．今有一客户委托该公司出售自产的某种物品和代为购置新设备，已知该公司共扣取了客户服务费264元，客户恰好收支平衡．问所购置的新设备花费了多少元?答案5121.6元分析“该客户恰好收支平衡”，这表明该客户出售物品的销售额的1－3％=97％，恰好用来支付了设备与代为购买设备的服务费，即等于所购置新设备的费用为(1+2％)=102％．从而求得出售商品所得与新设备价格之比；再以新设备价格为“1”，可求出两次服务费相当于新设备的多少，从而可解得新设备价格．详解1出售商品所得的1－3％=97％等于新设备价格的1+2％=102％．设新设备价格为“1”，则出售商品所得相当于该公司的服务费为故而新设备花费了详解2设出售的商品价值为x元，所购置的新设备花费了y元，依题意，有由(1)式，得将(3)代入(2)，得评注解这道题的关键在于要弄清“收支平衡”的含义,即出售物品的销售额支付了两次服务费及新设备的费用，该客户只是用物品“换来了”新设备．【例2】有一位精明的老板对某商品用下列办法来确定售价：设商品件数是N，售价以元为单位，先得出算式的结果，然后取大于此数的最小的5的整倍数作为N件商品一起购买的售价．按这一定价方法得到：1件50元，2件95元，3件140元，4件185元……已知每件商品的成本是整数元，问这个整数是多少?答案38元．分析由“1件50元”，可推知该商品的成本×(1+20％)后多于45元；又由后来每增一件多45元，当四件时才185元．这说明，每件成本×(1+20％)×4少于185元，即每件成本×(1+20％)少于1854元．详解由1件50元，知每件成本×(1+20％)×1多于45元，但少于50元．即有每件成本多于但少于又由4件185元，知每件成本×(1+20％)×4多于180元，但少于185元．即每件成本少于从而每件成本多于37.5元，少于38.54元．因它为整数元，所以每件成本38元．经验证，每件成本38元满足已知条件．评注此题是通过确定每件商品的成本的范围找出符合题设的答案．有时候，满足两个条件的可能有很多答案，那么只有经过对其他条件进行检验来确定最终的结果该是哪个．【例3】有3个一样大的桶，一个装有浓度60％的酒精100升，一个装有水100升，还有一个桶是空的．现在要配置成浓度为36％的酒精，只有5升和3升的空桶各一个可以作为量具，并且桶上无其他刻度．如果每一种量具最多用4次，那么最多能配置成36％的酒精多少升?答案20升．分析若想配出100升36％的酒精溶液，就需要由浓度为60％的100升酒桶中取出溶液(100×60％－100×36％)÷60％=40(升)．然而只用5升与3升桶最多各4次，最多只能量出32升，因而配置浓度36％的酒精是在空桶中完成的．由浓度36％的酒精中纯酒精来自于浓度为60％的酒精，可知若配得36％的酒精若干升，需60％的酒精：浓度36％的酒精总量×36％÷60％=浓度36％的酒精总量×35．从而根据整数性质可求得答案．详解若想配置100升36％的酒精，需要量较少溶液的办法是由第一个桶中量出若干升，再由第二个桶给之添满水；至少要量出：只用5升与3升量具最多各4次，至多能量32升，因此配置浓度为36％的酒精是在空桶中进行的．设配置了n升36％的酒精，这就需用到60％的酒精：因而所用量具为5升与3升，因此咒能被5整除才能保证从60％的酒精量出的是整数量．5升与3升可能量得溶液量为：32升、29升、27升、26升、24升、23升、22升、21升、20升等等；所以浓度36％的酒精最后配置了20升．配置方法如下：第一桶中先取两个5升放入空桶，再取一个5升时用3升桶去量出3升倒回原桶，剩下2升倒入已有10升溶液的桶，最后由装水的桶取一个5升与一个3升倒入乘有12升溶液的桶中得到浓度36％的溶液20升，共用了5升量具4次、3升量具2次．评注解浓度问题我们必须知道：浓度=溶质质量／溶液质量×100％在本题解决过程中5升与3升桶的使用是至关重要的，求出可能的最多量是20升后，给出一配比方法才算完整．【例4】在编号为1、2、3的三个相同的杯子里，分别盛着半杯水，1号杯中溶有100克糖，3号杯中溶有100克盐．先将1号杯中液体的一半及3号杯中液体的14倒入2号杯，然后搅匀；再从2号杯倒出所盛液体的27到1号杯，接着倒出所余液体的17到3号杯．问这时每个杯中含盐量与含糖量之比各是多少?答案1号杯1：9，2号杯1：2，3号杯76：5．分析解此题的出发点是：每次倒出液体的几分之几，那么随之倒出的糖或盐也是原液体糖或盐含量的几分之几．详解1号杯倒一半，3号杯倒14的液体给2号杯后，1号杯中有糖：2号杯中有糖：有盐：3号杯中有盐：2号杯中倒27给1号杯，再倒17给3号杯后，1号杯中有糖：有盐：含盐量与含糖量之比为：3号杯中有糖：有盐：含盐量与含糖量之比为2号杯中有糖：有盐：含盐量与含糖量之比为：评注在解题中我们可以得出如下关系：同浓度的溶液，溶液质量的比值与对应的溶质质量的比值相同．【例4】北京九章书店对顾客实行一项优惠措施：每次买书200元至499．99元者优惠5％，每次买书500元以上者(包含500元)优惠10％．某顾客到书店买了三次书，如果第一次与第二次合并在一起比分开买便宜13.5元,如果三次合并在一起买比三次分开买便宜39.4元，已经知道第一次的书价是第三次书价的58．问这位顾客第二次买多少钱的书?答案115元．分析解题突破口为“不同购款的优惠不同”．我们可以通过第一次与第二次合并在一起买便宜13.5元，探索这两次购书的书价，然后与后两个条件合并，寻找符合题意的正确书价．详解前两次合并在一起比分开买便宜13.5元，可能由如下几种情况产生：(1)两次书款，其中一次在500元以上，另一次不足500元．不足500元的这一次在合买时可得到10％的优惠，分开买时可得5％或得不到优惠，所以这一次的价格为：13.5÷(10％－5％)=270(元)或13.5÷10％=135(元)．无论对哪一种情况而言，三次合买时，它都只能多得到13.5元的优惠，而第三次买书就应多得了39.4－13.5=25.9(元)的优惠．第三次购书款应不多于500元，但25.9÷5％=518(元)，且25.9÷10％=259(元)，259元的购书款又只能再多得5％优惠．故不存在符合题意的解．(2)两次书款均在200～499.99元之间，但总额多于500元．这两次总款为13.5÷(10％－5％)=270(元)，与总款多于500元矛盾．，(3)两次书款，其中一次不足200元，另一次在200～499.99元之间．若两次总额不足500元，则不足200元的一次花了13.5÷5％=270(元)，矛盾．若两次总额高于500元，则不足200元的一次多得了10％的优惠款．另一次多得了5％的优惠款，两次都按5％的优惠算，总款才13.5÷5％=270(元)．因此两次总款必须低于270元，与总额高于500元矛盾．情况4：两次均不足200元．这两次总款为：13.5÷5％=270(元)．三次总款若低于500元，则第三次在合买时可多得优惠额为39．4－13．5=25．9(元)．这样一来，第三次购书款必多于25.9÷5％=518(元)．与三次总款低于500元矛盾．因此三次总款在500元以上，前两次在合买时比单买可多得270×10％=27(元)优惠.第三次多得39.4－27=12.4(元)．又因为第三次购书款必多于500－270=230(元)，所以第三次购书款为12.4÷(10％－5％)=248(元)，第二次购书款为：270－248×58=115(元)．评注本题是一道较难的分类讨论题目，同学们务必注意分类时要做到完全且不重．【例6】某一出租车的计价方式为：起价是2千米5元，往后每增加1千米(最后不足1千米按1千米计算)增加2元．现在从甲地到乙地乘出租车共支出车费35元，如果从甲地到乙地先步行800米，然后再乘车也要35元．问从甲、乙两地中点乘出租车到乙地需支付多少元钱?答案19元．分析从题目所给的四个条件可推得甲、乙两间距离在怎样的范围内，欲求中点至乙地的出租车费便轻而易举了．详解由甲到乙地出租车费35元，知两地间的距离应不多于：1×[(35－5)÷2]+2=17(千米)．又先步行800米，仍需出租费35元，所以两地间距离应不少于16+0.8=16.8(千米)．中点到乙地距离应在16.8÷2=8.4(千米)与17÷2=8.5(千米)之间．故需出租车费：5+2×(9－2)=19(元)．【例7】某区对用电的收费标准规定：每月每户用电不超过10度的部分，按每度0.45元收费，超过十度而不超过20度的部分按每度0.8元收费，超过20度的部分，按每度1.5元收费，某月甲比乙多交电费7.1元，乙比丙多交3.75元，问甲乙丙三用户共交电费多少元？解：首先应该先判断，三个用户分别在哪个收费段中【费用改以分为单位】710、375都不能整除45、80、150中的每一个，因此，甲、乙、丙中任意两个必然不在同一段所以，丙用度数≤10＜乙用度数≤20＜甲用度数设丙用x度，乙用y度，甲用z度则x≤10＜y≤20＜z则丙交电费：45x乙交电费：80（y-10）+45*10=80y-350甲交电费：150（z-20）+80（20-10）+45*10=150z-1750所以（150z-1750）-（80y-350）=710（80y-350）-45x=375即30z-16y=42216y-9x=145所以30z-9x=567即10z-3x=189所以x=10z/3-63又x≤10＜y≤20＜z所以10z/3-63≤10解得z≤21.9所以20＜z≤21.9所以z=21所以x=10*21/3-63=7代入16y-9*7=145得y=13所以丙交电费：45x==45*7=315分乙交电费：80（y-10）+45*10=80y-350=80*13-350=690分甲交电费：150（z-20）+80（20-10）+45*10=150z-1750=150*21-1750=1400分所以甲乙丙三用户共交电费315+690+1400=2405分=24.05元【例8】商店要买进一批蚊香,希望获得的利润按进价每袋加价40%定价出售,按这种定价卖出这批蚊香的90%时候,夏季即将过去,为加快资金周转,商店以定价打7折的价格出售,把剩下的蚊香全部卖出,这样所得的利润比原希望获得的利润少了15%,按规定,不论按什么价格出售,卖完这批蚊香必须上缴营业税300元(营业税纳入成本)商店买进这批蚊香用了多少元？【解答】希望获得的利润是买入总价的40％倍少300元，销售完之后获得的利润是买入总价的1.4×（90％＋10％×70％）－1＝35.8％少300元。也就存在买入总价的40％×（1－15％）＝34％少300×（1－15％）＝255元，与它的35.8％少300元相同。所以买进这批蚊香用了（300－255）÷（35.8％－34％）＝2500元。题目：有甲、乙两块含铜量不同的合金，甲块重6千克，乙块重4千克.现在从甲、乙两块合金上各切下重量相等的一部分.将甲块上切下的部分与乙块的剩余部分一起熔炼，再将乙块上切下的部分与甲块剩余部分一起熔炼，得到的两块新合金的含铜量相等.问从每一块上切下的部分的重量是多少千克？关键：这个含铜量要理解成百分比，而不能理解成重量。解法一：假设甲块6千克全部是铜，乙块都不是铜，那么新合金，每块的含铜量就是6÷（6＋4）＝60％，甲块切下部分就是乙块的60％，所以切下部分是4×60％＝2.4千克。解法二：假设甲块6千克都不是铜，乙块全部是铜，那么新合金每块的含铜量就是4÷（6＋4）＝40％，乙块切下部分就是甲块的40％，所以切下部分是6×40％＝2.4千克。解法三：不假设，新合金，甲块留下6÷（6＋4）＝60％，甲块剩下6×60％＝3.6千克。所以，切下