金融工程学 第8章

Copyright©Linhui,DepartmentofFinance,NanjingUniversity1金融工程第8章Meton期权模型及外汇期权、期货期权Copyright©Linhui,DepartmentofFinance,NanjingUniversity28.1Merton期权模型B-S模型并未考虑标的资产支付现金股息。Merton将B-S模型推广到支付现金股息下的期权定价模型——Merton模型。模型假设：B-S模型的8个假设标的资产在期权的有效期内连续支付股息，q是每单位时间Δt的股息率。Copyright©Linhui,DepartmentofFinance,NanjingUniversity3在离散的情形下，模型构建无风险组合()ffss22221()2ffstts抖D?-+sD抖组合价值的变动可以表示为Copyright©Linhui,DepartmentofFinance,NanjingUniversity4ffss¶D?-D+D¶22221()2()ffffsstswtsssfstsws22221()2ffsttsCopyright©Linhui,DepartmentofFinance,NanjingUniversity5•现在由于有了股息，则在Δt的时间内组合的价值变动包括两项：1、股息：()fQqSts¶=D¶2、资本利得22221()2ffrtstts抖D?兆譊=-+sD抖这样组合总价值的变化为22221Q=(())2fffsqSttss＋-*抖?D?D?+sD抖?Copyright©Linhui,DepartmentofFinance,NanjingUniversity6由于该组合是无风险的，根据无套利原则22221=(())2()fffsqSttssfrtrfSts-*抖?D?+sD抖?¶=誅=-+D¶这样，具有股息收益的股票期权的偏微分方程为22221()2fffrqssrftss抖?+-+s=抖?Copyright©Linhui,DepartmentofFinance,NanjingUniversity7只要将B-S模型中的r以r-q代替，就得到具有股息的期权公式12()()rCSNdXeNd()12()()rqCSNdXeNd21ln(/)(/2)SXrqd同样22ln(/)(/2)SXrqdCopyright©Linhui,DepartmentofFinance,NanjingUniversity8若以S和ST分别代表在无股息支付下的现在股价和到期日股价。若有股息，则到期日含权的股价是qTSe于是，现在不含权股价为sqetTSqTSeTSsqeCopyright©Linhui,DepartmentofFinance,NanjingUniversity9Merton模型将S改为qse12()()qrCSeNdXeNd212ln(/)(/2)ln(/)(/2)qseXrdSXrq＝222ln(/)(/2)ln(/)(/2)qSeXrdSXrqMerton模型得到的结果是一样的。Copyright©Linhui,DepartmentofFinance,NanjingUniversity108.2外汇期权模型1983，Garman和Kohlhagen推导出来，该模型也可以由Merton模型的转换求得，假设(/$)SSrmb汇率设定欧式外汇买权，行权时卖方付出S单位的RMB收到1单位的$（美元是买权的标的物）。()CCSt，看涨期权的卖方则要准备美元让买方行权，注意美元此期间有利息收益。Copyright©Linhui,DepartmentofFinance,NanjingUniversity11若美元支付连续利率rf，即相当于股票连续支付现金股息。因此，在Merton模型内，只要将股息率q改为rf，将股价S改为汇率的定义，即12()()frrCSeNdXeNd21ln(/)(/2)fSXrrd这里，r为本币利率。Copyright©Linhui,DepartmentofFinance,NanjingUniversity128.3欧式期货期权的定价模型期货期权的标的是期货。期权买权允许持有人在买权到期时买进期货，获得交割额为TFX卖权的交割金额为TXFCopyright©Linhui,DepartmentofFinance,NanjingUniversity13tTtFTFT*TF购买买权行权获得期货期货到期注意：这里FT是期权到期时刻T的期货价格，并不是期货到期的价格。Copyright©Linhui,DepartmentofFinance,NanjingUniversity14期货期权的定价令期货价格F的随机过程为ITO过程dFFdtFdw期货买权价值C(F,t)的随机过程由ITO引理表示为22221()2ccccdcFFdtFdwtFFFCopyright©Linhui,DepartmentofFinance,NanjingUniversity15构造无风险组合()ccFcFcF¶?-+d=-+=-¶因为在期初买进期货并不支付任何成本！在时间变动dt下，组合的价值的变化包括两个部分：买权价值变动、持有期货的价值变化Copyright©Linhui,DepartmentofFinance,NanjingUniversity16cddcdFF¶?-+¶22221()2()ccccFFdtFdwtFFFcFdtFdwF22221()2ccFdttF它表明在dt下，组合不含有随机项，因此它是无风险的组合。Copyright©Linhui,DepartmentofFinance,NanjingUniversity1722221()2ccFdtrdtcrdttF抖-+s=兆?-抖所以，求解期货买权的偏微分方程为222212ccFcrtF抖+s=抖对比Merton微分方程22221()2fffrqssrftss抖?+-+s=抖?Copyright©Linhui,DepartmentofFinance,NanjingUniversity18期货期权的偏微分方程，实际上是r＝q时的Merton方程，变量代换后，我们有12122122()()[()()]ln(/)(/2)ln(/)(/2)qrrqrCFeNdXeNdeFNdXNdFXdFXd其中，Copyright©Linhui,DepartmentofFinance,NanjingUniversity1912()()rttCSNdXeNd21ln(/)(/2)tSXrd22ln(/)(/2)tSXrd1d其中