金融工程学(期货)第三章远期和期货的定价

第三章：远期和期货的定价远期和期货市场概述•远期合约（ForwardContracts）是指双方约定在未来的某一确定时间，按确定的价格买卖一定数量的某种商品（或金融资产）的合约。•如果信息是对称的，而且合约双方对未来的预期相同，那么合约双方所选择的交割价格应使合约的价值在签署合约时等于零。这意味着无需成本就可处于远期合约的多头或空头状态。远期价格与远期价值•我们把使得远期合约价值为零的交割价格称为远期价格。•远期价格是跟标的物的现货价格紧密相联的，而远期价值则是指远期合约本身的价值，它是由远期实际价格与远期理论价格的差距决定的。•在合约签署时，若交割价格等于远期理论价格，则此时合约价值为零。但随着时间推移，远期理论价格有可能改变，而原有合约的交割价格则不可能改变，因此原有合约的价值就可能不再为零。•远期合约是适应规避现货交易风险的需要而产生的。•远期合约是非标准化合约。•灵活性较大是远期合约的主要优点。在签署远期合约之前，双方可以就交割地点、交割时间、交割价格、合约规模、标的物的品质等细节进行谈判，以便尽量满足双方的需要。远期合约的缺点•首先，由于远期合约没有固定的、集中的交易场所，不利于信息交流和传递，不利于形成统一的市场价格，市场效率较低。•其次，由于每份远期合约千差万别，这就给远期合约的流通造成较大不便，因此远期合约的流动性较差。•最后，远期合约的履约没有保证，当价格变动对一方有利时，对方有可能无力或无诚意履行合约，因此远期合约的违约风险较高。金融远期合约的种类•远期利率协议（ForwardRateAgreements，简称FRA）是买卖双方同意从未来某一商定的时期开始在某一特定时期内按协议利率借贷一笔数额确定、以具体货币表示的名义本金的协议。•所谓远期利率是指现在时刻的将来一定期限的利率。如14远期利率，即表示1个月之后开始的期限3个月的远期利率。•一般地说，如果现在时刻为t，T时刻到期的即期利率为r，T*时刻（）到期的即期利率为，则t时刻的期间的远期利率可以通过下式求得：tTTTtTrrr***111TT*rTT*rˆ连续复利•假设数额A以利率R投资了n年。如果利息按每一年计一次复利，则上述投资的终值为：•如果每年计m次复利，则终值为：•当m趋于无穷大时，就称为连续复利（Continuouscompounding），此时的终值为nRA1mnmRA1RnmnmRmAeA1lim设Rc是连续复利利率，Rm是与之等价的每年计m次复利利率，于是：(1)cRnmnRAeAmln(1)cRRmm(1)cRmRme当即期利率和远期利率所用利率均为连续复利时，即期利率和远期利率的关系为：)()(ˆ)(tTrTTrtTreee)()(ˆ)(tTrTTrtTrTTtTrtTrr)()(ˆtTT*远期外汇合约•远期外汇合约（ForwardExchangeContracts）是指双方约定在将来某一时间按约定的远期汇率买卖一定金额的某种外汇的合约。远期股票合约•远期股票合约（Equityforwards）是指在将来某一特定日期按特定价格交付一定数量单个股票或一揽子股票的协议。金融期货合约•（FinancialFuturesContracts）是指协议双方同意在约定的将来某个日期按约定的条件（包括价格、交割地点、交割方式）买入或卖出一定标准数量的某种金融工具的标准化协议。合约中规定的价格就是期货价格(FuturesPrice)。金融期货交易的特征•期货合约均在交易所进行，交易双方不直接接触，而是各自跟交易所的清算部或专设的清算公司结算。•期货合约的买者或卖者可在交割日之前采取对冲交易以结束其期货头寸（即平仓），而无须进行最后的实物交割。•期货合约的合约规模、交割日期、交割地点等都是标准化的，即在合约上有明确的规定，无须双方再商定。•期货交易是每天进行结算的，而不是到期一次性进行的，买卖双方在交易之前都必须在经纪公司开立专门的保证金账户。期货市场的功能•套期保值(Hedging)•价格发现（MarketMaking）期货合约与远期合约比较•标准化程度不同•交易场所不同•违约风险不同•价格确定方式不同•履约方式不同•合约双方关系不同•结算方式不同区分两类资产•一类是众多投资者仅为了进行投资而持有的资产•另一类是几乎完全为了进行消费而持有的资产投资性资产的定价无收益资产远期合约的定价•组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r（T－t）的现金；•组合B：一单位标的资产。f+Ke-r（T－t）=Sf=S－Ke-r（T－t）•无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格与交割价格现值的差额。现货-远期平价定理•F=Ser（T－t）•对于无收益资产而言，远期价格等于其标的资产现货价格的终值。•假设FSer（T－t），即交割价格大于现货价格的终值。在这种情况下，套利者可以按无风险利率r借入S现金，期限为T－t。然后用S购买一单位标的资产，同时卖出一份该资产的远期合约，交割价格为F。在T时刻，该套利者就可将一单位标的资产用于交割换来F现金，并归还借款本息Ser（T－t），这就实现了F－Ser（T－t）的无风险利润。•若FSer（T－t），即交割价值小于现货价格的终值。套利者就可进行反向操作，即卖空标的资产，将所得收入以无风险利率进行投资，期限为T-t，同时买进一份该标的资产的远期合约，交割价为F。在T时刻，套利者收到投资本息Ser（T－t），并以F现金购买一单位标的资产，用于归还卖空时借入的标的资产，从而实现Ser（T－t）-F的利润。远期价格的期限结构•远期价格的期限结构描述的是不同期限远期价格之间的关系。设F为在T时刻交割的远期价格，F*为在T*时刻交割的远期价格,r为T时刻到期的无风险利率,r*为T*时刻到期的无风险利率,为T到T*时刻的无风险远期利率。F=Ser（T－t）)(***tTrSeFrˆ•两式相除消掉S后,•我们可以得到不同期限远期价格之间的关系：)()(***tTrtTrFeF)(ˆ**TTrFeF支付已知现金收益资产远期合约定价的一般方法•组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r（T－t）的现金;•组合B：一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限为从现在到现金收益派发日、本金为I的负债。f+Ke-r（T－t）=S-If=S-I-Ke-r（T－t）•支付已知现金收益资产的远期合约多头价值等于标的证券现货价格扣除现金收益现值后的余额与交割价格现值之差。•根据F的定义，我们可从上式求得：F=(S-I)er（T－t）(1)这就是支付已知现金收益资产的现货-远期平价公式。其表明，支付已知现金收益资产的远期价格等于标的证券现货价格与已知现金收益现值差额的终值。证明•如果，则借金额为S的资金，购买资产，卖出远期合约。到时刻T时，依照合约中约定条款，资产以价格F卖出。用所得收入偿还部分借款，则还有金额的借款要在T时刻归还。于是在时刻T，实现的利润为•如果，则卖出资产，将所得收入进行投资，同时购买远期合约，在时刻T时，实现利润)()(tTreISF)()(tTreIS)()(tTreISF)()(tTreISFFeIStTr)()(支付已知收益率资产远期合约定价的一般方法•组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r（T－t）的现金；•组合B：e-q（T－t）单位证券并且所有收入都再投资于该证券，其中q为该资产按连续复利计算的已知收益率。•支付已知收益率资产的远期价格：)()(tTqtTrSeKef))((tTqrSeF一般结论•设合约签署初始的交割价格为K，当前远期价格为F，则远期合约多头的价值为f,)()(tTreKFf远期价格和期货价格的关系•当无风险利率恒定，且对所有到期日都不变时，交割日相同的远期价格和期货价格应相等。•当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期价格。•相反，当标的资产价格与利率呈负相关性时，远期价格就会高于期货价格。股票指数期货的定价•大部分指数可看成支付红利的证券（计算指数的股票组合），证券所支付的红利就是该组合的持有人收到的红利。根据合理的近似，可以认为红利是连续支付的，设为红利支付率，则))((tTqrSeF指数期货增长率S：当前指数价格F：当前指数期货价格q：指数收益率T：指数期货有效期Fτ：时刻τ的指数期货价格Sτ：时刻τ的指数即期价格x：构成指数的股票组合超过无风险收益利率r的超额收益因此，。而（支付已知红利率证券的远期合约），。于是，期货价格的增长率等于该指数的超额收益))((tqrxSeS))((tTqrSeF))((TqreSF)(txFeF利用指数期货对冲某个证券组合CAPM:Ri-r=Π：该证券组合的价值G：一份期货合约标的资产的价值（如果一份合约价值是指数的m倍，则G=mF）于是，对冲时应卖空的最佳合约数量为：βΠ/G（将股票组合的β变为０）)(rRm例:某公司想用还有4个月有效期的S&P500指数合约来对冲一个价值为2,100,000的股票组合。现在指数起期货价格为300，组合的β值为1.5.一个指数期货合约的价值为:300*500=150,000应该卖出的指数期货合约数量为:5*2,100,000/150,000=21股指期货最小方差对冲率（续）•S=股指现货指数•∏=现货组合的总市值•F=股指期货的价格•G=一份期货合约的账面价值•=mF•Ns=持有现货的指数单位数量•Nf=持有期货合约的数量•Ns=∏÷S•初期设定为t=0,期末设定为t=1•期初，对冲者在现货市场上为多头，因此在期货市场上卖出Nf份合约。T=1时刻投资者结清所持有的头寸•对冲组合的价值变化为：•△V=现货市场头寸变化+期货市场头寸变化•=Ns（S1-S0)+Nf(F1-F0)m对冲组合的方差=NS2Var(△S)+(Nfm)2Var(△F)+2NsNfmcov(△S,△F)此方差对Nf求微分，并令求等于=0，解得：Nf=-(Ns/m)(cov(△S,△F)/var(△F)=(∏/mS0)如何求得？可以用△S对△F回归的回归系数求得。•特别地，如果投资者手中的股票组合精确地反映了股指期货标的物指数，则对冲所需的期货合约数为：000NSFGmSNff此外，可以证明•当我们用通常的证券组合贝塔而非上述绝对量贝塔时，上述结论会发生些变化。•可以证明:•所以，最小方差对冲所需要的最优期货合约数为：pMPeRR1)(001SF1GNf•上述公式的好处是：可以直接应用基于贝塔资料库中的证券组合贝塔值：即•值得注意：如果市场指数和△F/F不是很好的替代变量，可以直接用△S/S对△F/F进行回归得到被保值组合的贝塔。niiipw1利用股指期货实现股票的择时策略•投资基金经理经常需要面临这样的决策：提高或降低他（她）的市场风险暴露。当市场风险加大时，想降低管理组合的贝塔；当确认市场将会变好时，想增加自己组合的贝塔•方法1：卖出或买入股票•方法2：使用指数期货方法2：介绍•沿用前面的字母，我们有：•上式中我们使用了：FFGNSSFmNSNRffSh)(mFGSNS,/•由CAPM得到：（因为期货合约没有资金占用成本，所以上述第二式的左边不含有无风险利率）将上述两式带入上页中Rh中得：rERFFErERrSSmpmP)()())(()(N)(PGNGrERrRPhffhPmhh于是：其中•显然，对于套保组合的不同目标贝塔，对应的期货头寸也不同：小于零（卖出期货）时，小于大于零（买入期货）时，大于卖出期货）时，fhfPhPfhGNN)((N0P单个股票的套保问题•某些股票上存在期货合约，对冲其风险可以用该期货合约，但是，用多