届高三数学大一轮复习任意角的三角函数学案理新人教A版

1第四章三角函数与三角恒等变换学案17任意角的三角函数导学目标：1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．自主梳理1．任意角的概念角可以看成平面内一条射线OA绕着端点从一个位置旋转到另一个位置OB所成的图形．旋转开始时的射线OA叫做角的________，射线的端点O叫做角的________，旋转终止位置的射线OB叫做角的________，按______时针方向旋转所形成的角叫做正角，按______时针方向旋转所形成的角叫做负角．若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个________角．(1)象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就说这个角是__________角．(2)象限界角(即终边在坐标轴上的角)终边在x轴上的角表示为____________________；终边在y轴上的角表示为__________________________________________；终边落在坐标轴上的角可表示为____________________________．(3)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合______________________或__________________________，前者α用角度制表示，后者α用弧度制表示．(4)弧度制把长度等于________长的弧所对的__________叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做________，它的单位符号是________，读作________，通常略去不写．(5)度与弧度的换算关系360°＝______rad；180°＝____rad；1°＝________rad；1rad＝_______________≈57.30°.(6)弧长公式与扇形面积公式l＝________，即弧长等于_________________________________________________．S扇＝________＝____________.2．三角函数的定义任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么①____叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y；②____叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x；③________叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝yx(x≠0)．(1)三角函数值的符号各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2(2)三角函数线下图中有向线段MP，OM，AT分别表示__________，__________________和____________．自我检测1．“α＝π6”是“cos2α＝12”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2.(2011·济宁模拟)点P(tan2009°，cos2009°)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．(2010·山东青岛高三教学质量检测)已知sinα0且tanα0，则角α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角4．已知角α的终边上一点的坐标为sin2π3，cos2π3，则角α的最小正值为()A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6探究点一角的概念例1(1)如果角α是第三象限角，那么－α，π－α，π＋α角的终边落在第几象限；(2)写出终边落在直线y＝3x上的角的集合；(3)若θ＝168°＋k·360°(k∈Z)，求在[0°，360°)内终边与θ3角的终边相同的角．3变式迁移1若α是第二象限的角，试分别确定2α，α2的终边所在位置．探究点二弧长与扇形面积例2(2011·金华模拟)已知一个扇形的圆心角是α，0α2π，其所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？变式迁移2(1)已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；(2)已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？探究点三三角函数的定义例3已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．变式迁移3已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα，cosα，tanα的值．1．角的度量由原来的角度制改换为弧度制，要养成用弧度表示角的习惯．象限角的判断，终边相同的角的表示，弧度、弧长公式和扇形面积公式的运用是学习三角函数的基础．2．三角函数都是以角为自变量(用弧度表示)，以比值为函数值的函数，是从实数集到实数集的映射，注意两种定义法，即坐标法和单位圆法．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·宣城模拟)点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q，则Q的坐标为（）A．(－12，32)B．(－32，－12)4C．(－12，－32)D．(－32，12)2．若0xπ，则使sinx12和cosx12同时成立的x的取值范围是()A.π3xπ2B.π3x56πC.π6x56πD.π3x23π3．已知α为第三象限的角，则α2所在的象限是()A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限4．若1弧度的圆心角所对弦长等于2，则这个圆心角所对的弧长等于()A．sin12B.π6C.1sin12D．2sin125．已知θ∈－π2，π2且sinθ＋cosθ＝a，其中a∈(0,1)，则关于tanθ的值，以下四个答案中，可能正确的是()A．－3B．3或13C．－13D．－3或－13题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，且α∈[0,2π]，则α的取值范围是________________．7．(2011·龙岩模拟)已知点Psin3π4，cos3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．8．阅读下列命题：①若点P(a,2a)(a≠0)为角α终边上一点，则sinα＝255；②同时满足sinα＝12，cosα＝32的角有且只有一个；③设tanα＝12且πα3π2，则sinα＝－55；④设cos(sinθ)·tan(cosθ)0(θ为象限角)，则θ在第一象限．其中正确命题为________．(将正确命题的序号填在横线上)三、解答题(共38分)9．(12分)已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6，(1)求AB的弧长；5(2)求弓形OAB的面积．10．(12分)在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：(1)sinα≥32；(2)cosα≤－12.11．(14分)(2011·舟山月考)已知角α终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x.求sinα＋1tanα的值．答案自主梳理1．始边顶点终边逆顺零(1)第几象限(2){α|α＝kπ，k∈Z}α|α＝kπ＋π2，k∈Zα|α＝kπ2，k∈Z(3){β|β＝α＋k·360°，k∈Z}{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}(4)半径圆心角弧度制rad弧度(5)2πππ180180π°(6)|α|·r弧所对的圆心角(弧度数)的绝对值与半径的积12lr12|α|r22.①y②x③yx(2)α的正弦线α的余弦线α的正切线自我检测1．A2.D3.C4.D课堂活动区例1解题导引(1)一般地，角α与－α终边关于x轴对称；角α与π－α终边关于y轴对称；角α与π＋α终边关于原点对称．(2)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一角α与2π的整数倍，然后判断角α的象限．(3)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法为先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合参数k赋值来求得所需角．解(1)π＋2kπα3π2＋2kπ(k∈Z)，∴－3π2－2kπ－α－π－2kπ(k∈Z)，即π2＋2kπ－απ＋2kπ(k∈Z)．①∴－α角终边在第二象限．又由①各边都加上π，得3π2＋2kππ－α2π＋2kπ(k∈Z)．∴π－α是第四象限角．同理可知，π＋α是第一象限角．6(2)在(0，π)内终边在直线y＝3x上的角是π3，∴终边在直线y＝3x上的角的集合为α|α＝π3＋kπ，k∈Z.(3)∵θ＝168°＋k·360°(k∈Z)，∴θ3＝56°＋k·120°(k∈Z)．∵0°≤56°＋k·120°360°，∴k＝0,1,2时，θ3∈[0°，360°)．故在[0°，360°)内终边与θ3角的终边相同的角是56°，176°，296°.变式迁移1解∵α是第二象限的角，∴k·360°＋90°αk·360°＋180°(k∈Z)．(1)∵2k·360°＋180°2α2k·360°＋360°(k∈Z)，∴2α的终边在第三或第四象限，或角的终边在y轴的非正半轴上．(2)∵k·180°＋45°α2k·180°＋90°(k∈Z)，当k＝2n(n∈Z)时，n·360°＋45°α2n·360°＋90°；当k＝2n＋1(n∈Z)时，n·360°＋225°α2n·360°＋270°.∴α2是第一或第三象限的角．∴α2的终边在第一或第三象限．例2解题导引本题主要考查弧长公式和扇形的面积公式，并与最值问题联系在一起．确定一个扇形需要两个基本条件，因此在解题中应依据题目条件确定出圆心角、半径、弧长三个基本量中的两个，然后再进行求解．解(1)设扇形的弧长为l，该弧所在弓形的面积为S，如图所示，当α＝60°＝π3，R＝10cm时，可知l＝αR＝10π3cm.而S＝S扇－S△OAB＝12lR－12R2sinπ3＝12×10π3×10－12×100×32＝50π3－253cm2.7(2)已知2R＋l＝C，即2R＋αR＝C，S扇＝12αR2＝12·αR·R＝14·αR·2R≤14·αR＋2R22＝14·C22＝C216.当且仅当αR＝2R，即α＝2时，等号成立，即当α为2弧度时，该扇形有最大面积116C2.变式迁移2解设扇形半径为R，圆心角为θ，所对的弧长为l.(1)依题意，得12θR2＝4，θR＋2R＝10，∴2θ2－17θ＋8＝0.∴θ＝8或12.∵82π，舍去，∴θ＝12.(2)扇形的周长为40，即θR＋2R＝40，S＝12lR＝12θR2＝14θR·2R≤14θR＋2R22＝100.当且仅当θR＝2R，即R＝10，θ＝2时扇形面积取得最大值，最大值为100.例3解题导引某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关，当终边确定时三角函数值就相应确定了．但若终边落在某条直线上时，这时终边实际上有两个，因此对应的函数值有两组，要分别求解．解∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，则x＝4t，y＝－3t，r＝x2＋y2＝t2＋－3t2＝5|t|，当t0时，r＝5t，sinα＝yr＝－3t5t＝－35，cosα＝xr＝4t5t＝45，tanα＝yx＝－3t4t＝－34；当t0时，r＝－5t，sinα＝yr＝－3t－5t＝35，cosα＝xr＝4t－5t＝－45，tanα＝yx＝－3t4t＝－34.综上可知，t0时，sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34；t0时，sinα＝35，cosα＝－45，tanα＝－34.变式迁移3解r＝－4a2＋a2＝5|a|.若a0，则r＝5a，α角在第二象限，8sinα＝yr＝3a5a＝35，cosα＝xr＝－4a5a＝－45，tanα＝yx＝3a－4a＝－34.若a0