届高三数学大一轮复习幂函数学案理新人教A版

1学案9幂函数导学目标：1.了解幂函数的概念.2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图象，了解它们的变化情况．自主梳理1．幂函数的概念形如______的函数叫做幂函数，其中____是自变量，____是常数．2．幂函数的性质(1)五种常见幂函数的性质，列表如下：定义域值域奇偶性单调性过定点y＝xRR奇↗(1,1)y＝x2R[0，＋∞)偶[0，＋∞)↗(－∞，0]↙y＝x3RR奇↗y＝21x[0，＋∞)[0，＋∞)非奇非偶[0，＋∞)↗y＝x－1(－∞，0)∪(0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇(－∞，0)↙(0，＋∞)↙(2)所有幂函数在________上都有定义，并且图象都过点(1,1)，且在第____象限无图象．(3)α0时，幂函数的图象通过点________________，并且在区间(0，＋∞)上是________，α0时，幂函数在(0，＋∞)上是减函数，图象________原点．自我检测1．(2011·石家庄月考)如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，±12四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为()A．－2，－12，12，2B．2，12，－12，－2C．－12，－2,2，12D．2，12，－2，－122．已知函数：①y＝2x；②y＝log2x；③y＝x－1；④y＝21x.则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是()2A．②①③④B．②③①④C．④①③②D．④③①②3．(2011·沧州模拟)设α∈{－1,1，12，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为()A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,34．与函数y＝xx＋1的图象形状一样的是()A．y＝2xB．y＝log2xC．y＝1xD．y＝x＋15．已知点(33，33)在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式是()A．f(x)＝x3B．f(x)＝x－3C．f(x)＝21xD．f(x)＝21x探究点一幂函数的定义与图象例1已知幂函数f(x)的图象过点(2，2)，幂函数g(x)的图象过点(2，14)．(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)求当x为何值时：①f(x)g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)g(x)．变式迁移1若点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，14)在幂函数g(x)的图象上，定义h(x)＝f(x)，f(x)≤g(x)，g(x)，f(x)g(x)，试求函数h(x)的最大值以及单调区间．探究点二幂函数的单调性例2比较下列各题中值的大小．(1)8.03，7.03；(2)321.0，323.0；(3)212，318.1；(4)521.4，328.3和53)9.1(.3变式迁移2(1)比较下列各组值的大小：①318________31)91(；②0.20.5________0.40.3.(2)已知(0.71.3)m(1.30.7)m，则m的取值范围是__________________________．探究点三幂函数的综合应用例3(2011·葫芦岛模拟)已知函数f(x)＝322mmx(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足3)1(ma3)23(ma的a的范围．变式迁移3已知幂函数f(x)＝12)(mmx(m∈N*)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)f(a－1)的实数a的取值范围．1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．2．在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．右图是函数y＝nmx(m，n∈N*，m、n互质)的图象，则()4A．m，n是奇数，且mn1B．m是偶数，n是奇数，且mn1C．m是偶数，n是奇数，且mn1D．m是奇数，n是偶数，且mn12．(2010·陕西)下列四类函数中，具有性质“对任意的x0，y0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是()A．幂函数B．对数函数C．指数函数D．余弦函数3．下列函数图象中，正确的是()4．(2010·安徽)设a＝52)53(，b＝53)52(，c＝52)52(，则a，b，c的大小关系是()A．acbB．abcC．cabD．bca5．下列命题中正确的是()①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③当n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线；④幂函数y＝xn当n0时是增函数；⑤幂函数y＝xn当n0时在第一象限内函数值随x值的增大而减小．A．①和④B．④和⑤C．②和③D．②和⑤题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·邯郸模拟)若幂函数y＝22)332(mmxmm的图象不经过原点，则实数m的值为________．7．已知a＝xα，b＝2ax，c＝ax1，x∈(0,1)，α∈(0,1)，则a，b，c的大小顺序是________．8．已知函数f(x)＝xα(0α1)，对于下列命题：①若x1，则f(x)1；②若0x1，5则0f(x)1；③当x0时，若f(x1)f(x2)，则x1x2；④若0x1x2，则f(x1)x1f(x2)x2.其中正确的命题序号是________．三、解答题(共38分)9．(12分)设f(x)是定义在R上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x1时，y＝f(x)的表达式是幂函数，且经过点(12，18)．求函数在[2k－1,2k＋1)(k∈Z)上的表达式．10．(12分)已知f(x)＝3221nnxx(n＝2k，k∈Z)的图象在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f(x2－x)f(x＋3)．11．(14分)(2011·荆州模拟)已知函数f(x)＝22kkx(k∈Z)满足f(2)f(3)．(1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q0，使函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在区间[－1,2]上的值域为[－4，178]？若存在，求出q；若不存在，请说明理由．答案自主梳理1．y＝xαxα2.(2)(0，＋∞)四(3)(0,0)，(1,1)增函数不过自我检测1．B[方法一由幂函数的图象与性质，n0时不过原点，故C3，C4对应的n值均为负，C1，C2对应的n值均为正；由增(减)快慢知n(C1)n(C2)n(C3)n(C4)．故C1，C2，C3，C4的n值依次为2，12，－12，－2.方法二作直线x＝2分别交C1，C2，C3，C4于点A1，A2，A3，A4，则其对应点的纵坐标显然为22,212，212，2－2，故n值分别为2，12，－12，－2.]2．D[第一个图象过点(0,0)，与④对应；第二个图象为反比例函数图象，表达式为y＝kx，③y＝x－1恰好符合，∴第二个图象对应③；第三个图象为指数函数图象，表达式为y＝ax，且a1，①y＝2x恰好符合，∴第三个图象对应①；第四个图象为对数函数图象，表达式为y＝logax，且a1，②y＝log2x恰好符合，∴第四个图象对应②.∴四个函数图象与函数序号的对应顺序为④③①②.]3．A4.C5.B课堂活动区6例1解(1)设f(x)＝xα，∵图象过点(2，2)，故2＝(2)α，解得α＝2，∴f(x)＝x2.设g(x)＝xβ，∵图象过点(2，14)，∴14＝2β，解得β＝－2.∴g(x)＝x－2.(2)在同一坐标系下作出f(x)＝x2与g(x)＝x－2的图象，如图所示．由图象可知，f(x)，g(x)的图象均过点(－1，1)和(1,1)．∴①当x1，或x－1时，f(x)g(x)；②当x＝1，或x＝－1时，f(x)＝g(x)；③当－1x1且x≠0时，f(x)g(x)．变式迁移1解求f(x)，g(x)解析式及作出f(x)，g(x)的图象同例1，如例1图所示，则有：h(x)＝x－2，x－1或x1，x2，－1≤x≤1.根据图象可知函数h(x)的最大值为1，单调增区间为(－∞，－1)和(0,1)；单调减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．例2解题导引比较两个幂的大小关键是搞清楚是底数相同，还是指数相同，若底数相同，利用指数函数的性质；若指数相同，利用幂函数的性质；若底数、指数皆不相同，考虑用中间值法，常用0和1“搭桥”进行分组．解(1)函数y＝3x是增函数，∴30.830.7.(2)函数y＝x3是增函数，∴0.2130.233.(3)∵3121218.18.12，∴31218.12.(4)525211.4＝1；0323218.3＝1；53)9.1(0，∴5232531.48.3)9.1(.变式迁移2(1)①②(2)m0解析根据幂函数y＝x1.3的图象，当0x1时，0y1，∴00.71.31.又根据幂函数y＝x0.7的图象，当x1时，y1，∴1.30.71.于是有0.71.31.30.7.对于幂函数y＝xm，由(0.71.3)m(1.30.7)m知，当x0时，随着x的增大，函数值也增大，∴m0.例3解∵函数f(x)在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－30，解得－1m3.∵m∈N*，∴m＝1,2.7又函数的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.而y＝31x在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴31)1(a31)23(a等价于a＋13－2a0，或0a＋13－2a，或a＋103－2a，解得a－1或23a32.故a的范围为{a|a－1或23a32}．变式迁移3解(1)m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，而m与m＋1中必有一个为偶数，∴m(m＋1)为偶数．∴函数f(x)＝1)(2mmx(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．(2)∵函数f(x)经过点(2，2)，∴2＝12)(2mm，即1)2(2122mm.∴m2＋m＝2.解得m＝1或m＝－2.又∵m∈N*，∴m＝1.由f(2－a)f(a－1)得2－a≥0，a－1≥02－aa－1.解得1≤a32.∴a的取值范围为[1，32)．课后练习区1．C[由图象知，函数为偶函数，∴m为偶数，n为奇数．又函数图象在第一限内上凸，∴mn1.]2．C[∵(x＋y)α≠xα·yα，∴幂函数f(x)＝xα不具有此性质．∵loga(x＋y)≠logax·logay，∴对数函数f(x)＝logax不具有此性质．∵ax＋y＝ax·ay，∴指数函数f(x)＝ax具有此性质．∵cos(x＋y)≠cosx·cosy，∴余弦函数y＝cosx不具有此性质．]3．C[对A、B，由y＝x＋a知a1，可知A、B图象不正确；D中由y＝x＋a知0a1，∴y＝logax应为减函数，D错．]4．A[∵y＝52x在x∈(0，＋∞)递增，∴5252)52()53(，即ac，8∵y＝(25)x在x∈(－∞，＋∞)递减，∴5352)52()52(，即cb，∴acb.]5．D6．1或2解析由m2－3m＋3＝1m2－m－2≤0解得m＝1或2.经检验m＝1或2都适合．7．cab解析∵α∈(0,1)，∴1ααα2.又∵x∈(0,1)，∴ax1x