届高三数学大一轮复习直线与直线的位置关系学案理新人教A版

1学案48直线与直线的位置关系导学目标：1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．自主梳理1．两直线的位置关系平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况．(1)两直线平行对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔________________________.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2B2C2≠0)，l1∥l2⇔________________________.(2)两直线垂直对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1·k2＝____.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝____.2．两条直线的交点两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，如果两直线相交，则交点的坐标一定是这两个方程组成的方程组的____；反之，如果这个方程组只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是l1和l2的________，因此，l1、l2是否有交点，就看l1、l2构成的方程组是否有________．3．有关距离(1)两点间的距离平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝__________________________________.(2)点到直线的距离平面上一点P(x0，y0)到一条直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝________________________.(3)两平行线间的距离已知l1、l2是平行线，求l1、l2间距离的方法：①求一条直线上一点到另一条直线的距离；②设l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2之间的距离d＝________________.自我检测1．(2011·济宁模拟)若点P(a,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y－30表示的平面区域内，则实数a的值为()A．7B．－7C．3D．－32．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点()A．(0,4)B．(0,2)C．(－2,4)D．(4，－2)3．已知直线l1：ax＋by＋c＝0，直线l2：mx＋ny＋p＝0，则ambn＝－1是直线l1⊥l2的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件2C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．(2009·上海)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是()A．1或3B．1或5C．3或5D．1或25．已知2x＋y＋5＝0，则x2＋y2的最小值是________.探究点一两直线的平行与垂直例1已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0.求满足以下条件的a、b的值：(1)l1⊥l2且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且原点到这两条直线的距离相等．变式迁移1已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0，(1)试判断l1与l2是否平行；(2)l1⊥l2时，求a的值．探究点二直线的交点坐标例2已知直线l1：4x＋7y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x＋3my－4＝0.当m为何值时，三条直线不能构成三角形．3变式迁移2△ABC的两条高所在直线的方程分别为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A的坐标为(1,2)，求BC边所在直线的方程．探究点三距离问题例3(2011·厦门模拟)已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0.且l1与l2的距离是7510.(1)求a的值；(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：①点P在第一象限；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的12；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是2∶5.若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．变式迁移3已知直线l过点P(3,1)且被两平行线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．4转化与化归思想的应用例(12分)已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．【答题模板】解(1)设A′(x，y)，再由已知∴A′－3313，413.[4分](2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设对称点M′(a，b)，则得M′613，3013.[6分]设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3)．又∵m′经过点N(4,3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.[8分](3)方法一在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M(1,1)，N(4,3)，则M，N关于点A(－1，－2)的对称点M′，N′均在直线l′上，易得M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，[10分]再由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.[12分]方法二∵l∥l′，∴设l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)，∵点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等，∴由点到直线的距离公式得|－2＋6＋C|22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，解得C＝－9，[10分]∴l′的方程为2x－3y－9＝0.[12分]方法三设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，[10分]∵点P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.[12分]【突破思维障碍】点关于直线对称是轴对称中最基本的，要抓住两点：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段中点在对称轴上．直线关于点的对称可转化为点关于点的对称，直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称．【易错点剖析】(1)点关于线对称，不能转化为“垂直”及“线的中点在轴上”的问题．(2)线关于线对称，不能转化为点关于线的对称问题；线关于点的对称，不能转化为点关于点的对称问题．1．在两条直线的位置关系中，讨论最多的还是平行与垂直，它们是两条直线的特殊位置关系．解题时认真画出图形，有助于快速准确地解决问题．判断两直线平行与垂直时，不要忘记考虑斜率不存在的情形，利用一般式则可避免分类讨论．52．运用公式d＝|C1－C2|A2＋B2求两平行直线间的距离时，一定要把x、y项系数化为相等的系数．3．对称思想是高考热点，主要分为中心对称和轴对称两种，关键要把握对称问题的本质，必要情况下可与函数的对称轴建立联系．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．直线3x＋2y＋4＝0与2x－3y＋4＝0()A．平行B．垂直C．重合D．关于直线y＝－x对称2．(2011·六安月考)若直线x＋ay－a＝0与直线ax－(2a－3)y－1＝0互相垂直，则a的值是()A．2B．－3或1C．2或0D．1或03．已知直线l的倾斜角为3π4，直线l1经过点A(3,2)、B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于()A．－4B．－2C．0D．24．P点在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为2，则P点坐标为()A．(1,2)B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1)D．(2,1)或(－1,2)5．设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a、b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是()A.24，12B.2，22C.2，12D.22，12二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·重庆云阳中学高三月考)直线l1：x＋my＋6＝0和l2：3x－3y＋2＝0，若l1∥l2，则m的值为______．7．设直线l经过点(－1,1)，则当点(2，－1)与直线l的距离最大时，直线l的方程为______________．8．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·福州模拟)k为何值时，直线l1：y＝kx＋3k－2与直线l2：x＋4y－4＝0的交点在第一象限．610．(12分)已知点P1(2,3)，P2(－4,5)和A(－1,2)，求过点A且与点P1，P2距离相等的直线方程．11．(14分)(2011·杭州调研)过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程．学案48直线与直线的位置关系自主梳理1．(1)k1＝k2且b1≠b2A1A2＝B1B2≠C1C2(2)－102．解交点唯一解3.(1)2－x12＋2－y12(2)|Ax0＋By0＋C|A2＋B2(3)②|C1－C2|A2＋B2自我检测1．D2.B3.A4.C5.5课堂活动区例1解题导引运用直线的斜截式y＝kx＋b时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况．运用直线的一般式Ax＋By＋C＝0时，要特别注意A、B为0时的情况，求解两直线平行或垂直有关的问题并与求直线方程相联系，联立方程组求解，对斜率不存在的情况，可7考虑用数形结合的方法研究．解(1)由已知可得l2的斜率必存在，且k2＝1－a.若k2＝0，则a＝1.由l1⊥l2，l1的斜率不存在，∴b＝0.又l1过(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0，∴b＝3a－4＝－1，矛盾．∴此情况不存在，即k2≠0.若k2≠0，即k1＝ab，k2＝1－a.由l1⊥l2，得k1k2＝ab(1－a)＝－1.由l1过(－3，－1)，得－3a＋b＋4＝0，解之得a＝2，b＝2.(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴l1的斜率存在，∴k1＝k2，即ab＝1－a.又原点到两直线的距离相等，且l1∥l2，∴l1、l2在y轴上的截距互为相反数，即4b＝b.解之得a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2.∴a、b的值为2和－2或23和2.变式迁移1解(1)方法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不平行；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1与l2不平行；当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－a2x－3，l2：y＝11－ax－(a＋1)，l1∥l2⇔－a2＝11－a，－3≠－＋，解得a＝－1，综上可知，a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．方法二由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0.由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，∴l1∥l2⇔－－1×2＝02－－1×6≠0⇔a2－a－2＝0，2－∴a＝－1，故当a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．(2)方法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1与l2不垂直；当a≠1且a≠0时，l1：y＝－a2x－3，l2：y＝11－ax－(a＋1)，由－a2·11－a＝－1⇒a＝23.8方法二由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0⇒a＝23.例2解题导引①转化思想的运用三条直线l1、l2、l3不能构成三角形⇐l1、l2、l3交于一点或至少有两条直线平行⇐三条直线交于一点⇐l2与l3的交点在l1上⇐l2与l3对应方程组的解适合l1的方程②分类讨论思想的运用本题依据直线的位置关系将不能构成三角形的情况分成两类，分类应注意按同一标准，不重不漏．解当三条直线共点或