金融工程理论基础

金融工程第二章金融工程理论基础金融工程理论基础投资组合理论资本资产及定价模型（CAPM)套利定价理论(APT)有效市场假说投资组合理论引言：投资组合理论的发展（一）分散投资的理念早已存在，如我们平时所说的“不要把所有的鸡蛋放在同一个篮子里”。但传统的投资管理尽管管理的也是多种证券构成的组合，但其关注的是证券个体，是个体管理的简单集合。投资组合管理将组合作为一个整体，关注的是组合整体的收益与风险的权衡。Hicks（1935）提出资产选择问题，投资有风险，风险可以分散；投资组合理论的发展（二）HarryMarkowiz（1952）：PortfolioSelection，标志着现代投资组合理论（themodernportfoliotheory，MPT）的开端；WilliamSharpe（1963）提出了均值-方差模型的简化方法-----单指数模型（single-indexmodel）；WilliamSharpe（1964）、JohnLintner及（1965）JanMossin（1966）提出了市场处于均衡状态条件下的定价模型—CAPM；投资组合理论的发展（三）RichardRoll（1976）对CAPM提出了批评，认为这一模型永远无法实证检验；StephenRoss（1976）突破了CAPM，提出了套利定价模型（arbitragepricingmodel,APT)；Fama（1970）提出了有效市场假说。资本市场的混沌（Chaos）(分形）假说。现代投资组合理论的框架体系E—σ模型单因素模型多因素模型（选择问题）组合资本资产定价模型套利定价模型（定价问题）理论有效市场假说资本市场的混沌（分形）假说（理论背景问题）理论的基本假设资产的收益与风险分散投资和非系统风险消除有效投资组合的选择Markowitz的投资组合理论Markowitz的投资组合理论基本假设1.投资者在投资决策中只关注投资收益这个随机变量的两个数字特征：投资的期望收益和方差2.投资者是理性的，也是风险厌恶的3.投资者的目标是使期望效用最大化4.资本市场是有效的5.资本市场上的证券是有风险的6.资本市场上的每种证券都是无限可分的。这意味着，只要投资者愿意他可以购买少于一股的股票7.资本市场的供给具有无限弹性8.市场允许卖空资产的收益与风险单个资产的收益与风险资产组合的收益与风险单个资产的收益单个资产未来的收益是一个随机变量，在不同的经济状况下，这个随机变量会取不同的值，而每种经济情况又有不同的概率。因此单个资产的期望收益为其未来不同收益和对应的经济情况出现的概率的乘积之和。用公式表示为：1()niiiErrp单个资产的风险单个资产的风险为其投资收益偏离期望收益的可能性。可以用预期收益的方差或标准差来反映其风险程度。用公式表示为：22121()[()]()()[()]niiiniiiVarrprErSDrVarrprEr投资组合的收益与风险两种资产的投资组合多种风险资产的投资组合两种资产的组合11()[()]pffErrErr如果其中有一项资产是无风险资产，比如资产2，则有：122222212121212()()(1)()(1)2(1)cov(,),1ppErErErrr组合1：1项风险资产与无风险资产由预期收益率的表示式可以看出，组合的预期收益是以无风险收益率为基础再加上风险补偿。风险补偿的大小取决于风险资产本身的收益率中含有的风险补偿和风险资产在组合里的比重。111()()()()ffffErrErrErrErr组合2：2项风险资产的组合风险的分散化原理被认为是现代金融学中唯一能够“白吃的午餐”。将多种有风险资产组合到一起，可以对冲掉部分风险而不降低平均的收益率。这是马柯维茨的主要贡献。222121211[(1)][(1)]对于一般的金融工具来说，由于系统风险的存在，我们不讨论等于-1的情况。而如果等于1，意味着这两项资产的风险完全正相关。因为容许卖空，当然可以适当的选择投资比例，使得组合的方差为0.但此时有一权重取负值，由无套利原理可知，其预期收益率应该等于无风险利率。此时，两种证券的多头和空头头寸正好互相对冲，我们也可以暂时不考虑这种情况。由上不等式可知：组合的标准差不会大于标准差的组合。这说明组合确实能起到降低风险的作用。例见书多种风险资产组合的收益与风险11211()()1nniiiiinnijijijErEr对于包含有N种证券的资产组合P，其方差由下式决定：若该组合是等比例地投资在各证券上，即投资在各种证券上的资本量都为1/n，则有：其中，第一项是n项有风险资产的方差的和，当n变得很大时，这一项会趋于0.但第二项不会趋于0，而是趋于协方差的平均值。211nnPijijij222211111111nnnnnPijiiijijiijjinnn分散投资与非系统风险消除由此可以得到重要结论：当投资组合含有许多种有风险资产是，个别资产的方差将不起作用。各项资产之间的协方差有正有负，他们会起互相对冲抵消的作用，但不会完全对冲抵消。因而组合的方差就近似等于平均的协方差（未被抵消的部分）。为什么不能完全对冲抵消？因为各项资产收益变动存在同向性。这种同向性的风险是所有资产都同时承受的，被称为系统风险或市场风险；而可以对冲抵消的风险被称为非系统风险或企业风险。通过扩大投资组合（即增加所包含的资产的种类）进行风险分散化，可以消除非系统风险，但不能消除系统风险。非系统风险是企业特有的风险，诸如企业陷入法律纠纷、罢工、新产品开发失败等。系统风险则指整个市场承受的风险，指经济的景气状况、市场总体利率水平的变化等因为整个市场化境变化而产生的风险。有效投资组合一个投资者选择他的最优组合时将从下列组合集中进行：（1）对每一风险水平，提供最大预期回报率（2）对每一预期回报率水平提供最小的风险满足这两个条件的组合集被称为有效投资组合。投资的“可行集”或“机会集”所谓投资组合，是指由一系列资产所构成的集合。可供投资的资产众多，可供选择的投资组合无穷。把所有可供选择的投资组合所构成的集合，称为投资的“可行集”（feasibleset）或“机会集”（opportunityset）。投资组合的两种替代表示（1）不同资产的投资比重；（2）“期望收益率-标准差”图上的一个点。以（2）的表示方式，证券组合收益风险可能的构成点，组成曲线（或面积）即为可行域。可行集可行集也称为机会集，它可以确定有效集。可行集代表由一组N种证券所形成的所有组合。一般的，这个集合有一个如图所示的伞形形状：E(r)PPN可行集BHA图2.2可行集“有效集”或“有效边界”(efficientfrontier)有效组合的优势法则（dominancerules）投资者从满足如下条件的可行集里选择其最优的投资组合：1、在给定的各种风险条件下，提供最大预期收益率；2、在给定的各种预期收益率的水平条件下，提供最小的风险。(同时成立）满足上述条件的投资组合集合称为投资的“有效集”或“有效边界”。可行域包含了有效组合，有效组合的集合为有效边界.有效边界：最小方差集中位于整体最小方差组合上方的部分。最小方差集中位于整体最小方差组合下方的的相应部分，对于给定的风险，有最小的收益。2{}minPijij有效边界的构建..ts1()()niiiErEr11niiPmin对于每一给定的E（r），可以解出相应的标准差，在期望收益-标准差坐标图中描点，可以得到下图实际上，最小方差曲线只有右上方的那一段是有意义的，与其对称的右下方的那一段是没有意义的。我们称最小方差曲线右上方的那一段为有效组合边界。()pEr有效边界的形状1.有效边界是一条向右上方倾斜的曲线，反映“高风险、高收益”。2.有效边界是一条上凸的曲线。3.有效边界不可能有凹陷的地方。4.构成组合的证券间的相关系数越小，投资的有效边界就越是弯曲得厉害。无差异分析与最佳组合对于投资者来说，不同的收益风险点构成相同的效用时，称这些收益风险组合的效用无差异。无差异的点的轨迹就是无差异曲线。一个投资者有无限多条无差异曲线。不同的投资者无差异曲线的形状是不同的，主要决定于投资者的风险态度。无差异曲线与有效边界的结合，可以得到投资者的最佳组合。无差异曲线的形状（一）1.无差异曲线向右上方倾斜，或者说无差异曲线上各点的斜率为正值。即随着风险的增加，要想保持相同的效用期望值，只有增加期望收益率，也就是说，必须给这增加的风险提供风险补偿。2.风险厌恶者的无差异曲线凸向横轴。即随着风险的增加，对于相同幅度的风险增加额，投资者所要求的风险补偿不断增加，即随着风险的增加，无差异曲线上的各点的斜率越来越大。上述两个性质是由投资者的永不满足及风险厌恶的特性所导致的。无差异曲线的形状（二）3.无差异曲线是密集的。即任何两条无差异曲线中间，必然有另外一条无差异曲线4.任何两条无差异曲线不可能相交。5.在无差异曲线群中，越往左上方的无差异曲线，其效用期望值越大。无差异曲线的上述性质可以保证对某一个投资者来说，必然有一条无差异曲线与投资的有效边界相切。每个投资者都有一条自己的无差异曲线，而且对每个投资者来说，这条无差异曲线是唯一的。最优投资组合的选择PRPI3I2I1ONBHA图2.3最优投资组合最优投资组合是指某投资者在可以得到的各种可能的投资组合中，唯一可以获得最大效用期望值的投资组合。有效集的上凸性和无差异曲线的下凸性决定了最优投资组合的唯一性。练习1投资者A先生估计了某股票收益率的概率分布如下：收益率（%）概率-100.1000.25100.40200.20300.05基于这一估计，计算该股票的期望收益和标准差。8.5%10.1%投资者李拥有三种证券，估计如下的收益率的联合概率分布：结果证券ABC概率1-101000.302010100.203105150.30420-1050.20如果投资者李有20%的资金投资于证券A，50%B，30%投资于证券C，计算组合的收益率和标准差。练习25.3%4.7%资本资产定价模型资本资产及定价模型（CAPM)从马氏理论发展到CAPM，历时12年。美国，WilliamSharpe,1963年提出单因素模型，1964年提出CAPM模型，1990年获奖美国，JohnLintner1965年提出了与Sharpe的CAPM模型基本相同的模型挪威，JanMossin1966年也得出了相同结论。CAPM模型是资本市场均衡模型，是现代金融学的奠基石。资本资产定价模型模型假设条件资本市场线(CML)证券市场线(SML)CML与SML之间的区别模型假设条件1、投资者都是价格接受者2、投资者都是在同一证券持有期计划自己的投资行为3、所有投资局限于公开金融市场上的资产4、所有投资者可以在无风险利率上借或贷任何额度的资产5、理想的金融市场Notaxesandtransactioncosts.模型假设条件（续）6、对所有投资者信息无成本获得7、所有投资者的行为都是理性的，遵循马氏模型优化自己的投资行为8、所有投资者都以相同的观点和分析方法来对待各种投资工具，他们对所交易的金融工具未来的收益现金流的概率分布、预期值和方差等都有相同的估计，这就是一致预期假设。关于假设条件的说明说明之一：通常情况下，假设条件与现实不符。它只是描述了一种理想的均衡状态。均衡结果是：所有投资者将持有同一个风险资产组合----市场组合市场组合包含市场中所有的证券，每种证券的投资比例等于其市值占比。市场风险溢价取决于整个市场投资者的平均风险厌恶程度个别证券的风险溢价取决于该证