山东历届【数列】高考题精选带详解

[2010年18题]已知等差数列na满足：37a，5726aa.na的前n项和为nS.（1）求na及nS；（2）令211nnba（nN）,求数列nb的前n项和nT.[2009年20题]等比数列{na}的前n项和为nS,已知对任意的nN,点(,)nnS，均在函数(0xybrb且1,,bbr均为常数)的图像上.（1）求r的值；（2）当2b时，记1()4nnnbnNa,求数列{}nb的前n项和nT[2008年19题]将数列na中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：记表中的第一列数1247aaaa，，，，构成的数列为nb，111ba．nS为数列nb的前n项和，且满足221(2)nnnnbnbSS≥．（1）证明数列1nS成等差数列，并求数列nb的通项公式；（2）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当81491a时，求上表中第(3)kk≥行所有项的和．[2007年17题]设{}na是公比大于1的等比数列，nS为数列{}na的前n项和．已知37S，且123334aaa，，构成等差数列．（1）求数列{}na的通项公式．（2）令31ln12nnban，，，，求数列{}nb的前n项和T．[2010年18题]已知等差数列na满足：37a，5726aa.na的前n项和为nS.（1）求na及nS；（2）令211nnba（nN）,求数列nb的前n项和nT.解：（1）设等差数列na的公差为d，因为37a，5726aa，所以有112721026adad，解得13,2ad，所以321)=2n+1nan（；nS=n(n-1)3n+22=2n+2n.（2）由（1）知2n+1na，所以nb=211na=21=2n+1)1（114n(n+1)=111(-)4nn+1，所以nT=111111(1-+++-)4223nn+1=11(1-)=4n+1n4(n+1)，即数列nb的前n项和nT=n4(n+1).[2009年20题]等比数列{na}的前n项和为nS,已知对任意的nN,点(,)nnS，均在函数(0xybrb且1,,bbr均为常数)的图像上.（1）求r的值；（2）当2b时，记1()4nnnbnNa,求数列{}nb的前n项和nT解:(1)对任意nN,(,)nnS均在(0xybrb且1,,bbr为常数)图像上.所以nnSbr,当1n时,11aSbr,当2n时,1111()(1)nnnnnnnnaSSbrbrbbbb,又因为{na}为公比是b的等比数列,brbbbaa)1(12，所以1r,所以1(1)nnabb（2）当2b时，11(1)2nnnabb,111114422nnnnnnnba则234123412222nnnT3451212341222222nnnnnT相减,得23451212111112222222nnnnT31211(1)112212212nnn12311422nnn所以113113322222nnnnnnT[2008年19题]将数列na中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：记表中的第一列数1247aaaa，，，，构成的数列为nb，111ba．nS为数列nb的前n项和，且满足221(2)nnnnbnbSS≥．（1）证明数列1nS成等差数列，并求数列nb的通项公式；（2）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当81491a时，求上表中第(3)kk≥行所有项的和．（1）证明：由已知，当2n≥时，221nnnnbbSS，又12nnSbbb，所以1212()1()nnnnnnSSSSSS，即112()1nnnnSSSS，所以11112nnSS，又1111Sba．所以数列1nS是首项为1，公差为12的等差数列．由上可知1111(1)22nnnS，即21nSn．所以当2n≥时，12221(1)nnnbSSnnnn．因此1122(1)nnbnnn，　　　　，，．≥（2）解：设表中从第三行起，每行的公比都为q，且0q．因为12131212782，所以表中第1行至第12行共含有数列na的前78项，故81a在表中第13行第三列，因此91421381qba．又1321314b，所以2q．记表中第(3)kk≥行所有项的和为S，则(1)2(12)2(12)(3)1(1)12(1)kkkkbqSkqkkkk≥．[2007年17题]设{}na是公比大于1的等比数列，nS为数列{}na的前n项和．已知37S，且123334aaa，，构成等差数列．（1）求数列{}na的通项公式．（2）令31ln12nnban，，，，求数列{}nb的前n项和T．解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2aaaaaa，,解得22a．设数列{}na的公比为q，由22a，可得1322aaqq，．又37S，可知2227qq，即22520qq，解得12122qq，．由题意得12qq，．11a．故数列{}na的通项为12nna．（2）由于31ln12nnban，，，，由（1）得3312nna3ln23ln2nnbn又2ln31nnbb{}nb是等差数列．12nnTbbb,故3(1)ln22nnnT．