大物期末复习

1练习一静电场中的导体三、计算题1.已知某静电场在xy平面内的电势函数为U=Cx/(x2+y2)3/2,其中C为常数.求(1)x轴上任意一点,(2)y轴上任意一点电场强度的大小和方向.解：.Ex=U/x=C[1/(x2+y2)3/2+x(3/2)2x/(x2+y2)5/2]=(2x2y2)C/(x2+y2)5/2Ey=U/y=Cx(3/2)2y/(x2+y2)5/2=3Cxy/(x2+y2)5/2x轴上点(y=0)Ex=2Cx2/x5=2C/x3Ey=0E=2Ci/x3y轴上点(x=0)Ex=Cy2/y5=C/y3Ey=0E=Ci/y32．如图5.6,一导体球壳A(内外半径分别为R2,R3),同心地罩在一接地导体球B(半径为R1)上,今给A球带负电Q,求B球所带电荷QB及的A球的电势UA.静电场中的导体答案解：2.B球接地,有UB=U=0,UA=UBAUA=(Q+QB)/(40R3)UBA=[QB/(40)](1/R21/R1)得QB=QR1R2/(R1R2+R2R3R1R3)UA=[Q/(40R3)][1+R1R2/(R1R2+R2R3R1R3)]=Q(R2R1)/[40(R1R2+R2R3R1R3)]练习二静电场中的电介质三、计算题1.如图6.6所示,面积均为S=0.1m2的两金属平板A,B平行对称放置,间距为d=1mm,今给A,B两板分别带电Q1=3.54×10－9C,Q2=1.77×10－9C.忽略边缘效应,求：(1)两板共四个表面的面电荷密度1,2,3,4;(2)两板间的电势差V=UA－UB.解：1.在A板体内取一点A,B板体内取一点B,它们的电场强度是四ABQ图5.6ABQ1图6.6Q212342个表面的电荷产生的,应为零,有EA=1/(20)2/(20)3/(20)4/(20)=0EA=1/(20)+2/(20)+3/(20)4/(20)=0而S(1+2)=Q1S(3+4)=Q2有1234=01+2+34=01+2=Q1/S3+4=Q2/S解得1=4=(Q1+Q2)/(2S)=2.66108C/m22=3=(Q1Q2)/(2S)=0.89108C/m2两板间的场强E=2/0=(Q1Q2)/(20S)V=UA－UBBAlEd=Ed=(Q1Q2)d/(20S)=1000V四、证明题1.如图6.7所示，置于静电场中的一个导体，在静电平衡后，导体表面出现正、负感应电荷.试用静电场的环路定理证明，图中从导体上的正感应电荷出发，终止于同一导体上的负感应电荷的电场线不能存在.解：1.设在同一导体上有从正感应电荷出发，终止于负感应电荷的电场线.沿电场线ACB作环路ACBA,导体内直线BA的场强为零,ACB的电场与环路同向于是有lEdlACBlEdABlEd2=ACBlEd0与静电场的环路定理lEdl0相违背,故在同一导体上不存在从正感应电荷出发，终止于负感应电荷的电场线.练习三电容静电场的能量三、计算题1.半径为R1的导体球带电Q,球外一层半径为R2相对电容率为r的同心均匀介质球壳,其余全部空间为空气.如图7.1所示.求:(1)离球心距离为r1(r1R1),r2(R1r1R2),r3(r1R2)处的D和E；(2)离球心r1,r2,r3,处的U；(3)介质球壳内外表面的极化电荷.解：1.(1)因此电荷与介质均为球对称,电场也球对称,过场点作与导体图6.7R1图7.1R2BAC3金属球同心的球形高斯面,有iSq0dSD4r2D=q0i当r=5cmR1,q0i=0得D1=0,E1=0当r=15cm(R1rR1+d)q0i=Q=1.0×108C得D2=Q/(4r2)=3.54×108C/m2E2=Q/(40rr2)=7.99×103N/C当r=25cm(rR1+d)q0i=Q=1.0×108C得D3=Q/(4r2)=1.27×108C/m2E3=Q/(40r2)=1.44×104N/CD和E的方向沿径向.(2)当r=5cmR1时U1=rlEdRrrEd1dRRrEd2dRrEd3=Q/(40rR)Q/[40r(R+d)]+Q/[40(R+d)]=540V当r=15cmR1时U2=rlEddRrrEd2dRrEd3=Q/(40rr)Q/[40r(R+d)]+Q/[40(R+d)]=480V当r=25cmR1时U3=rlEdrrEd3=Q/(40r)=360V(3)在介质的内外表面存在极化电荷,Pe=0E=0(r1)E=Pe·nr=R处,介质表面法线指向球心=Pe·n=Pecos=0(r1)Eq=S=0(r1)[Q/(40rR2)]4R2=(r1)Q/r=0.8×108Cr=R+d处,介质表面法线向外=Pe·n=Pecos0=0(r1)Eq=S=0(r1)[Q/(40r(R+d)2]4(R+d)2=(r1)Q/r=0.8×108C2.两个相距很远可看作孤立的导体球，半径均为10cm，分别充电至200V和400V，然后用一根细导线连接两球，使之达到等电势.计算变为等势体的过程中，静电力所作的功.解;2.球形电容器C=40RQ1=C1V1=40RV1Q2=C2V2=40RV2W0=C1V12/2+C2V22/2=20R(V12+V22)两导体相连后C=C1+C2=80R4Q=Q1+Q2=C1V1+C2V2=40R(V1+V2)W=Q2/(2C)=[40R(V1+V2)]2/(160R)=0R(V1+V2)2静电力作功A=W0W=20R(V12+V22)0R(V1+V2)2=0R(V1V2)2=1.11×107J练习六磁感应强度毕奥—萨伐尔定律三、计算题1.如图10.7所示,一宽为2a的无限长导体薄片,沿长度方向的电流I在导体薄片上均匀分布.求中心轴线OO上方距导体薄片为a的磁感强度.解：1.取宽为dx的无限长电流元dI=Idx/(2a)dB=0dI/(2r)=0Idx/(4ar)dBx=dBcos=[0Idx/(4ar)](a/r)=0Idx/(4r2)=0Idx/[4(x2+a2)]dBy=dBsin=0Ixdx/[4a(x2+a2)]aaxxaxxIBB2204dd=[0I/(4)](1/a)arctan(x/a)aa=0I/(8a)aayyaxaxIxBB2204dd=[0I/(8a)]ln(x2+a2)aa=02.如图10.8所示，半径为R的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单层线圈覆盖住半个球面.设线圈的总匝数为N，通过线圈的电流为I.求球心O的磁感强度.解：2.取宽为dL细圆环电流,dI=IdN=I[N/(R/2)]Rd=(2IN/)ddB=0dIr2/[2(r2+x2)3/2]r=Rsinx=RcosdB=0NIsin2d/(R)220dsindRNIBBOR图10.8IxxyxdBxdIxxxPxrxdBdIOOIxyzP2a图10.75=0NI/(4R)练习七毕奥—萨伐尔定律(续)磁场的高斯定理三、计算题1.在无限长直载流导线的右侧有面积为S1和S2的两个矩形回路,回路旋转方向如图11.6所示,两个回路与长直载流导线在同一平面内,且矩形回路的一边与长直载流导线平行.求通过两矩形回路的磁通量及通过S1回路的磁通量与通过S2回路的磁通量之比.解：1.取窄条面元dS=bdr,面元上磁场的大小为B=0I/(2r),面元法线与磁场方向相反.有1=aabIbdrrI2002ln2cos22=aabIbdrrI42002ln2cos21/2=12.半径为R的薄圆盘均匀带电，总电量为Q.令此盘绕通过盘心且垂直盘面的轴线作匀速转动，角速度为，求轴线上距盘心x处的磁感强度的大小和旋转圆盘的磁矩.解;2.在圆盘上取细圆环电荷元dQ=2rdr,[=Q/(R2)],等效电流元为dI=dQ/T=2rdr/(2/)=rdr(1)求磁场,电流元在中心轴线上激发磁场的方向沿轴线,且与同向,大小为dB=0dIr2/[2(x2+r2)3/2]=0r3dr/[2(x2+r2)3/2]RRxrxrrxrrrB02322222002/32230d42d=Rxrxrxr0232222220d4Rxrxrx023222220d4=RRxrxxr022202202=xxRxRRQ222222220(2)求磁距.电流元的磁矩dPm=dIS=rdrr2=r2drI图11.62aaaS2S1b6RmdrrP03=R4/4=QR2/4练习八安培环路定律三、计算题1.如图12.5所示，一根半径为R的无限长载流直导体，其中电流I沿轴向流过，并均匀分布在横截面上.现在导体上有一半径为R的圆柱形空腔，其轴与直导体的轴平行，两轴相距为d.试求空腔中任意一点的磁感强度.解：1.此电流可认为是由半径为R的无限长圆柱电流I1和一个同电流密度的反方向的半径为R的无限长圆柱电流I2组成.I1=JR2I2=JR2J=I/[(R2R2)]它们在空腔内产生的磁感强度分别为B1=0r1J/2B2=0r2J/2方向如图.有Bx=B2sin2B1sin1=(0J/2)(r2sin2r1sin1)=0By=B2cos2＋B1cos1=(0J/2)(r2cos2＋r1cos1)=(0J/2)d所以B=By=0dI/[2(R2－R2)]方向沿y轴正向2.设有两无限大平行载流平面,它们的电流密度均为j,电流流向相反.求：(1)载流平面之间的磁感强度；(2)两面之外空间的磁感强度.解;2.两无限大平行载流平面的截面如图.平面电流在空间产生的磁场为B1=0J/2在平面①的上方向右,在平面①的下方向左;电流②在空间产生的磁场为B2=0J/2在平面②的上方向左,在平面②的下方向右.(1)两无限大电流流在平面之间产生的磁感强度方向都向左,故有B=B1+B2=0J(2)两无限大电流流在平面之外产生的磁感强度方向相反,故有B=B1B2=0练习九安培力图12.5O2RdORI1I2①②OOIr1r21122B1B2yxRRd7三、计算题1.一边长a=10cm的正方形铜导线线圈(铜导线横截面积S=2.00mm2,铜的密度=8.90g/cm3),放在均匀外磁场中.B竖直向上,且B=9.40103T,线圈中电流为I=10A.线圈在重力场中求:(1)今使线圈平面保持竖直,则线圈所受的磁力矩为多少.(2)假若线圈能以某一条水平边为轴自由摆动,当线圈平衡时,线圈平面与竖直面夹角为多少.解：1.(1)Pm=IS=Ia2方向垂直线圈平面.线圈平面保持竖直,即Pm与B垂直.有Mm=Pm×BMm=PmBsin(/2)=Ia2B=9.4×10－4mN(2)平衡即磁力矩与重力矩等值反向Mm=PmBsin(/2－)=Ia2BcosMG=MG1+MG2+MG3=mg(a/2)sin+mgasin+mg(a/2)sin=2(Sa)gasin=2Sa2